Reakcje  układy przestrzenne
z
Wykład II i III
O
Statyka
y
R
x
1 niewiadoma podporowa
Reakcje  układy przestrzenne Reakcje  układy przestrzenne
z
A
o\
ysko poprzeczne,
z
Ry
zawias
R
Rx
O O
y y
2 niewiadome podporowe
idealnie gładka powierzchnia
x x
1 niewiadoma podporowa
Reakcje  układy przestrzenne Reakcje  układy przestrzenne
z
z
utwierdzenie 2 2 2
Przegub kulisty
Rz Mu = Mux + Muy + Muz
R
Muz
2 2 2
R = Rx + Ry + Rz
Mux
cos " (x ; Mu ) =
Mu
Ry Rz
Muy
cos " (y ; Mu ) =
Rx
Mu
Muy
O
O
Muz
cos " (z ; Mu ) =
y
y
Mu
Rx Ry
Mux
3 niewiadome podporowe
x
x 6 niewiadomych podporowych
1
z
Reakcje  układy przestrzenne Mu
z
utwierdzenie R
Muz
x
Rz
Mu
R
Muy
O
y
Rx Ry
y
Mux
x
Reakcje  układy przestrzenne Para sił
m
l
z
utwierdzenie
F
Mu
R
F
Ą
O
F =-F
y
a
Para sił to układ dwóch sił równoległych o przeciwnych
zwrotach, jednakowych wartościach i nie le\
ących na jednej
x
prostej.
Moment pary sił Własności pary sił
1. Parę sił mo\
na dowolnie przenieść w płaszczyz
nie jej działania
o
M = F' h2 - Fh1 = F(h2 - h1)
2. Parę sił mo\
na przenieść na płaszczyznę równoległą do
h
2
płaszczyzny jej działania.
h1
a = h2 - h1
3. Działanie pary sił nie zmieni się je\
eli proporcjonalnie zmienimy
stosunek wartości sił tworzących parę i jej ramienia.
o
4. Układ par sił jest równowa\
ny jednej parze sił, której wektor
M = M = Fa
momentu jest sumą geometryczną wektorów momentów par
F
składowych.
Moment pary sił nie zale\
y
5. Pary sił nie mo\
na zastąpić siłą wypadkową lecz tylko inną parą
od poło\
enia bieguna,
sił o takim samym wektorze momentu.
względem którego jest
6. Dowolny układ par sił jest w równowadze je\
eli suma
F
obliczany. Moduł wektora
geometryczna wektorów momentów tych par jest równa zeru.
O
momentu pary sił jest równy
Ą Jest to tzw. Warunek równowagi par sił.
iloczynowi modułu siły i 7. Warunkiem równowa\
ności par sił jest geometryczna równość
a
ich momentów.
odległości linii działania sił.
2
Redukcja układu sił Wektor główny
Redukcja układu sił to działanie mające na celu sprowadzenie
układu pierwotnego do równowa\
nego mu układu prostszego,
S
Wektorem głównym układu sił nazywamy wektor równy
zło\
onego z jak najmniejszej liczby wektorów.
sumie geometrycznej wszystkich sił układu Fi
Cele redukcji układu sił :
" Sprowadzenie układu pierwotnego do równowa\
nego mu
n
układu prostszego,
" Porównywanie układów sił S = F1 + F2 + ...+ Fn =
"Fi
i=1
Wektor główny Moment główny
o
Postać analityczna Momentem głównym układu sił nazywamy wektor równy
M
S = Sxi + Sy j + Szk
sumie geometrycznej momentów wszystkich sił układu
Mio
względem dowolnie obranego bieguna
n n n
Sx = S = Sz = n n
"Fix y "Fiy "Fiz
o 0
M = r1 � F1 + r2 � F2 + ...+ rn � Fn = � Fi =
i=1 i=1 i=1 "ri "Mi
i=1 i=1
Wektor główny układu nie zale\
y od obranego bieguna
redukcji i nazywamy go pierwszym niezmiennikiem układu
sił.
Moment główny Równowa\
ność układów sił
Dwa układy są sobie równowa\
ne wtedy, gdy ich wektory
główne i momenty główne względem dowolnie obranego bieguna
o o o o
Postać analityczna M = M i + M j + M k
są sobie równe.
x y z
S1 = S2
n n n
S1, S2 - wektory główne układu pierwszego i drugiego
0 o 0 o 0 o
M = M = M =
x "Mix y "Miy z "Miz
i=1 i=1 i=1
o o
M1 = M2
Moment główny zale\
y od wyboru bieguna i zmienia się
o o
zgodnie z twierdzeniem o zmianie bieguna momentu M1 ,M - momenty główne obu układów wyznaczone
2
względem dowolnie obranego bieguna O
3
Redukcja układu sił
Parametr układu
Iloczyn skalarny wektora momentu głównego wyznaczonego
względem dowolnego bieguna i wektora głównego nazywamy
F
1
parametrem układu sił.
- F
n
F
F 1
2
o1 o2
- F
M �" S = M �" S = k = const
2
F
2
O
o o o
F
n - F
k = M Sx + M Sy + M Sz 1
x y z
F
n
Parametr układu nie zale\
y od obranego bieguna redukcji i
nazywamy go drugim niezmiennikiem układu sił.
Redukcja układu sił Redukcja układu sił
n
F F
1 1
S = Fi
"
- F
n
F - F
F 1 F
n
2 2
i =1
S
- F
2
- F
2
F
2
O O
F F
O
n - F n
1
- F
1
F
n
Redukcja układu sił Redukcja układu sił
n
F
1
S = Fi
"
- F
M1
F
n
2
i =1
S
- F
S
2
O
F
M2
O
n
Mn
- F
1 O
n
Mo =
"M
i
i=1
4
Redukcja układu sił Redukcja układu sił
F
1
MO
F
MO 2
a"
S
S
F
n
O
O
n
n
W ogólnym przypadku ka\
dy układ sił mo\
na zredukować
Mo =
S =
"Mi
do dwóch wektorów: wektora głównego i momentu głównego. "Fi
i=1
i =1
Przypadki redukcji Przypadek 1 - Siły skośne
o
MO
F
MO
S
ą
S
T
O
O
O
Proste działania sił
nie przecinają się
o
o o
k = M �" S = M �" S �"cosą M `" 0; S `" 0; k `" 0;
Przypadek 1 - Redukcja przestrzennego Przypadek 1 - Redukcja przestrzennego
dowolnego układu sił do skrętnika dowolnego układu sił do skrętnika
Wektor momentu głównego rozkładamy na dwie składowe, z których jedna Ms ma Przez punkt O przeprowadz
my płaszczyznę prostopadłą do M1 ( w naszym przypadku
kierunek wektora S, a druga M1 jest do niej prostopadła. jest to płaszczyzna Ą) i umieśćmy na niej parę sił zastępującą ten moment.
�
MO
M1 M1
S S
ą
ą
MS
MS
O O
Ą Ą
o
M `" 0; S `" 0; k `" 0;
5
Przypadek 1 - Redukcja przestrzennego Przypadek 1 - Redukcja przestrzennego
dowolnego układu sił do skrętnika dowolnego układu sił do skrętnika
Przez punkt O przeprowadz
my płaszczyznę prostopadłą do M1 ( w naszym przypadku Przez punkt O przeprowadz
my płaszczyznę prostopadłą do M1 ( w naszym przypadku
jest to płaszczyzna Ą) i umieśćmy na niej parę sił zastępującą ten moment. Parę dobieramy jest to płaszczyzna Ą) i umieśćmy na niej parę sił zastępującą ten moment. Parę dobieramy
tak, aby jej siły były równe co do wartości wektorowi głównemu S i umieszczamy je tak tak, aby jej siły były równe co do wartości wektorowi głównemu S i umieszczamy je tak
aby jedna z nich była zaczepiona w biegunie redukcji O, le\
ała na linii działania wektora i aby jedna z nich była zaczepiona w biegunie redukcji O, le\
ała na linii działania wektora i
miała zwrot przeciwny do wektora głównego S. miała zwrot przeciwny do wektora głównego S.
M1 S
S
S S
MS MS
O
O O
Ą Ą
-S -S
Przypadek 1 - Redukcja przestrzennego
Przypadek 1 - Skrętnik
dowolnego układu sił do skrętnika
Układ redukuje się zatem do wektora
głównego S i do wektora momentu Ms
MO
równoległego do tej siły.
S
S
Układ zło\
ony z jednej siły S równej
S
a"
wektorowi głównemu układu oraz z jednego
wektora momentu Ms równoległego do tej siły
Ms
nazywamy skrętnikiem lub śrubą układu sił.
O
O
Ms
W ogólnym przypadku przestrzenny dowolny
Oś centralna
układ sił mo\
emy w jednoznaczny sposób
o
zredukować do skrętnika.
M `" 0; S `" 0; k `" 0;
Przypadek 1  Skrętnik Przypadek 1  Skrętnik
Moduł wektora Ms
Wyznaczenie równania osi centralnej
o o o
M �" Sx + M �" Sy + M �" Sz
x y z
o
M =
s
M = MS + � � S
2 2 2
Sx + Sy + Sz
Moment skrętnika
Zwroty tego wektora i wektora głównego układu sił są zgodne
o
gdy parametr układu k jest większy od zera, a przeciwne gdy
MS = M - � � S
parametr układu jest mniejszy od zera.
Gdzie:
o o o o
Moment główny
Prosta równoległa do S, będąca miejscem geometrycznym M = M i + M j + M k
x y z
punktów, dla których układ redukuje się do skrętnika, nazywa się
osią centralną układu sił (osią skrętnika).
Wektor główny
S = Sxi + Sy j + Szk
Obierając za biegun redukcji punkt nale\
ący do osi centralnej w
Promień wektor
� = xi + yj + zk
wyniku redukcji otrzymamy zawsze skrętnik.
6
Przypadek 2 - Wypadkowa
Przypadek 1  Skrętnik
Z warunku równoległości wektorów Ms oraz S wynika, \
e:
MSx M Sy M
Sz
= =
MO
Sx Sy Sz
S
Równanie osi centralnej
O O O
M - (ySz - zSy) M - (zSx - xSz) M -(xSy - ySx)
x y z O
= =
Sx Sy Sz
o
M `" 0; S `" 0; k = 0;
Przypadek 2 - Wypadkowa Przypadek 2 - Wypadkowa
O
M
S S
h
O O
S S
o
M = h �" S
-S -S
o o
M `" 0; S `" 0; k = 0; M `" 0; S `" 0; k = 0;
Przypadek 2 - Wypadkowa Przypadek 3 - Wypadkowa
o
M `" 0; S `" 0; k = 0;
W
W
W = S
O
O
o
M = 0; S `" 0; k = 0;
7
Przypadek 4 - Para sił Przypadek 4 - Para sił
F F
-F -F
MO
O O
O
o o
M `" 0; S = 0; k = 0; M `" 0; S = 0; k = 0;
Przypadek 5  Równowaga układu sił Równania równowagi
Dla dowolnego przestrzennego układu sił pozostającego w
Dowolny układ sił jest w równowadze, je\
eli wektor główny i
równowadze dwa równania wektorowe mo\
na zastąpić sześcioma
moment tego układu są równe zero.
analitycznymi równaniami zwanymi równaniami równowagi.
n
n n
= 0
Fix = 0 = 0
"Fiy
o " "Fiz
M = 0 i=1 i=1
i=1
n n
n
= 0 = 0 = 0
"Mix "Miy "Miz
S = 0
i=1 i=1 i=1
Osie x, y i z nie muszą być wzajemnie prostopadłe. Mogą to
być dowolne trzy osie nierównoległe do siebie i nierównoległe do
jednej płaszczyzny.
Przestrzenny dowolny układ sił Równania równowagi płaskiego układu sił
z
Układ płaski będzie w równowadze je\
eli spełnione będą
następujące warunki (równania analityczne):
F
1
F
2
Wariant I
1. Suma rzutów wszystkich sił układu na oś x jest równa zero.
y 2. Suma rzutów wszystkich sił układu na oś y jest równa zero.
3. Suma momentów wszystkich sił układu względem dowolnego
F
n
punktu w układzie jest równa zero.
n n n
= 0, = 0, = 0
"Fix "Fiy "Fiz
x
i=1 i=1 i=1
n n n
= 0, = 0, = 0
"Mix "Miy "Miz
i=1 i=1 i=1
8
Płaski dowolny układ sił Równania równowagi płaskiego układu sił
n n
y Wariant II
= 0, = 0
"Fix "Fiy
i=1 i=1
1. Suma momentów wszystkich sił układu względem dowolnych
n
dwóch punktów musi być równa zero.
o
= 0
"Mi
i=1
F
1 2. Suma rzutów wszystkich sił na kierunek nie prostopadły do
prostej przechodzącej przez te dwa punkty musi być równa zero
F
2
Wariant III
F
n
Suma momentów wszystkich sił układu względem trzech
punktów nie le\
ących na jednej prostej musi być równa zero.
x
Przykład redukcji układu sił Przykład redukcji układu sił
y
3
2
Do przycumowania statku oceanicznego zastosowano cztery 4
1 3
ą
holowniki wywierające wywierające siły 22,4 [kN] ka\
dy.
60O
Określić równowa\
ną siłę i moment przyło\
one w punkcie O
21 m
15 m
oraz miejsce na burcie, w którym powinien zadziałać jeden 27 m 30 m 60 m 30 m 30 m
O
holownik o większej mocy, aby wywołać taki sam efekt. x
21 m
45O
4
siną=0,8
cosą=0,6
Przykład redukcji układu sił Przykład redukcji układu sił
-19,4 j
F -17,9 j -22,4 j F
3
2
F
F1x = F1 cos 60� = 11,2 [kN] 1
13,4 i
F1y = F1 sin 60� = -19,4 [kN]
11,2 i
21 m
15 m
F2x = F2 cosą = 13,4 [kN] 27 m 30 m 60 m 30 m 30 m
O
F2 y = F2 siną = -17,9 [kN]
21 m
F3 = 22,4 [kN]
15,8 i
F4x = F4 cos 45� = 15,8 [kN] 15,8 j
F
4
F4 y = F4 sin 45� = 15,8 [kN]
9
Przykład redukcji układu sił Przykład redukcji układu sił
F1 = 11,2 �"i - 19,4 �" j r1 = -27 �"i + 15�" j
o
Po redukcji otrzymano
S Ą" M
F2 = 13,4 �"i - 17,9 �" j r1 = 30 �"i + 21�" j
y
F1 = - 22,4 �" j r1 = 120�"i + 21�" j
F1 = 15,8 �"i + 15,8 �" j r1 = 90 �"i + 21�" j
MO -1397 k
S = = 40,4 �" i - 43,9 �" j
"Fi
40,4 i
S = 59,7 [ kN ] O
�
4
o
M = (ri � Fi)= (- 27�"i +15�" j)�(11,2�"i -19,4�" j)+(30�"i + 21�" j)�(13,4 �"i -17,9�" j)
"
-43,9 j
i=1
S
43,9
+(120 �"i + 21�" j)�(- 22,4�" j)+(90�"i + 21�" j)�(15,8�"i +15,8�" j)= tg� = = 1,0866
40,4
(523,8 -168- 537 - 281,4 - 2688 +1422 + 331,8)�"k E" -1397�" k [Nm]
� E" 47,4�
0
M = 1397 [kNm]
Przykład redukcji układu sił Przykład redukcji układu sił
Zatem układ zredukuje się do wypadkowej, której linia
działania nie przechodzi przez biegun redukcji.
o
Określenie punktu przyło\
enia pojedynczego holownika
r = x �"i + 21�" j
M = ri � S
y
S
(x �"i + 27 �" j)�(40�"i - 43,9�" j)= -1397�" k
(- 43,9)�" k + (- 848,4)�" k = -1397�" k
r
O
-1397 + 848,4
x = = 12,5 [m]
- 43,9
Warunki geometryczne równowagi trzech sił na płaszczyz
nie
Przykład redukcji układu sił
F1
W = F2 + F3
A
F2
y
F2 F3
B
S
O
F1
W
C
r
O
F1 + F2 + F3 = 0
F3
10
Warunki geometryczne trzech sił na płaszczyz
nie
Twierdzenie o trzech siłach
F1
F1
A
D
F2
F3 F2
S
B
RA A B C ą
O
Trzy nierównoległe siły na �
płaszczyz
nie są w równowadze tylko
P
C
90�-�
wtedy, gdy tworzą wielobok
RA
zamknięty (o zgodnym obiegu
ą+�
O
strzałek), a linie ich działania P
F3
przecinają się w jednym punkcie.
S
90�-ą
Twierdzenie o przegubie obrotowym Twierdzenie o przegubie suwnym
k
Suma momentów wszystkich sił przyło\
onych do
jednej części układu połączonej tym przegubem,
a obliczona względem niego, jest równa zeru.
Suma rzutów na oś (k) wszystkich sił
y
przyło\
onych do jednej z dwóch części układu
połączonej tym przegubem jest równa zeru.
x
Przykład Przykład
y
ą
y
ą
F
F
ą
ą
C
C
M
M
RAy
RBy
RAy A
RBy 4 2
B
4 2
A
B
RAx x
RBx
RAx x
RBx
Dane: M, F
RA =? RAx + RBx - F siną = 0
RB =?
11
5
,
5
3
,
3
2
2
Przykład Przykład
y y
ą ą
F F
ą ą
C C
M M
RAy RAy
RBy RBy
A A
4 2 4 2
B B
RAx x RAx x
RBx RBx
RAy + RBy - F cosą = 0
2
RAx �" 2 - RAy �"6 + F = 0
cosą
Przykład
y
ą
F
ą
Statyka  Redukcja sił wewnętrznych
C
M
RAy
RBy
A
4 2
B
RAx x
RBx
M + RBx �" 2 = 0
Siły wewnętrzne Siły wewnętrzne
Rozpatrzmy bryłę materialną obcią\
oną układem sił F1,
Przetnijmy myślowo bryłę płaszczyzną ą.
F2,...,Fn, i momentów M1, M2,...,Mn będącą w równowadze
F F
1 2
Mn
F F
1 2
Mn
M2
ą
F
n
M2
F
n
M1
M1
12
5
5
,
,
3
3
2
2
5
,
3
2
Siły wewnętrzne Siły wewnętrzne
W punkcie będącym środkiem cię\
kości przekroju obieramy początek
W najogólniejszym przypadku mo\
emy zastąpić układ sił
przestrzennego układu współrzędnych.
zewnętrznych działających na część I układu jednym wektorem
Oś x - wzdłu\
geometrycznej osi pręta lub stycznie do niej (w przypadku prętów
siły S i jednym wektorem momentu M, przyło\
onymi w środku
zakrzywionych). Płaszczyzna y-z pokrywa się z płaszczyzną przekroju ą.
cię\
kości figury będącej przekrojem bryły płaszczyzną ą.
F
F 2
1
F
F 2
1
C
M2
S S
M2
C
ą
y
C
ą C
M x
M
z
Siły wewnętrzne Siły wewnętrzne
Rozkładamy wektor T na składową Ty i składową Tz.
Rozkładamy wektor S na składową N prostopadłą do przekroju
ą i składową T le\
ącą w płaszczyz
nie ą czyli w płaszczyz
nie y-z.
Rozkładamy wektor Myz na składową My oraz składową Mz.
Podobnie rozkładamy wektor M.
F
F 2
1
F
F 2
1
M2 C
Ty
C
M2
T
My ą
N
y
ą N Tz Mx
y
Myz x
Mx x
z
Mz
z
Siły wewnętrzne
Siły wewnętrzne
Prawdziwe są więc następujące równania wektorowe. W przypadku płaskiego zagadnienia gdy obcią\
enie działa
wyłącznie w jednej płaszczyz
nie np. x-z znikają niektóre składowe
np. Ty, Mx, Mz, i układ sił redukuje się do trzech wielkości: siły
S = N +Ty +Tz
normalnej N, siły tnącej Tz i momentu zginającego My.
MC = Mx + My + Mz
F
2
Siła N (siła podłu\
na, normalna) wywołuje rozciąganie gdy jest
F
1
skierowana od przekroju lub ściskanie gdy jest skierowana do
My
przekroju.
N
x
Siła T (poprzeczna, tnąca) wywołuje ścinanie.
M2
Moment Mx (skręcający) wywołuje skręcanie.
Tz
Moment Myz (zginający, gnący) wywołuje zginanie.
z
13
Siła normalna
Konwencja znakowania siły normalnej
Dodatnie zwroty sił
Siła normalna N jest równa sumie rzutów wszystkich sił działających na
jedną część ciała (po jednej stronie przekroju) na kierunek normalny do
przekroju.
N
+
Znak  + je\
eli siła działa od przekroju i pręt jest rozciągany. Znak  - je\
eli siła
działa do przekroju i pręt jest ściskany.
n
N =
"Fix
i=1
Konwencja znakowania siły normalnej Siła tnąca
Siła tnąca T jest równa sumie rzutów wszystkich sił działających na jedną część
ciała (po jednej stronie przekroju) na kierunek prostopadły do osi pręta.
Dodatnie zwroty sił
Znak  + je\
eli siła jest skierowana  do góry - po lewej stronie przekroju lub  w
+
dół po prawej stronie przekroju.
N
n
T =
"Fiz
i=1
Konwencja znakowania siły normalnej i stycznej Moment gnący
Dodatnie zwroty sił
Moment gnący M jest równy sumie momentów wszystkich sił działających na
jedną część ciała (po jednej stronie przekroju) względem punktu, który jest
T
środkiem przekroju.
Za dodatnie przyjmujemy momenty wyginające belkę wypukłością w dół
+
n
C
M =
N
g "Mi
i=1
14
Siły wewnętrzne
Konwencja znakowania momentu gnącego
n
n n
C
+ Mg
N = Fix
T = M =
"
"Fiz g "Mi
i=1
i=1 i=1
F
2
F
1
- Mg Mg
N
x
M2
Tz
z
Siły wewnętrzne
Siły wewnętrzne -przykład
Belką nazywamy pręt dowolnego przekroju, podparty w jednym Narysować wykresy sił tnących i momentów gnących dla belki
lub kilku punktach i obcią\
ony siłami zginającymi go. pokazanej na rysunku. Dane są : F, a
Związek pomiędzy momentem zginającym i siłą tnącą jest
F
słuszny dla ka\
dego przekroju dowolnie obcią\
onej belki zginanej.
a a
Pierwsza pochodna momentu gnącego względem współrzędnej
odmierzanej na belce jest równa sile tnącej.
dM
g
T =
dx
Siły wewnętrzne -przykład Siły wewnętrzne -przykład
n n
y
= 0 RBx = 0 = 0 RA + RBy - F = 0
"Fix "Fiy
x x
i=1 i=1
RBy RBy
RA F RA F
a a a a
RBx RBx
15
Siły wewnętrzne -przykład Siły wewnętrzne -przykład
n
y y
F F
= 0 - F�"a+ 2 �" RBy�"a = 0 RBx = 0; RB = RBy = ; RA =
"MiA
x x
2 2
i=1
RBy RB
RA F RA F
a a a a
RBx
Siły wewnętrzne -przykład Siły wewnętrzne  siła skupiona
F F
y y
RB = RA = RB RB = RA = RB
RA a F RA a F
2 2
a a
x x
Przedział I : 0 d" x d" a
Przedział II : a d" x d" 2a
x x
F x �ł
M = RA �" x = �" x M = RA �" x - F(x - a)= F�ł a - �ł
�ł
g g
2
2 �ł łł
F F
T = RA = T = RA - F = -
+
2 2
T T
dla x = 0 M = 0 F �"a
g
-
dla x = a M =
g
2
F �" a
x = a M = RA �"a =
g
x = 2a M = 0
g
2
Mg Mg
+
+
Siły wewnętrzne  moment pary sił Siły wewnętrzne  obcią\
enie ciągłe
y y
RB RB
RA a RA a
a a
N
x x
q �ł łł
�ł śł
m
�ł �ł
M
+
+
T T
-
Mg
-
Mg
+ +
16