Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 201, 202 i 203
Ćwiczenia 1, 6 X 2006
1. Udowodnić rachunkowe własności prawdopodobieństwa W1 W7, podane
na wykładzie.
2. F jest Ã-ciaÅ‚em, A, B "F. Wykazać, że A )" B "F.
3. Opisać najmniejsze Ã-ciaÅ‚o, do którego:
a) należy zbiór A;
b) należą zbiory A i B.
Zbadać, ile elementów może mieć Ã-ciaÅ‚o skoÅ„czone.
4. A, B, C są zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach zdarzenia
 zachodzi dokładnie k spośród wymienionych zdarzeń i  zachodzi co najmniej
k spośród wymienionych zdarzeń , gdzie k =0, 1, 2, 3.
1 1 2
5. Wiadomo, że P (A ) = , P (A )" B) = i P (A *" B) = . Obliczyć P (B )
3 4 3
i P (A )" B ).
6. Wurnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy dwie kule a) bez
zwracania; b) ze zwracaniem. Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie kul
tego samego koloru, czy różnych kolorów?
7. W grupie ćwiczeniowej jest 23 studentów. Jaka jest szansa, że w tej grupie:
a) jest ktoÅ› obchodzÄ…cy urodziny 22 maja;
b) sÄ… osoby obchodzÄ…ce urodziny tego samego dnia?
8. 10 osób wsiada do (pustego) pociągu. Każdy wybiera jeden z 4 wagonów
losowo. Jaka jest szansa, że wszystkie wagony będą zajęte?
9. Z 52 kart wybrano 13. Jaka jest szansa, że wśród wybranych kart jest a)
4; b) 6; c) 7 kart jednego koloru?
Uwaga. W niektórych z powyższych zadań prawdopodobnie należy zastoso-
wać klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Warto zbadać, czy zawsze jest to
uzasadnione.
Przydatne będą podstawowe schematy kombinatoryczne, znane pod hasłami:
permutacje, kombinacje, wariacje i wariacje z powtórzeniami.
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 201, 202 i 203
Ćwiczenia 2, 13 X 2006
A. Kombinatoryka.
1. W zadaniu z wykładu o listach obliczyć
a) prawdopodobieństwo, że dokładnie k listów trafi, gdzie trzeba.
b) średnią liczbę listów, trafiających do właściwej koperty.
2. Są 44 skarbonki zamykane na kluczyk, a każdy klucz pasuje dokładnie do
jednej skarbonki. Po zamknięciu skarbonek wymieszane losowo klucze powrzu-
cano po jednym do każdej skarbonki. Jaka jest szansa, że po rozbiciu dowolnie
wybranej skarbonki uda się otworzyć wszystkie?
3. Do n komórek wrzucono losowo n kul. Jaka jest szansa, że a) wszystkie
komórki będą zajęte; b) dokładnie jedna komórka pozostanie pusta?
4. Z 52 kart wybrano 13. Jaka jest szansa, że otrzymamy układ a) 5-4-3-1;
b) 5-3-3-2 (co oznacza: pięć kart w jednym kolorze, trzy w innym, etc.)
B. Prawdopodobieństwo geometryczne.
1. Z przedziału [0, 1] wybrano losowo punkty A, B i C. Jaka jest szansa, że
A2. Z przedziału [0, 1] wybrano losowo dwa punkty, które podzieliły go na
trzy odcinki. Jaka jest szansa, że uda się z nich zbudować trójkąt?
3. Jak gruba powinna być moneta, żeby upadała na kant z prawdopodobień-
1
stwem ?
3
4. Igła Buffona. Na podłogę z desek o szerokości d rzucamy igłę o długości
l. Jaka jest szansa, że igła nie przetnie krawędzi deski?
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 201, 202 i 203
Ćwiczenia 3, 20 X 2006
A. Kombinatoryka.
1. W koszyczku jest 8 jabłek i 4 gruszki. Wybrano losowo próbkę złożoną z
3 owoców. Jaki jest najbardziej prawdopodobny skład próbki?
2. Z jeziora wyłowiono 120 ryb, oznakowano i wpuszczono z powrotem do
wody. Po pewnym czasie wyłowiono 80 ryb, w tym 12 oznakowanych. Oszacować
liczbÄ™ ryb w jeziorze.
3. Gospodyni rozdzieliła losowo 24 pączki pomiędzy 6 gości. Jaka jest szansa,
że a) ktoś nie dostanie pączka; b) że każdy dostanie co najmniej dwa?
4*. Windą jedzie 7 osób, a każda może wysiąść na jednym z dziesięciu pięter.
Jaka jest szansa, że na pewnym piętrze wysiądą 3 osoby, na innym 2, i na dwóch
piętrach po jednej (w skrócie: 3-2-1-1-0-0-0-0-0-0)? Ile jest takich konfiguracji?
B. Prawdopodobieństwo warunkowe.
1. Wurnie jest b kul białych i c kul czarnych. Po wylosowaniu kuli zwracamy
ją do urny i dokładamy d kul tego samego koloru. Jaka jest szansa otrzymania
kolejno kuli białej, czarnej i białej? A czarnej, białej i białej? Jakie jest ogólne
twierdzenie?
2. Spośród rodzin z dwojgiem dzieci wylosowano jedną i okazało się, że a)
starsze dziecko jest chłopcem; b) co najmniej jedno dziecko jest chłopcem. Jaka
jest w obu przypadkach szansa na to, by rodzina miała dwóch synów? Czy
w b) przypadkiem uzyskana informacja, że jedno z dzieci ma na drugie imię
Kazimierz, zmieni ocenÄ™ szans?
3. Brydżysta dostał 13 kart z 52, obejrzał jedną i stwierdził, że nie ma asa.
Obejrzał kolejne 5 i znów nie trafił na asa. Obejrzał jeszcze 4 i nie zobaczywszy
asa stwierdził, że prawie na pewno wśród pozostałych kart nie ma asa. Odtwo-
rzyć rozumowanie brydżysty.
4. Ola i Jola umówiły się między 12 a 13 w centrum miasta; ta, która przyj-
dzie pierwsza, czeka 15 minut. Jola już wie, że przed 12:30 na pewno nie przyj-
dzie. Jaka jest szansa, że dojdzie do spotkania?
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 201 203
Ćwiczenia 4, 27 X 2006
A. Prawdopodobieństwo warunkowe, wzór na pr. całkowite, wzór Bayesa.
1. W 2005 roku w Bolkowicach włamano się do 30% mieszkań w blokach i
do 10% domków, a w Nowych Bolkowicach  do 40% mieszkań w blokach i do
20% domków. Czy wynika stąd, że w Bolkowicach jest bezpieczniej (mniejsza
szansa włamania)?
2. Wykonano dwie serie po n rzutów symetryczną monetą. Jaka jest szansa,
że w obu seriach wypadło tyle samo orłów?
3. Są dwie kostki symetryczne i jedna obciążona, na której szóstka wypada
z prawdopodobieństwem 1/10, a pozostałe wyniki mają równe szanse. Wybrano
losowo kostkę i w 7 rzutach nie uzyskano ani jednej szóstki. Obliczyć prawdo-
podobieństwo, że kostka jest obciążona.
4. Rzucamy monetą do chwili uzyskania dwóch orłów z rzędu. Jaka jest
szansa, że gra zakończy się w parzystej liczbie rzutów?
B. Niezależność zdarzeń. Schemat Bernoulliego.
1. Losujemy kartę z talii 52 kart. Czy niezależne są pary zdarzeń:
a) A  wylosowano asa, B  wylosowano kartÄ™ czerwonÄ…; b) A  wylo-
sowano asa pik, B  wylosowano dwójkę karo. Czy odpowiedz
zmieni siÄ™, gdy
będziemy losować dwie karty? A więcej?
2. Tzw. tie-break w tenisie kończy się, gdy jeden z zawodników wygra 7 piłek.
Jaka jest szansa wygranej zawodnika, który prowadzi 4:2 i ma równorzędnego
przeciwnika, z którym umówił się, że nie ma gry  na przewagę .
3. Asesor, Rejent i x. Robak strzelili jednocześnie do niedz
wiedzia, który
padł, trafiony jedną kulą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafił Asesor, jeśli
w podobnych warunkach uzyskuje 80% celnych strzałów, podczas gdy x. Robak
95%, zaÅ› Rejent tylko 70%.
4. Jaka jest szansa, że w schemacie Bernoulliego otrzymamy parzystą liczbę
sukcesów? Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów?
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 201 203
Ćwiczenia 5, 3 XI 2005
Komunikat. 17 XI w grupach 201 203 odbędzie się kolokwium. Zakres materiału:
elementarny rachunek prawdopodobieństwa, bez zmiennych losowych. Zadania nie zro-
bione na ćwiczeniach należy potraktować jako przygotowawcze.
A. Niezależność.
1. Wykazać twierdzenie z wykładu, charakteryzujące niezależność n zdarzeń (stw.
11, s. 61 z podręcznika [JJ RS]).
2. Jest 95% kierowców ostrożnych, którzy powodują w ciągu roku wypadek z praw-
dopodobieństwem 1% i 5% piratów, u których szansa na wypadek wynosi 20%. Zakła-
damy niezależność wypadków u tego samego kierowcy w kolejnych latach. Wybrany
losowo kierowca nie spowodował wypadku w roku 2004. Jaka jest szansa, że spowoduje
wypadek w roku 2005? Jak zmieni siÄ™ odpowiedz
, jeśli wiadomo, że kierowca nie miał
wypadku w latach 2003 2004?
3. Dwie osoby przeprowadzają korektę książki. Pierwsza znalazła 122 błędy, druga
163, przy czym było 67 błędów wykrytych przez obie. Obydwie osoby zostały też
zwolnione z pracy. Dlaczego?
4. Tenisista musi wygrać dwa kolejne mecze z trzech. Może grać a) z mistrzem,
potem z kolegą klubowym i znów z mistrzem, albo b) z kolegą, z mistrzem, z kolegą.
Którą możliwość powinien wybrać, jeśli wyniki kolejnych meczów są niezależne, szansa
wygrania meczu z mistrzem jest równa p, z kolegą  r >p?
B. Schemat Bernoulliego.
1. Jaka jest szansa, że przy wielokrotnym rzucaniu parą kostek suma oczek 8
pojawi siÄ™ przed sumÄ… oczek 7?
2. Rozgrywający partię brydża ma wraz z tzw. dziadkiem 8 pików, zatem u prze-
ciwników jest ich razem 5. Rozgrywający uważa, że prawdopodobieństwo, iż przeciwnik
po lewej ma k pików, jest równe prawdopodobieństwu k sukcesów w schemacie Berno-
ulliego n niezależnych doświadczeń, gdzie n =5 i k =0, 1, 2, 3, 4, 5. Czy ma rację?
3. Rzucono monetą (niekoniecznie symetryczną) 10 razy. Zbadać niezależność zda-
rzeń: A   jeden lub więcej orłów w pierwszych 5 rzutach ; B   jedna lub więcej
reszek w ostatnich 5 rzutach . podać inne przykłady zdarzeń zależnych i niezależnych
w tym doświadczeniu.
4. Agnieszka i Bartek grają w ping-ponga i kończą seta grą na przewagę przy stanie
20:20. Jaką szansę wygrania seta ma Agnieszka, jeśli wygrywa dwie piłki na trzy?
5. Gracze z zad. 4 umówili się, że grają do chwili, gdy ktoś wygra dwie kolejne
piłki. Jakie są teraz szanse wygranej? Jaka jest szansa, że rozgrywka zakończy się w
parzystej liczbie piłek?
6. Zastanowić się nad wyborem taktyki w następującej sytuacji: jesteśmy w kasy-
nie, mamy ostatnie 20 zł, taksówka do domu kosztuje 40 zł. Czy postawić wszystko
na czerwone-czarne, licząc na wygranie 40 zł, na co jest szansa p =18/37, czy może
ostrożnie stawiać po złotówce, dopóki nie uzbieramy 40 zł? Gdyby p =1/2, czy mia-
łoby to wpływ na taktykę?
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 201 203
Ćwiczenia 6, 10 XI 2006
A. Niezależność, lemat Borela-Cantelliego.
1. Z 52 kart wybrano 13. Czy as pik i dwójka trefl pojawiają się wśród
wybranych kart niezależnie?
2. Czy z niezależności parami zdarzeń A, B i C wynika niezależność zdarzeń
A \ B i C?
3*. W nieskończonym ciągu prób Bernoulliego z pr. sukcesu w pojedynczej
próbie równym p " (0, 1) zdarzenie An polega na pojawieniu się serii n sukcesów
w próbach o numerach zawartych pomiędzy 2n a 2n+1 - 1. Zbadać w zależności
od p szansę pojawienia się nieskończenie wielu zdarzeń An.
B. Twierdzenie Poissona.
1. W pewnym miasteczku 5000 osób zagrało w Toto-Lotka. Jaka jest szansa,
że
a) będzie więcej niż 3  trójki ;
b) będzie dokładnie jedna  czwórka ;
c) nie będzie  piątek ;
d) będzie jedna lub więcej  szóstek .
Przy obliczeniach przybliżonych podać błąd przybliżenia.
2. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba  czwórek przy założeniach
poprzedniego zadania?
1
Kolokwium z rachunku prawdopodobieństwa dla WNE,
25 XI 2005, 08:00, A, 8 zadań po 12 pt, bonus 10 pt
1. Wykazać, że |P (A) - P (B)| P (A \ B) +P (B \ A).
2. Z talii 24-kartowej wybrano 6 kart. Jaka jest szansa, że wśród nich będzie
przynajmniej jeden pik oraz przynajmniej jedna figura (A, K, D lub W)?
3. Co jest bardziej prawdopodobne: uzyskanie co najmniej raz jedynki w 4
rzutach kostkÄ…, czy co najmniej raz pary jedynek w 24 rzutach parÄ… kostek?
4. W urnie jest 11 kul białych i 9 czarnych. Wylosowano po kolei dwie kule,
ale jednÄ… wyrzucono bez oglÄ…dania.
a) Jaka jest szansa, że druga kula jest biała? b) Druga kula jest biała. Jaka
jest szansa, że wyrzucona kula jest biała?
1
5. Zdarzenia A1, A2, . . . An, . . . są niezależne, przy czym P (An) = , n =
n
1, 2, . . . Obliczyć
a) P (A1 )" A )" A3); b) P (A1 *" A2);
2
c) Jaka jest szansa, że zajdzie skończenie wiele zdarzeń An?
6. Leszek i Olek grają w ping-ponga aż do chwili, gdy jeden z nich uzyska 2
punkty przewagi. Jakie są szanse wygranej Leszka, jeśli wygrywa średnio dwie
piłki na trzy? Sprecyzuj założenia modelu gry.
7. Z odcinka [0, 1] wybrano losowo trzy punkty: x, y i z. Skonstruować model
dla tego doświadczenia i obliczyć prawdopodobieństwo, że:
1
a) xy = z; b) x, y i z sÄ… wymierne; c) xy < ?
4
1
d) Jakie są szanse poprzedniego zdarzenia, jeśli ponadto wiadomo, że y > ?
4
e) Zbadać niezależność zdarzeń A = {(x, y, z) : x z}.
8. Andrzejewscy i Zawadowie udali siÄ™ z kocami o powierzchni odp. 2 m2 i
3 m2 do lasu o powierzchni 1 km2, w którymjest milion szczypawek.
a) Jaka jest szansa, że koc Zawadów jest wolny od szczypawek?
b) Dziecko Andrzejewskich krzyczy, że na kocu jest szczypawka. Jaka jest
szansa, że szczypawek jest tamwięcej?
c) Jaka jest szansa, że na obu kocach jest tyle samo szczypawek?
Bonus. a) Jeśli masz jeszcze trochę czasu, napisz, jaka była przyczyna zgonu,
o której mowa w poniższym fragmencie  Bills of Mortality... Johna Graunta
(4 pt):
The Diseases, and Casualties this year being 1632.
[...]
Consumption 1797
[...]
In all 9584.
b) John Graunt oszacował liczbę mieszkańców Londynu. Podaj (i uzasadnij)
własne oszacowanie (6 pt).
1
Kolokwium z rachunku prawdopodobieństwa dla WNE,
25 XI 2005, 08:00, B, 8 zadań po 12 pt, bonus 10 pt
1. Wykazać, że P (A \ B) +P (B \ A) 2 - P (A) - P (B).
2. Z talii 24-kartowej wybrano 6 kart. Jaka jest szansa, że wśród nich będzie
przynajmniej jeden pik oraz przynajmniej jeden as?
3. Co jest bardziej prawdopodobne: uzyskanie co najmniej raz jedynki w 6
rzutach kostką, czy co najmniej dwóch jedynek w 12 rzutach?
4. W urnie jest 11 kul białych i 9 czarnych. Wylosowano po kolei dwie kule,
ale jednÄ… wyrzucono bez oglÄ…dania.
a) Jaka jest szansa, że druga kula jest biała? b) Druga kula jest biała. Jaka
jest szansa, że wyrzucona kula jest biała?
1
5. Zdarzenia A1, A2, . . . An, . . . są niezależne, przy czym P (An) = , n =
n2
1, 2, . . . Obliczyć
a) P (A1 )" A )" A3); b) P (A1 *" A2);
2
c) Jaka jest szansa, że zajdzie nieskończenie wiele zdarzeń An?
6. Rzucamy na przemian kostkÄ… i symetrycznÄ… monetÄ…. Jaka jest szansa
uzyskania szóstki, zanimpojawi się orzeł?
7. Z odcinka [0, 1] wybrano losowo trzy punkty: x, y i z. Skonstruować model
dla tego doświadczenia i obliczyć prawdopodobieństwo, że:
1
a) x - y = z; b) x, y i z sÄ… niewymierne; c) xy > ?
4
1
d) Jakie są szanse poprzedniego zdarzenia, jeśli ponadto wiadomo, że y > ?
4
e) Zbadać niezależność zdarzeń A = {(x, y, z) : x z}.
8. Andrzejewscy i Zawadowie udali siÄ™ z kocami o powierzchni odp. 4 m2 i
5 m2 do lasu o powierzchni 1 km2, w którymjest milion szczypawek.
a) Jaka jest szansa, że oba koce są wolne od szczypawek?
b) Dziecko Andrzejewskich krzyczy, że na kocu jest szczypawka. Jaka jest
szansa, że jest to jedyna szczypawka?
c) Jaka jest szansa, że na obu kocach są w sumie 3 szczypawki?
Bonus. a) Jeśli masz jeszcze trochę czasu, napisz, jaka była przyczyna zgonu,
o której mowa w poniższym fragmencie  Bills of Mortality... Johna Graunta
(4 pt):
The Diseases, and Casualties this year being 1632.
[...]
Consumption 1797
[...]
In all 9584.
b) John Graunt oszacował liczbę mieszkańców Londynu. Podaj (i uzasadnij)
własne oszacowanie (6 pt).
2
Kolokwium z rachunku prawdopodobieństwa dla WNE,
25 XI 2005, 09:45, A, 8 zadań po 12 pt, bonus 10 pt
1. Czy zawsze P (A) - P (B) P (A \ B)?
2. Z talii 52-kartowej wybrano 13 kart. Jaka jest szansa, że w przynajmniej
jednym kolorze będą dokładnie 4 karty?
3. Ile razy trzeba rzucić parą kostek, by szansa otrzymania pary jedynek
przekroczyła 50%?
4. W mieście jest 30% taksówek czarnych i 70% granatowych. W nocy kolor
czarny jest rozpoznawany poprawnie w 70% przypadków, a granatowy w 80%
przypadków. Świadek wypadku twierdzi, że taksówka była granatowa. Jaka jest
szansa, że to prawda?
1
5. Zdarzenia A1, A2, . . . An, . . . są niezależne, przy czym P (An) = ,
n+7
n =1, 2, . . . Obliczyć
a) P (A )" A )" A3); b) P (A1 *" A2);
1 2
c) Jaka jest szansa, że zajdzie skończenie wiele zdarzeń An?
6. Leszek i Olek obserwują serię rzutów monetą. Olek wygra, jeśli ciąg OR
pojawi siÄ™ przed RR. JakÄ… ma szansÄ™ wygranej?
7. Z odcinka [0, 1] wybrano losowo trzy punkty: x, y i z. Skonstruować model
dla tego doświadczenia i obliczyć prawdopodobieństwo, że:
1
a) cos x + ey = z; b) x, y i z sÄ… niewymierne; c) xy < ?
2
1
d) Jakie są szanse poprzedniego zdarzenia, jeśli ponadto wiadomo, że y > ?
2
e) Zbadać niezależność zdarzeń A = {(x, y, z) : x >y}; B = {(x, y, z) : y <
z}.
8. Andrzejewscy i Zawadowie udali siÄ™ z kocami o powierzchni odp. 2 m2 i
3 m2 do lasu o powierzchni 2 km2, w którym jest milion szczypawek.
a) Jaka jest szansa, że na kocu Zawadów są szczypawki?
b) Dziecko Andrzejewskich krzyczy, że na kocu jest szczypawka. Jaka jest
szansa, że szczypawek jest tam więcej?
c) Jaka jest szansa, że na kocu Andrzejewskich są 2 szczypawki, jeśli wia-
domo, że na obu kocach jest ich 6?
Bonus. a) Jeśli masz jeszcze trochę czasu, napisz, jaka była przyczyna zgonu,
o której mowa w poniższym fragmencie  Bills of Mortality... Johna Graunta
(4 pt):
The Diseases, and Casualties this year being 1632.
[...]
Consumption 1797
[...]
In all 9584.
b) John Graunt oszacował liczbę mieszkańców Londynu. Podaj (i uzasadnij)
własne oszacowanie (6 pt).
1
Kolokwium z rachunku prawdopodobieństwa dla WNE,
25 XI 2005, 09:45, B, 8 zadań po 12 pt, bonus 10 pt
1. Wykazać, że gdy A )" B ‚" C, to P (C) P (A) +P (B) - 1.
2. W 5 pudełkach rozmieszczono losowo 7 przedmiotów. Jaka jest szansa, że
co najwyżej jedno pudełko jest puste?
3. Jaka suma będzie pojawiać się częściej przy rzucie trzema kostkami: 11
czy 12?
4. W mieście jest 30% taksówek czarnych i 70% granatowych. W nocy ko-
lor czarny jest rozpoznawany poprawnie w 70% przypadków, a granatowy w
80% przypadków. Dwóch (nie znających się) świadków wypadku twierdzi, że
taksówka była granatowa. Jaka jest szansa, że to prawda?
1
5. Zdarzenia A1, A2, . . . An, . . . są niezależne, przy czym P (An) = , n =
n3
1, 2, . . . Obliczyć
a) P (A )" A2 )" A3); b) P (A1 *" A2);
1
c) Jaka jest szansa, że zajdzie nieskończenie wiele zdarzeń An?
6. Rzucamy na przemian kostkÄ… i symetrycznÄ… monetÄ…. Jaka jest szansa
uzyskania szóstki, zanim pojawi się orzeł?
7. Z odcinka [0, 1] wybrano losowo trzy punkty: x, y i z. Skonstruować model
dla tego doświadczenia i obliczyć prawdopodobieństwo, że:
1
a) x - y = z2; b) x, y i z sÄ… niewymierne; c) xy > ?
4
1
d) Jakie są szanse poprzedniego zdarzenia, jeśli ponadto wiadomo, że y > ?
4
e) Zbadać niezależność zdarzeń A = {(x, y, z) : x z}.
8. Andrzejewscy i Zawadowie udali siÄ™ z kocami o powierzchni odp. 4 m2 i
5 m2 do lasu o powierzchni 2 km2, w którym jest milion szczypawek.
a) Jaka jest szansa, że oba koce są wolne od szczypawek?
b) Dziecko Andrzejewskich krzyczy, że na kocu jest szczypawka. Jaka jest
szansa, że nie jest to jedyna szczypawka?
c) Jaka jest szansa, że na obu kocach są w sumie 4 szczypawki?
Bonus. a) Jeśli masz jeszcze trochę czasu, napisz, jaka była przyczyna zgonu,
o której mowa w poniższym fragmencie  Bills of Mortality... Johna Graunta
(4 pt):
The Diseases, and Casualties this year being 1632.
[...]
Consumption 1797
[...]
In all 9584.
b) John Graunt oszacował liczbę mieszkańców Londynu. Podaj (i uzasadnij)
własne oszacowanie (6 pt).
2
Kolokwium z rachunku prawdopodobieństwa dla WNE,
25 XI 2005, 11:30, A, 8 zadań po 12 pt, bonus 10 pt
1. Podać przykład trzech zdarzeń, które nie są niezależne, ale są niezależne
parami.
2. Z talii 52-kartowej wybrano 13 kart. Jaka jest szansa, że w przynajmniej
jednym kolorze będą dokładnie 3 karty?
3. Ile razy trzeba rzucić parą kostek, by szansa otrzymania pary jedynek
przekroczyła 99%?
4. W mieście jest 40% taksówek czarnych i 60% granatowych. W nocy kolor
czarny jest rozpoznawany poprawnie w 70% przypadków, a granatowy w 80%
przypadków. Świadek wypadku twierdzi, że taksówka była granatowa. Jaka jest
szansa, że to prawda?
5. Zdarzenia A1, A2, . . . An, . . . są niezależne, przy czym P (An) = 2-n,
n =1, 2, . . . Obliczyć
a) P (A )" A2 )" A3); b) P (A1 *" A2);
1
c) Jaka jest szansa, że zajdzie skończenie wiele zdarzeń An?
6. Leszek i Olek obserwują serię rzutów monetą. Olek wygra, jeśli ciąg RO
pojawi siÄ™ przed OO. JakÄ… ma szansÄ™ wygranej?
7. Z odcinka [0, 1] wybrano losowo trzy punkty: x, y i z. Skonstruować model
dla tego doświadczenia i obliczyć prawdopodobieństwo, że:
1
a) cos2 x + ey = z; b) x, y i z sÄ… niewymierne; c) xy < ?
2
1
d) Jakie są szanse poprzedniego zdarzenia, jeśli ponadto wiadomo, że y > ?
2
e) Zbadać niezależność zdarzeń A = {(x, y, z) : x >y}; B = {(x, y, z) : y <
z}.
8. Andrzejewscy i Zawadowie udali siÄ™ z kocami o powierzchni odp. 2 m2 i
3 m2 do lasu o powierzchni 2 km2, w którym jest milion szczypawek.
a) Jaka jest szansa, że tylko na kocu Zawadów są szczypawki?
b) Dziecko Andrzejewskich krzyczy, że na kocu jest szczypawka. Jaka jest
szansa, że szczypawek jest tam więcej?
c) Jaka jest szansa, że na kocu Andrzejewskich są 2 szczypawki, jeśli wia-
domo, że na obu kocach jest ich 8?
Bonus. a) Jeśli masz jeszcze trochę czasu, napisz, jaka była przyczyna zgonu,
o której mowa w poniższym fragmencie  Bills of Mortality... Johna Graunta
(4 pt):
The Diseases, and Casualties this year being 1632.
[...]
Consumption 1797
[...]
In all 9584.
b) John Graunt oszacował liczbę mieszkańców Londynu. Podaj (i uzasadnij)
własne oszacowanie (6 pt).
1
Kolokwium z rachunku prawdopodobieństwa dla WNE,
25 XI 2005, 11:30, B, 8 zadań po 12 pt, bonus 10 pt
1. Zdarzenia A, B, C są niezależne. Czy A *" B i C są niezależne?
2. W 6 pudełkach rozmieszczono losowo 8 przedmiotów. Jaka jest szansa, że
co najwyżej jedno pudełko jest puste?
3. Jaka suma będzie pojawiać się częściej przy rzucie trzema kostkami: 11
czy 12?
4. W mieście jest 10% taksówek czarnych i 90% granatowych. W nocy ko-
lor czarny jest rozpoznawany poprawnie w 70% przypadków, a granatowy w
80% przypadków. Dwóch (nie znających się) świadków wypadku twierdzi, że
taksówka była granatowa. Jaka jest szansa, że to prawda?
1
5. Zdarzenia A1, A2, . . . An, . . . są niezależne, przy czym P (An) = , n =
n
1, 2, . . . Obliczyć
a) P (A )" A2 )" A3); b) P (A1 *" A2);
1
c) Jaka jest szansa, że zajdzie nieskończenie wiele zdarzeń An?
6. Rzucamy kostką do chwili pojawienia się dwóch kolejnych szóstek. Jaka
jest szansa, że liczba rzutów będzie parzysta?
7. Z odcinka [0, 1] wybrano losowo trzy punkty: x, y i z. Skonstruować model
dla tego doświadczenia i obliczyć prawdopodobieństwo, że:
1
a) cosh x - sin y = z2; b) x, y i z sÄ… niewymierne; c) xy > ?
2
1
d) Jakie są szanse poprzedniego zdarzenia, jeśli ponadto wiadomo, że y > ?
2
e) Zbadać niezależność zdarzeń A = {(x, y, z) : x z}.
8. Andrzejewscy i Zawadowie udali siÄ™ z kocami o powierzchni odp. 2 m2 i
3 m2 do lasu o powierzchni 2 km2, w którym jest milion szczypawek.
a) Jaka jest szansa, że co najmniej jeden koc jest wolny od szczypawek?
b) Dziecko Andrzejewskich krzyczy, że na kocu jest szczypawka. Jaka jest
szansa, że jest to jedyna szczypawka?
c) Jaka jest szansa, że na obu kocach są w sumie 2 szczypawki?
Bonus. a) Jeśli masz jeszcze trochę czasu, napisz, jaka była przyczyna zgonu,
o której mowa w poniższym fragmencie  Bills of Mortality... Johna Graunta
(4 pt):
The Diseases, and Casualties this year being 1632.
[...]
Consumption 1797
[...]
In all 9584.
b) John Graunt oszacował liczbę mieszkańców Londynu. Podaj (i uzasadnij)
własne oszacowanie (6 pt).
2
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 201 203
Ćwiczenia 8, 24 XI 2006
1. Niech X oznacza liczbę prób, potrzebną do uzyskania k sukcesów w schemacie
Bernoulliego. Wyznaczyć rozkład X.
2. Czas T rozmowy telefonicznej ma rozkład wykładniczy z parametrem . Jaki
rozkład ma część całkowita T , a jaki część ułamkowa?
Uwaga. Część całkowita liczby x to największa liczba całkowita nie przekraczającą
x. Część ułamkową liczby x otrzymujemy odejmując od niej część całkowitą.
3. Czas rozmowy telefonicznej ma rozkład wykładniczy z parametrem 1 (co ozna-
cza, że rozmowa trwa średnio minutę). Tak zwane impulsy naliczane są co minutę. Ile
zapłacimy średnio za rozmowę? A za minutę rozmowy? Jak zmieni się odpowiedz
, gdy
impulsy będzie się naliczać co 30 sekund?
4. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [-1, 1]. Jaki rozkład
1
ma a) - ln |X|; b) ctg Ä„X?
2
5. Rozkład Laplace a. Zmienna losowa X ma gęstość postaci
g(x) =Ce-|x-a|.
Wyznaczyć stałą C w zależności od parametrów  i a. Obliczyć P (|X - a| > 1).
6. Koincydencje. n osób wychodząc z baru zakłada losowo na głowę n kapeluszy.
Niech X oznacza liczbę kapeluszy, które trafiły na głowy właścicieli. Obliczyć wartość
oczekiwanÄ… i wariancjÄ™ X.
7. Wyznaczyć wartości oczekiwane dla znanych rozkładów prawdopodobieństwa.
8. Zmienna losowa Z przyjmuje wyłącznie wartości 0,1,2,. . . Wykazać, że
" "

EZ = P (Z n) = P (Z>n).
n=1 n=0
9. Który wzór na wartość średnią nieujemnej zmiennej losowej X jest prawdziwy:

" "
EX = P (X t)dt, czy EX = P (X>t)dt.
0 0
10*. Czas życia w siedemnastowiecznym Londynie ma z dobrym przybliżeniem
rozkład wykładniczy. Oznaczmy odpowiednią zmienną losową przez T .
a) Obliczyć
P (T " [t, t + h])
lim , t 0.
h0 hP (T > t)
b) Załóżmy, że ET =18 (lat). Jakie jest średnie dalsze trwanie życia osoby, która
przeżyła r lat?
c) W roku 1632 stwierdzono w Londynie ok. 9600 zgonów. Czy da się na tej pod-
stawie oszacować liczbę mieszkańców Londynu?
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 201 203
Ćwiczenia 9, 1 XII 2006
A. Rocznik statystyczny jako generator liczb losowych.
Na ćwiczeniach wylosujemy ok. 100 liczb z rocznika statystycznego i zbadamy
rozkład pierwszej cyfry znaczącej. Kto chce, może eksperyment przeprowadzić
w domu i spróbować wyjaśnić wyniki. Pierwsza cyfra znacząca to pierwsza różna
od zera cyfra w zapisie dziesiętnym liczby (np. 3655, 0,0546). W główkach tabel
często występują liczby rozpoczynające się od 1, oznaczające lata. Należy je
zignorować.
B. Zmienne losowe, parametry rozkładów.
1. Zmienna losowa X ma gęstość g(x). Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej
aX + b, gdzie a = 0. Można dla wygody założyć, że funkcja g jest ciągła.

1
2. Zmienna losowa X ma gęstość g(x) = e-|x|.
2
a) wyznaczyć dystrybuantę i gęstość dla |X| oraz X2.
b) obliczyć funkcję tworzącą momenty dla X.
c) wyznaczyć wszystkie momenty X.
Niech Z =max(|X|, 2).
d) obliczyć EZ, P (Z 2), P (Z >2), P (Z =2), P (Z = 2003).
3. W pewnym kraju wszyscy zarabiają co najmniej 100 talarów miesięcznie, a
co najwyżej 1000. Ponadto ułamek G(x) zarabiających ponad x talarów wyraża
siÄ™ wzorem
(x - 100)2
G(x) =1 - , 100 x 1000.
810000
Obliczyć średnią płacę.
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 201 203
Ćwiczenia 10, 7 XII 2006
Wariancja, kowariancja, współczynnik korelacji, nierówność Czebyszewa
1. Jaś i Małgosia grają w orła i reszkę symetryczną monetą (jeśli wypadnie
orzeł, Jaś wygrywa od Małgosi złotówkę, etc.). Jaś, mając przewagę fizyczną,
może wycofać się z gry w dowolnym momencie, gra się co najwyżej 4 razy.
Niech X oznacza wygraną Jasia. Wyznaczyć EX i D2X, jeśli
a) Jaś wycofuje się, gdy po raz pierwszy wygra k zł, k =0, 1, 2, 3, 4.
b) Jaś gra do końca.
2. W zadaniu o spotkaniu dwóch osób niech X oznacza czas przybycia osoby,
która przyszła wcześniej, zaś Y  tej, która przyszła póz
niej. Obliczyć
a) EX, EY ; b) D2X, D2Y ; c) cov(X, Y ) oraz współczynnik korelacji.
3. Wykazać, że gdy X 0, p >0, to

"
EXp = p tp-1P (X>t)dt.
0
4. Wypłata w grze losowej jest obliczana jako max(U - 3000, 0), gdzie U
ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 9000]. Wyznaczyć średnią i wariancję
wygranej.
5. Oszacowaćprawdopodobieństwo, że w serii n rzutów symetryczną monetą
liczba orłów przewyższy liczbę reszek o 5% lub więcej dla n = 1000, 10.000,
100.000 i 1.000.000.
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 201 203
Ćwiczenia 11, 15 XII 2006
A. Ogłoszenia. Na ćwiczeniach 19 stycznia odbędzie się kolokwium. Materiał:
zmienne losowe i wszystko, co pojawiło się póz
niej. Czas  90 .
B. Niezależne zmienne losowe.
1. Zmienne losowe X i Y mają ten sam rozkład wykładniczy. Wyznaczyć
gęstość dla wektora losowego (X, Y ). Obliczyć EXY i EX2Y .
2. Zmienne losowe X i Y mają ten sam rozkład geometryczny G0(p). Opisać
rozkład wektora losowego (X, Y ). Obliczyć P (X + Y < k) dla K =1, 2, . . .
3. X ma rozkład wykładniczy. Niech U będzie częścią całkowitą X, a V 
częścią ułamkową. Zbadać niezależność U i V .
C. Wielowymiarowe zmienne losowe i warunkowa wartość oczekiwana.
1. Rzucono 5 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów w
trzech pierwszych rzutach, z Y  łączną liczbę orłów we wszystkich rzutach.
a) sporządzić tabelkę rozkładu łącznego (X, Y );
b) wyznaczyć rozkłady brzegowe;
c) obliczyć Á(X, Y );
d) Obliczyć E(X|Y = k) dla k =0, 1, 2, 3, 4, 5. Jeśli to zadanie wydaje się
zbyt nudne, odgadnąć wynik i wyznaczyć E(X|Y );
e) Obliczyć E(E(X|Y )).
2. W sytuacji z zadania 1 niech Z będzie liczbą orłów w dwóch ostatnich
rzutach. Wykonać polecenia a e dla pary (X, Z).
3. Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład jednostajny na prze-
dziale [0, 1].
a) Wyznaczyć gęstość dla (X, Y ). Jakie są rozkłady brzegowe? A warunkowe?
b) Obliczyć E(X|Y ), E(Y |X).
c) Niech U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). Wyznaczyć gęstość dla (U, V )
oraz rozkłady brzegowe.
d) Wyznaczyć rozkłady warunkowe U względem V i odwrotnie.
e) Obliczyć E(U|V ), E(V |U).
f) Wyznaczyć rozkład X + Y . Na ile sposobów można to zrobić?
4. Wykonać polecenia a) i b) dla X i Y o standardowym rozkładzie normal-
nym.
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 201 203
Ćwiczenia 12, 5 I 2007
A. Niezależność, rozkłady warunkowe.
1. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny na trójkącie
"={(x, y) : 0 x y 1}.
Na ile sposobów można obliczyć EXY ?
Wsk. Skorzystać z własności warunkowej wartości oczekiwanej.
2. 20% klientów supermarketu płaci kartą i wtedy czas obsługi ma rozkład
wykładniczy z parametrem 1. Pozostali płacą gotówką; w tym przypadku czas
obsługi ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 2]. Wyznaczyć wartość oczeki-
waną i wariancję czasu obsługi.
3. Wektor losowy (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkład normalny, przy czym
1
D2X = D2Y =1, cov(X, Y ) = . Wyznaczyć gęstość tego rozkładu, a także
2
gęstość warunkową dla X, gdy Y = t; obliczyć E(X|Y = t).
4. Liczba szkód zgłoszonych w ciągu roku przez klienta towarzystwa ubez-
pieczeniowego ma rozkład Poissona z parametrem . Ale sam parametr  zależy
od klienta. Przyjmijmy, że ma rozkład wykładniczy z parametrem 1. Jaki jest
rozkład liczby szkód?
5. Niezależne zmienne losowe X i Y mają ten sam rozkład a) jednostajny
na przedziale [0, 1], b) wykładniczy. Wyznaczyć gęstości dla X - Y , a także
wszystkie momenty.
6. Rzucono 100 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów w
pierwszych80 rzutach, a Y  w całej serii. Czy X i Y są niezależne? Wyznaczyć
kowariancjÄ™ X i Y .
7. Wektor losowy (X, Y ) ma stałą i różną od zera gęstość wyłącznie na
zbiorze
A = {(x, y) : x 0, 0 y x2 1}.
Wyznaczyć gęstości brzegowe i warunkowe, zbadać niezależność X i Y , obliczyć
cov(X, Y ), E(X|Y ) i E(Y |X).
8. Zbadać niezależność X +Y i X -Y , gdyX, Y są niezależne i mają rozkład
a) jednostajny na [-1, 1]; b) standardowy normalny.
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 201 203
Ćwiczenia 13, 12 I 2007
A
ańcuchy Markowa.
1. Niech (Un)" będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, przy
n=1
czym P (Un =1) =p, P (Un = -1) = 1 - p. Niech Xn = U1 + . . . + Un, n =
1, 2, . . ., X0 = 0. Wykazać, korzystając z definicji, że ciąg (Xn) jest łańcuchem
Markowa. Podać zbiór stanów i macierz przejścia.
2. Podać przykład łańcucha Markowa, który ma a) dwie różne macierze
przejścia; b) dwa różne rozkłady stacjonarne. Ile jest w tym przypadku rozkła-
dów stacjonarnych?
3. Wykazać, że w nieprzywiedlnym łańcuchu Markowa wszystkie stany mają
ten sam okres.
4. Dziekan może być w humorze dobrym lub złym; jeśli jest w dobrym hu-
morze, następnego dnia na pewno będzie w złym; jeśli jest w złym, to są równe
szanse na humor dobry lub zły następnego dnia. Kolejne zmiany humoru można
uznać za niezależne. Jeśli dziekan jest w złym humorze, zawsze manifestuje go
1
na zewnątrz. Jeśli jest w dobrym, to i tak z prawdopodobieństwem manifestuje
4
humor zły. Czy obserwowalne stany dziekana tworzą łańcuch Markowa?
5. Seminarium odbywa się w Warszawie, Krakowie lub Wrocławiu, a decyzja
o wyborze następnego miejsca podejmowana jest w drodze uczciwego losowania
z dwóch możliwości. Pierwsze seminarium odbyło się w Krakowie. Po pewnym
czasie uczeni z Krakowa i Wrocławia zorientowali się, że ci z Warszawy używają
asymetrycznej monety. Jakie sÄ… konsekwencje tego faktu? Czy krakowiacy i wro-
cławianie mogą doprowadzić do sytuacji, w której seminaria będą się odbywać
jednakowo często w każdym mieście?
6. Chomik ma zwyczaj przebywania pod łóżkiem lub pod szafą. Mniej wię-
cej co minutÄ™ podejmuje decyzjÄ™ o ewentualnej zmianie miejsca pobytu. Gdy
jest pod szafą, to pozostaje tam z prawdopodobieństwem 0,1, a gdy jest pod
łóżkiem, to pozostaje na miejscu z prawdopodobieństwem 0,2. Ponieważ ma
krótką pamięć, kolejne decyzje można uważać za niezależne. Jaka jest po paru
godzinach szansa znalezienia chomika pod łóżkiem?
7. W pudełkach A i B jest razem n ponumerowanych kolejno kul. Co mi-
nutę losuje się numer kuli i przekłada wylosowaną kulę do drugiego pudełka.
Zbadać odpowiedni łańcuch Markowa. Jaki jest rozkład stacjonarny (łatwo to
stwierdzić dla niedużych n). Czy kolejne stany układu zmierzają do rozkładu
stacjonarnego?
8. Ala i Bartek rzucajÄ… monetÄ…. Ala wygra, gdy pierwsza doczeka siÄ™ ciÄ…gu
OOR, Bartek  gdy doczeka siÄ™ ciÄ…gu ORO. Jakie sÄ… szanse wygranej dla Ali?
A średni czas gry?
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 201 203
Ćwiczenia 15, 26 I 2007
1. Do egzaminu z rachunku prawdopodobieństwa przystąpiło 400 osób, a
szansa zdania egzaminu jest równa 0,3. Oszacować prawdopodobieństwo, że eg-
zamin zda a) mniej niż 110 osób; b) więcej niż 135 osób.
2. W celu oszacowania prawdopodobieństwa zdania egzaminu, o którym
mowa w zadaniu 1, można przejrzeć wyniki z zeszłych lat.
a) Wyniki ilu osób należy uwzględnić, żeby błąd oszacowania nie przekroczył
µ =0,01 z prawdopodobieÅ„stwem Ä… =0,95 lub wiÄ™kszym?
b) Jaka jest szansa przekroczenia podanej granicy błędu, jeśli zbadamy wy-
niki tylko 500 osób?
3. Klient wydaje w supermarkecie średnio X zł, gdzie X jest zmienną losową
o średniej 200 (zł) i odchyleniu standardowym 50 (zł). Jaka jest szansa, że 1000
klientów wyda łącznie ponad 202000 zł?
4. Po przyjęciu Paflagonii do UE w supermarkecie zaczyna się pojawiać
średnio 2% klientów z tego kraju. Wydają oni średnio 500 zł z odchyleniem
standardowym 100 zł. Jaka jest teraz szansa, że 1000 klientów wyda ponad
202000 zł?
5. Ośmioł porusza się skokami na przemian w przód i w tył. Skoki są nie-
zależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym, przy czym skoki w
przód mają średnio 1 metr, a w tył  25 cm. Jaka jest szansa, że po wykonaniu
400 skoków ośmioł oddali się od punktu startowego o 180 metrów lub więcej?
6. Poddano ankiecie n = 4096 osób i okazało się, że wśród nich jest 1410
palaczy. Podać przedział ufności dla frakcji p palaczy na poziomie ufności ą =
0,95.
7. Są dwa kioski z gazetami, wybierane losowo przez klientów. Jeśli 200 osób
chce kupić gazetę, każdy kioskarz ma po 110 egzemplarzy, jaka jest szansa, że w
kiosku A zabraknie gazet? Po ile egzemplarzy powinni zamówić kioskarze, żeby
ta szansa nie przekroczyła 0, 05?
1