STATYSTYKA
Wykład 7.
Temat: Korelacja (współzale\
ność)
korelacja  (łac. ko  współ, relacja  zale\
ność)  wskazuje na współzale\
ność między
zmiennymi
Wyró\
niamy dwa rodzaje korelacji:
1. zale\
ności funkcyjne
np.
s = v * t  droga jest uzale\
niona od czasu w sposób funkcyjny
np.
y = ax itp. funkcje
Cechy:
1) właściwości funkcyjne odnoszą się do jednostkowych obiektów;
2) albo zale\
ność jest, albo jej nie ma;
3) znając postać jednej zmiennej jesteśmy w stanie przedstawić wartość drugiej zmiennej.
2. zale\
ności korelacyjne, np.
x  wynik testu z fizyki
y  wynik testu z matematyki
x koreluje z y  uczniowie osiągający wysokie wyniki w testach z fizyki osiągają dobre
wyniki w testach z matematyki
Cechy:
1) korelacja nie dotyczy pojedynczych przypadków  mo\
na ją stosować wyłącznie do całej
zbiorowości;
2) korelacja mo\
e być ni\
sza lub wy\
sza (silniejsza lub słabsza);
3) nie mo\
na dokładnie przewidzieć wartości jednej zmiennej znając wartość drugiej.
Miary korelacji:
- wartość korelacji (r) zawiera się w przedziale <-1;1>
- korelacja dodatnia jest wówczas, gdy wysokim wartościom jednej zmiennej odpowiadają
wysokie wartości drugiej zmiennej, a niskim wartościom jednej zmiennej odpowiadają niskie
wartości drugiej zmiennej;
- korelacja ujemna występuje, gdy wysokim wartościom jednej zmiennej odpowiadają niskie
wartości drugiej zmiennej;
- korelacja = 0 gdy brak jest korelacji  zmienne nie są od siebie zale\
ne (zarówno wysokim,
średnim jak i niskim wartościom jednej zmiennej odpowiadają ró\
ne wartości drugiej;
Umowna skala stopnia korelacji:
współczynnik korelacja zale\
ność
r < 0,20 słaba prawie nic nie znacząca
0,20 <= r < 0,40 niska wyraz
na lecz mała
0,40 <= r < 0,70 umiarkowana istotna
0,70 <= r < 0,90 wysoka znacząca
0,90 <= r < 1,00 bardzo wysoka bardzo pewna
Przykład 1.
(dla zmiennych ilościowych, ilorazowych)
wiek \
ony wiek mę\
a _ _ _ _ _2 _2
xi yi xi - x yi - y (xi  x) (yi  y) (xi  x) (yi  y)
18 19 -5,5 -4,8 26,4 30,25 23,04
19 21 -4,5 -2,8 12,6 20,25 7,84
20 23 -3,5 -0,8 2,8 12,25 0,64
21 21 -2,5 -2,8 7,0 6,25 7,84
23 20 -0,5 -3,8 1,9 0,25 14,44
24 23 -0,5 -0,8 - 0,4 0,25 0,64
26 26 2,5 2,2 5,5 6,25 4,84
27 25 3,5 1,2 4,2 12,25 1,44
27 26 3,5 2,2 7,7 12,25 4,84
30 34 6,5 10,2 66,3 42,25 104,04
N = 10 N = 10 S = 134,00 S = 142,50 S = 169,60
_ _
x = 23,5, y = 23,8 - gdyby punkty le\
ały na
prostej zale\
ność byłaby
funkcyjna;
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20 25 30 35
- je\
eli punkty le\
ą blisko prostej korelacja jest dodatnia;
- im bardziej punkty le\
ą  rozrzucone naokoło prostej, tym bardziej korelacja bliska jest 0;
Miarowy współczynnik korelacji Pearsona:
N _ _
"(xi  x) (yi  y)
i=1
rxy = %%%%%%%%%
N * Sx * Sy
N _ _
"(xi  x) (yi  y)
i=1
rxy = %%%%%%%%%%%%
N _2 N _2
"" (xi  x) * "(yi  y)
i=1 i=1
134
r = %%%%%%%%% = 0,86
"142,5  169,6
r2 - współczynnik determinacji  wskazuje w jakiej części znana wartość zmiennej zale\
nej
uwarunkowana jest zmienną niezale\
ną;
r2 = 0,74  oznacza, \
e w 74% przypadków wiek mę\
a zdeterminowany jest wiekiem \
ony;