Wyrównanie spostrzeżeń bezpośrednich
Li + vi = x wartość najbardziej prawdopodobna
vi = x - Li poprawka
Spostrzeżenia jednakowo dokładne
L1+ v1= x
L2+ v2= x
. . . . . . . .
Ln+ vn= x
F = [vv] => szukamy minimum funkcji
F = (x - L1)2 + (x - L2)2 +(x - L3)2 + . . . . + (x - Ln)2
F
F = = 2 (x - L1) + 2 (x - L2) +2 (x - L3) + . . . + 2 (x - Ln)
x
F '
F  = = 2 + 2 + 2 + .... + 2 => zawsze > 0
x
F = 0 =2 (x - L1) + 2 (x - L2) +2 (x - L3) + . . . + 2 (x - Ln)
(x - L1) + (x - L2) + (x - L3) + . . . + (x - Ln) = 0
n * x - [ L ] = 0
[L]
X średnia arytmetyczna
n
Spostrzeżenia niejednakowo dokładne
F = [pvv] => minimum funkcji
F = p1 (x - L1)2 + p2 (x - L2)2 +p3 (x - L3)2 + . . . . + pn (x - Ln)2
F
F = = 2 p1 (x - L1) + 2 p2 (x - L2) +2 p3 (x - L3) + . . . + 2 pn (x - Ln)
x
F'
F  = =2 p1+ 2 p2+ 2 p3 + .... + 2 pn => zawsze > 0
x
RW 1.10 dr inż. Jan Ruchel 1/6 Spostrzeżenia bezpośrednie
F = 0 = 2 p1 (x - L1) + 2 p2 (x - L2) + 2 p3 (x - L3) + . . . + 2 pn (x - Ln)
p1 (x - L1) + p2 (x - L2) + p3 (x - L3) + . . . + pn (x - Ln) = 0
p1 x - p1 L1 + p2 x - p2 L2 + p3 x - p3 L3 + . . . + pn x - pn Ln = 0
[ p ] X - [ p L ] = 0
[ pL]
X średnia arytmetyczna ważona
[ p]
[ pL]
Czasami używa się wzoru X x0 , gdzie li Li x0
[ p]
Analiza dokładności
Spostrzeżenia jednakowo dokładne
[vv]
m0
błąd średni jednostkowy (estymator wariancji resztowej)
n 1
inaczej błąd średni typowego spostrzeżenia ( p=1)
[L] L1 L2 L3 Ln
X ...
n n n n n
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
mx *mL *mL *mL ... *mL
1 2 3 n
n n n n
mL mL mL ... m0 jednakowo dokładne
1 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
mx *m0 *m0 *m0 ... *m0
n n n n
2
n
m0
2
mx *m0 mx
n
n2
m0
mx błąd średni średniej arytmetycznej
n
RW 1.10 dr inż. Jan Ruchel 2/6 Spostrzeżenia bezpośrednie
Spostrzeżenia niejednakowo dokładne
[ pvv]
m0 błąd średni jednostkowy (estymator wariancji resztowej)
n 1
[ pL] p1L1 p2L2 p3L3 pnLn
X ...
[ p] [ p] [ p] [ p] [ p]
2 2 2 2
p1 p2 p3 pn
2 2 2 2
mx *mL *mL *mL ... *mL
1 2 3 n
[ p] [ p] [ p] [ p]
2
mL p0
m0
i
p0 = 1
mLi
2
pi pi
m0
2 2 2 2
2 2 2 2
p1 m0 p2 m0 p3 m0 pn m0
mx * * * ... *
[ p] [ p] [ p] [ p]
p1 p2 p3 pn
2
m0
mx *[ p]
[ p]2
2
m0
mx
[ p]
m0
mx błąd średni średniej arytmetycznej ważonej
[ p]
RW 1.10 dr inż. Jan Ruchel 3/6 Spostrzeżenia bezpośrednie
Przykład
Pomiar odcinka  AB ruletką
Lp. Li x Vi = x-Li v * v Uwagi
1 101.26 0.0 0
2 101.24 +2.0 4
3 101.29 -3.0 9
101.260
Błąd gruby
4 102.25
5 101.28 -2.0 4
6 101.23 +3.0 9
[l]=506.30 [v]=0.0 [vv]=26
N=5
[L] 506,30
x 101,260
n 5
26
M 2,5 cm
0
(5 1)
m0
2.5
M 1.1 cm
x
n 5
Wynik
X=101.260 ą 0.011 [m]
RW 1.10 dr inż. Jan Ruchel 4/6 Spostrzeżenia bezpośrednie
Przykład - pomiar kąta
Spostrzeżenia bezpośrednie niejednakowo
dokładne
Lp. L p l = Li- L0 l * p v = Lśr- Li p*v p*v*v ML
L1 12o40'30" 1 30 30 -3.9 -3.9 15 33.5
L2 12o40'00" 4 0 0 26.1 104.4 2 727 16.8
L3 12o41'10" 1 70 70 -43.9 -43.9 1 926 33.5
L4 12o40'20" 3 20 60 6.1 18.3 112 19.4
L5 12o40'30" 5 30 150 -3.9 -19.4 76 15.0
12o40'40"
L6 4 40 160 -13.9 -55.6 772 16.8
1
sumy 8 [ '' ] 470 0.0 5 628 [ '' ]
m
0
m
n 6
i
p
i
pl
pL
L
L L0
p
p
lub czyli średnia = L0 + delta L
12o40'00" Lśr = 12o40'26"
L0
delta L 26.1
pvv
m
0
n 1
m0 = 33.5
m0
mx
ma = 7.9
[ p]
RW 1.10 dr inż. Jan Ruchel 5/6 Spostrzeżenia bezpośrednie
RW 1.10 dr inż. Jan Ruchel 6/6 Spostrzeżenia bezpośrednie