Algebra liniowa

1

MB

Definicja 1
Niech i

będą przestrzeniami liniowymi. Mówimy, że funkcja

jest przekształceniem

liniowym, jeżeli spełnia następujące warunki:

Każde przekształcenie liniowe

nazywamy funkcjonałem liniowym (formą liniową) na

przestrzeni .
Każde przekształcenie liniowe

nazywamy operatorem liniowym na przestrzeni . Doskonale

znanym operatorem liniowym jest pochodna funkcji.

Definicja 2
Niech

będzie przekształceniem liniowym,

i

to

bazy odpowiednio przestrzeni

. Wówczas macierz

gdzie

.

nazywa się macierzą przekształcenia w bazach

i

.

Twierdzenie 1
Niech

będzie przekształceniem liniowym. Niech

i

będą bazami odpowiednio przestrzeni i , macierz macierzą przekształcenia w bazach

i

.

Niech

ma współrzędne:

w bazie . Wówczas zachodzi wzór:

Definicja 3
Niech będzie przestrzenią liniową, funkcja

jest formą dwuliniową, jeżeli spełnia

następujące warunki:

(to znaczy jest formą liniową ze względu na i przy ustalonym )

(to znaczy jest formą liniową ze względu na i przy ustalonym )