Algebra liniowa

1

MB

Definicja 1
Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad

,

układem wektorów z

przestrzeni . Zbiór

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu , nazywa się powłoką liniową układu wektorów

.

Natomiast układ wektorów rozpina (generuje) przestrzeo , gdy każdy wektor

jest

kombinacją liniową wektorów układu .

Definicja 2
Układ wektorów jest bazą przestrzeni wektorowej jeżeli:
1. wektory układu są liniowo niezależne,
2. układ rozpina przestrzeo .

Twierdzenie 1
Niech

będzie macierzą, której kolumnami są wektory

. Układ wektorów

jest bazą przestrzeni

gdy

, (lub równoważnie

).

Twierdzenie 2
Układ wektorów jest bazą

jest maksymalnym układem wektorów liniowo niezależnych (ze

względu na relację zawierania układów wektorów).

Definicja 3
Niech

będzie bazą przestrzeni liniowej i niech

. Współrzędnymi wektora

względem bazy nazywamy układ

taki, że

Współrzędne wektora w bazie zapisujemy:

Definicja 4
Niech

będą ustalonymi bazami przestrzeni liniowej .

Oznaczmy:

wówczas macierz:

Algebra liniowa

2

MB

jest macierzą przejścia z bazy

do bazy

.

*Innymi słowy – wyrażamy wektory starej bazy, jako kombinacje liniowe wektorów nowej bazy+

Definicja 5
Baza standardowa – wektory są wektorami jednostkowymi:

W bazie standardowej bardzo łatwo znaleźd współrzędne wektora.
Łatwośd znajdowania współrzędnych wektora w bazie standardowej można wykorzystad do
znajdowania macierzy przejścia. Będziemy wykorzystywad następujący schemat:

Oczywiście mamy

Wniosek
Niech

będzie dowolnym wektorem przestrzeni , a macierz macierzą przejścia z bazy

do bazy

. Wówczas zachodzi równośd: