31.Przestrzenie liniowe. Liniowa zależność i niezależność układu wektorów. Baza i wymiar przestrzeni liniowej.

Przestrzeń liniowa to dowolny niepusty zbiór V na którym określone jest działanie dodawania wektorów i mnożenie przez skalar które spełniają aksjomaty dla wszystkich v, w, u ∈ V oraz r,  s ∈ℝ :

• v + w = w + v (przemienność)

• v + (w+u) = (v+w) + u (łączność)

• Istnieje element O ∈ V(wektor zerowy) taki, że dla wszystkich v ∈ Vmamy O + v = v

• Dla każdego v ∈ V istnieje v^′ ∈ V(element przeciwny) taki, że v + v^′ = 0

• r(v+w) = rv + rw

• (r+s)v = rv + sv

• r(sv) = (rs)v

• Istnieje element neutralny mnożenia 1v = v

Liniowa niezależność to własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.

Podzbiór S przestrzeni liniowej V nazywa się liniowo zależnym, jeżeli istnieje skończona liczba różnych wektorów v₁, v₂, …, v_n ze zbioru S oraz skalary a₁, a₂, …, a_nnie wszystkie zerowe, takie że a₁v₁ + a₂v₂ + … + a_nv_n = 0 (Zero po prawej stronie oznacza wektor zerowy) Jeżeli takie skalary nie istnieją, to powyższe wektory nazywa się liniowo niezależnymi.

Przykład: Kombinację liniową kolumn można zapisać jako $\begin{bmatrix} 1 & - 3 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \end{bmatrix}$

Interesujące jest, czy dla pewnego niezerowego wektora Zależy to od wyznacznika A który jest równy

Ponieważ wyznacznik jest różny od zera, wektory (1,1) i (−3,2) są liniowo niezależne.

Baza przestrzeni liniowej to maksymalny zbiór wektorów liniowo niezależnych w danej przestrzeni. Zbiór wektorów B ⊆ V jest bazą, gdy spełnione są następujące warunki:

1. wektory w B są liniowo niezależne.

2. zbiór B generuje całą przestrzeń V, tzn. dowolny wektor y z przestrzeni V można przedstawić za pomocą kombinacji liniowej wektorów ze zbioru B.

Przykład: Dany jest zbiór A = {(0, 1), (1, 1), (1, 0)} wektorów w R². Zauważmy, że wektor (1, 1) można przedstawić jako: (1, 1) = 1·(1, 0) + 1·(0, 1) . Wynika stąd, że A nie jest bazą przestrzeni R²

Wymiar przestrzeni liniowej to moc dowolnej bazy liniowej tej przestrzeni.

Przykład: Wymiar liniowej przestrzeni euklidesowej Rⁿ wynosi n.