Egzamin z matematyki II – termin uzupełniający

dla studentów ODLEWNICTWA

studia dzienne rok I

17 lutego 2010

Egzamin trwa 90 minut.

Z siedmiu poniższych zadań proszę wybrać pięć i przedstawić ich rozwiązanie.

Do zaliczenia egzaminu z wynikiem pozytywnym wystarczy 10 punktów.

ZADANIE 1 (4 pkt.). Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji

𝑓 𝑥 = arctg 𝑥 𝑓 𝑥 = arcctg 𝑥 i prostą

2𝑦 = 𝑥

.

ZADANIE 2. (4 pkt.) Rozwiąż, w zbiorze liczb zespolonych, równanie

𝑧

3

= 𝑖 − 𝑧

3

𝑖.

ZADANIE 3. (4 pkt.). Zbadaj dla jakich wartości parametru a układ równań

jest oznaczony, dla jakich nieoznaczony, a dla jakich sprzeczny

.

𝑥

+ 𝑎

2

𝑦

𝑥

+

𝑦
𝑦

+

𝑧

=

− 𝑎𝑧 =

+

𝑧

=

−𝑎

𝑎

2

1

.

ZADANIE 4.(4 pkt.)

Wyznacz i naszkicuj dziedzinę funkcji

𝑓 𝑥, 𝑦 = ln

16 − 𝑥

2

− 𝑦

2

𝑥

2

+ 𝑦

2

− 4

oraz oblicz pochodną

∂ f

∂ x

.

ZADANIE 5.(4 pkt.) Wyznacz ekstrema lokalne funkcji

𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 𝑥

3

𝑦 + 𝑥

3

+ 2𝑦 .

ZADANIE 6.(4 pkt.) Posługując się współrzędnymi biegunowymi oblicz całkę podwójną

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

, gdzie D jest obszarem ograniczonym okręgiem

𝑥

2

+ 𝑦 − 1

2

= 1,

prostą

𝑥 = 𝑦 oraz nierównością 𝑥 ≥ 𝑦.