Egzamin z matematyki – termin 2

dla studentów ODLEWNICTWA

studia dzienne rok I

25 czerwca 2009

Egzamin trwa 120 minut. Z siedmiu poniższych zadań proszę wybrać pięć i przedstawić ich rozwiązanie. Do zaliczenia egzaminu z wynikiem pozytywnym wystarczy 10 punktów.

ZADANIE 1 (4 pkt.). Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji
f(x) = arctgx i g(x) = arcctgx oraz prostą $y = \frac{x}{2}$.

ZADANIE 2. (4 pkt.) Rozwiąż, w zbiorze liczb zespolonych, równanie

z³ = (i−z)³.

ZADANIE 3. (4 pkt.). Zbadaj dla jakich wartości parametru a układ równań
jest oznaczony, dla jakich nieoznaczony, a dla jakich sprzeczny
$\left\{ \begin{matrix} x + a^{2}y + z = - a \\ x + y - az = a^{2} \\ y + z = 1 \\ \end{matrix}. \right.\ $

ZADANIE 4. (4 pkt.) . Wyznacz równanie rzutu prostopadłego prostej
$\mathbf{\text{l\ \ \ \ \ }}\left\{ \begin{matrix} x = t + 1 \\ y = - 2t \\ z = 3t + 1 \\ \end{matrix} \right.\ \mathbf{\backslash n}$ na płaszczyznę 4x − y + 3z + 1 = 0.

$$f\left( x,y \right) = \frac{\mathrm{\ln}\left( 9 - x^{2} - y^{2} \right)}{\mathrm{\ln}\left( x^{2} + y^{2} - 4 \right)}.$$

ZADANIE 6.(4 pkt.) Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x,y) = ln(x³y) − x³ + 2y.

∬_Dxdxdy