1

OBLICZENIA STATYCZNE WI

ĘŹBY DACHOWEJ

1. Podstawa oblicze

ń

1.

PN-EN 1995-1-1:2010 Eurokod 5: Projektowanie konstrukcji drewnianych. Część 1-1:
Postanowienia ogólne. Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków

2.

PN-EN 1990:2004 Eurokod. Podstawy projektowania konstrukcji

3.

PN-EN 1991-1-1:2004 Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-1: Oddziaływania
ogólne. Ciężar objętościowy, ciężar własny, obciążenia użytkowe w budynkach

4.

PN-EN 1991-1-3:2005 Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-3: Oddziaływania
ogólne – Obciążenie śniegiem

5.

PN-EN 1991-1-4:2008 Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-4: Oddziaływania
ogólne. Oddziaływania wiatru.

6.

EN 338:2009 Drewno konstrukcyjne - Klasy wytrzymałości

2. Zestawienie obci

ążeń działających na konstrukcję dachową

3. OBLICZENIA WI

ĘŹBY DACHOWEJ wg [1]

3.1.

Dane do projektowania

Przekrój poprzeczny wiązara płatwiowo-kleszczowego

Przekrój podłużny

α = ....., L=(L

1

+L

2

)/(2cos α) =

L

d

=2L/3 =

L

g

=L/3 =

a – rozstaw krokwi (0,8-1,2) m, a =

a

1

– wysięg mieczy (0,5-1,0) m, a

1

=

L

s1

i L

s2

- rozstaw słupków,

H

s

– wysokość słupka

Klasa użytkowania konstrukcji

−

Klasa trwania obciążeń:

pokrycie dachowe

−

obciążenie śniegiem

−

obciążenie wiatrem

−

Klasa drewna

−

............, dane materiałowe wg [6]

γ

M

– częściowy współczynnik bezpieczeństwa

γ

M

=

k

mod

– współczynnik modyfikacyjny (dla obciążenia

o najkrótszym czasie trwania)

k

mod

=

f

c,0,k

– wytrzymałość charakterystyczna na ściskanie

f

c,0,k

=

f

c,90,k

– wytrzymałość charakterystyczna na ściskanie

w poprzek włókien

f

c,90,k

=

2

f

m,k

– wytrzymałość charakterystyczna na zginanie

f

m,k

=

f

c,0,d

– wytrzymałość obliczeniowa na ściskanie

=

=

k

c

M

d

c

f

k

f

,

0

,

mod

.

0

.

γ

f

c,90,d

– wytrzymałość obliczeniowa na ściskanie

w poprzek włókien

=

=

k

c

M

d

c

f

k

f

,

90

,

mod

.

90

.

γ

f

m,d

– wytrzymałość obliczeniowa na zginanie

=

=

k

m

M

d

m

f

k

f

,

mod

.

γ

E

0,mean

– średni moduł sprężystości wzdłuż włókien

E

0,mean

=

E

0,05

– 5% kwantyl modułu sprężystości wzdłuż włókien

E

0,05

=

G

mean

– średni moduł odkształcenia postaciowego

G

mean

=

3.2. WYMIAROWANIE STATYCZNE KROKWI

3.2.1. Schemat statyczny krokwi

Jako schemat statyczny krokwi przyjęto belkę
swobodnie podpartą (na murłacie i płatwi)
o rozpiętości obliczeniowej l

d

.

l

d

– długość dolnego odcinka krokwi, l

d

=

l

g

– długość górnego odcinka krokwi, l

g

=

a – maks. rozstaw osiowy krokwi,

a = …………. m

3.2.2. Podstawowe kombinacje obci

ążeń

Współczynniki wartości kombinacyjnej obciążenia zmiennego (od wiatru lub śniegu):

Ψ

01

=

,

Ψ

02

=

współczynnik redukcyjny

ξ=

Obciążenia obliczeniowe (na 1mb krokwi)

a) prostopadłe do połaci dachu

q`

z

= (

γ

G

· G

k

·cosα +

γ

Q1

· Ψ

01

·Q

k1

·cos

2

α + Ψ

02

·

γ

Q2

· Q

k2

)·a

………………………………………………………………..…=…………..kN/m
q``

z

= (

ξ

·

γ

G

· G

k

·cosα +

γ

Q1

· Q

k1

·cos

2

α + Ψ

02

·

γ

Q2

· Q

k2

)·a

………………………………………………………………..…=…………..kN/m

q

z

= …………………… kN/m

(przyjmujemy wartość mniej korzystną)

b) równoległe do połaci dachu

q`

x

= (

γ

G

· G

k

·sinα +

γ

Q1

· Ψ

01

· Q

k1

·cosα sinα)·a

………………………………………………………………..…=…………..kN/m

q``

x

= (

ξ

·

γ

G

· G

k

·sinα +

γ

Q1

· Q

k1

·cosα sinα)·a

………………………………………………………………..…=…………..kN/m

q

x

= …………………… kN/m

(przyjmujemy wartość mniej korzystną)

3

Obciążenia charakterystyczne (na 1mb krokwi)

a) prostopadłe do połaci dachu

q

zk(G)

= G

k

·cosα ·a =………………………..=………..kN/m

q

zk(S)

= Q

k1

·cos

2

α ·a =………………………=………..kN/m

q

zk(W)

= Q

k2

·a =…………………………….=………...kN/m

3.2.3. Sprawdzenie stanu granicznego no

śności - SGN

Siły wewnętrzne w krokwi (krokiew pracuje na zginanie z osiową siłą ściskającą)

=

⋅

=

8

2

d

z

y

l

q

M

………….………

=

=

⋅

=

2

d

x

x

l

q

N

……….…………..

=

3.2.3.1. Wstępne określenie wymiarów przekroju (z uwzględnieniem tylko zginania)

b – szerokość przekroju

h – wysokość przekroju

h = 2÷3b, h ≤ 4b

Naprężenia w krokwi przy uwzględnieniu tylko zginania wynoszą:

d

m

y

y

d

m

y

y

d

y

m

f

M

W

f

W

M

,

,

,

,

≥

⇒

≤

=

σ

6

2

h

b

W

y

⋅

=

6

9

3

3

b

W

b

h

y

≅

⇒

≅

=

⋅

≥

⇒

≥

3

,

,

3

3

2

6

9

d

m

y

d

m

y

f

M

b

f

M

b

Przyjęto

b = ……………..,

h = ……………..

Charakterystyki geometryczne przekroju:

Pole przekroju poprzecznego krokwi

A

d

= b·h > 40cm

2

=

Wskaźnik wytrzymałości przekroju względem osi y

=

=

2

6

1

bh

W

y

Moment bezwładności przekroju względem osi y

=

=

3

12

1

bh

I

y

Promień bezwładności przekroju względem osi y

=

=

d

y

y

A

I

i

Moment bezwładności przekroju względem osi z

=

=

h

b

I

z

3

12

1

Promień bezwładności przekroju względem osi z

=

=

d

z

z

A

I

i

4

3.2.3.2. Sprawdzenie nośności krokwi z uwzględnieniem złożonego stanu naprężeń

Naprężenia ściskające:

=

=

d

x

d

c

A

N

,

0

,

σ

………………

=

Naprężenia zginające:

=

=

y

y

d

y

m

W

M

,

,

σ

………………

=

µ

y

– współczynnik długości wyboczeniowej

µ

y

= 1,0

l

c,y

– długość wyboczeniowa krokwi

l

c,y

= l

d

·µ

y

=

λ

y

– smukłość krokwi, λ

y

≤ 150 dla prętów

jednolitych

=

=

y

y

c

y

i

l

,

λ

λ

rel

,

y

– smukłość względna

=

=

05

,

0

,

0

,

,

E

f

k

c

y

y

rel

π

λ

λ

Jeżeli λ

rel

,

y

≤

0,3

Aby nośność krokwi nie została przekroczona, powinien być spełniony warunek:

1

,

,

,

2

,

0

,

,

0

,

≤

+















d

m

d

y

m

d

c

d

c

f

f

σ

σ

Jeżeli λ

rel

,

y

> 0,3

=

+

−

+

⋅

=

]

)

(

)

3

,

0

(

1

[

5

,

0

2

,

,

y

rel

y

rel

c

y

k

λ

λ

β

……………………………………..=

β

c

– współczynnik dotyczący prostoliniowości elementów,

określony dla drewna litego

=

−

+

=

2

,

2

,

)

(

)

(

1

y

rel

y

y

y

c

k

k

k

λ

………………………………..=

Aby nośność elementu nie została przekroczona, powinien być spełniony warunek:

1

,

,

,

,

,

,

,

,

0

,

≤

+

⋅

d

y

m

d

y

m

d

o

c

y

c

d

c

f

f

k

σ

σ

…………………….+…………………..≤1

5

3.2.3.3. Sprawdzenie stateczności krokwi jako belki zginanej i ściskanej

Smukłość względna przy zginaniu

crit

m

k

m

m

rel

f

,

,

,

σ

λ

=

,

Naprężenie krytyczne przy zginaniu

05

,

0

2

,

78

,

0

E

l

h

b

ef

crit

m

⋅

⋅

=

σ

=

d

ef

l

l

l

ef

=

=

crit

m,

σ

Smukłość krokwi względem osi z

=

=

z

z

c

z

i

l

,

λ

Smukłość względna względem osi z

=

=

05

,

0

,

0

,

,

E

f

k

c

z

z

rel

π

λ

λ

=

+

−

+

⋅

=

]

)

(

)

3

,

0

(

1

[

5

,

0

2

,

,

z

rel

z

rel

c

z

k

λ

λ

β

=

−

+

=

2

,

2

,

)

(

)

(

1

z

rel

z

z

z

c

k

k

k

λ

Współczynnik stateczności giętej

k

crit =

Ze względu na stateczność naprężenia w krokwi powinny spełniać warunek:

1

,

0

,

,

,

0

,

2

,

,

≤

+















d

c

z

c

d

c

d

m

crit

d

m

f

k

f

k

σ

σ

……………………+………………….≤1

3.2.4. Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności

3.2.4.1. Ugięcia chwilowe

l

d

/h =

a)

jeżeli l

d

/h ≥ 20:

=

⋅

⋅

⋅

=

=

y

mean

d

G

zk

G

M

G

inst

I

E

l

q

u

u

,

0

4

)

(

)

(

)

(

384

5

…………………………………=

=

⋅

⋅

⋅

=

=

y

mean

d

S

zk

S

M

S

inst

I

E

l

q

u

u

,

0

4

)

(

)

(

)

(

384

5

………………………………….=

=

⋅

⋅

⋅

=

=

y

mean

d

W

zk

W

M

W

inst

I

E

l

q

u

u

,

0

4

)

(

)

(

)

(

384

5

………………………………….=

6

b)

jeżeli l

d

/h < 20

=



























+

=

2

)

(

)

(

2

,

19

1

d

G

M

G

inst

l

h

u

u

………………………………….=

=



























+

=

2

)

(

)

(

2

,

19

1

d

S

M

S

inst

l

h

u

u

…………………………………….=

=



























+

=

2

)

(

)

(

2

,

19

1

d

W

M

W

inst

l

h

u

u

……………………………………=

3.2.4.2. Ugięcia końcowe

k

def

- współczynnik dla drewna i materiałów drewnopochodnych modyfikujący odkształcenie w

zależności od czasu trwania odkształcenia
k

def

=

Ψ

2,1

- współczynnik dla quasi-stałych wartości oddziaływań zmiennych

Ψ

0,2

– współczynnik dla wartości kombinacji oddziaływań zmiennych

u

fin,G

= u

inst,G

·(1+k

def

)=……………………………..=

u

fin,S

= u

inst,S

·(1+ Ψ

2,1

·k

def

)=…………………………=

u

fin,W

= u

inst,W

·( Ψ

0,2

+ Ψ

2,2

·k

def

)=…………………………=

u

fin

= u

fin,G

+ u

fin,S

+ u

fin,W=……………………………………….=

Ugięcie dopuszczalne wynosi:

=

=

200

,

d

fin

net

l

u

Aby stan graniczny użytkowania elementu nie został przekroczony, powinien być spełniony
warunek:

U

fin

= .................................... ≤ u

net,fin

= .....................................

7

3.3. WYMIAROWANIE STATYCZNE PŁATWI

3.3.1. Schemat statyczny płatwi

Jako schemat statyczny płatwi przyjęto belkę
swobodnie podpartą, o rozpiętości obliczeniowej
w

kierunku

pionowym

l

m

i

rozpiętości

obliczeniowej w kierunku poziomym l

s

.

l

s

– rozpiętość płatwi między słupkami, l

s

=

l

m

– rozpiętość płatwi między mieczami, l

m

=

Założono wstępnie wymiary płatwi:

b – szerokość przekroju, b =

h – wysokość przekroju, h =

h ≤ 4b

Charakterystyki geometryczne przekroju:

Pole przekroju poprzecznego płatwi

A

d

= b·h =

Wskaźnik wytrzymałości przekroju względem osi y:

=

=

2

6

1

bh

W

y

Wskaźnik wytrzymałości przekroju względem osi z:

=

=

h

b

W

z

2

6

1

Moment bezwładności przekroju względem osi y:

=

=

3

12

1

bh

I

y

Moment bezwładności przekroju względem osi z:

=

=

h

b

I

z

3

12

1

G

k.płatwi

– ciężar własny 1mb płatwi

ρ

d

– ciężar objętościowy drewna

G

k.płatwi

= A

d·

ρ

d

=

8

3.3.2. Podstawowe kombinacje obciążeń

Obciążenia obliczeniowe (na 1mb płatwi)

a) pionowe

q`

z

= (l

g

+ ½ l

d

)(

γ

G

· G

k

+

γ

Q1

· Ψ

01

·Q

k1

·cosα + Ψ

02

·

γ

Q2

· Q

k2

·cosα) +

γ

G·

G

k.płatwi

…………………………………………………………………………=………..

kN/m

q``

z

= (l

g

+ ½ l

d

)(

ξ

·

γ

G

· G

k

+

γ

Q1

· Q

k1

·cosα + Ψ

02

·

γ

Q2

· Q

k2

·cosα) +

γ

G

·G

k.płatwi

…………………………………………………………………………=………..

kN/m

q

z

= …………………… kN/m

(przyjmujemy wartość mniej korzystną)

b) poziome
q

y

= (l

g

+ ½ l

d

) (Ψ

02

·

γ

Q2

· Q

k2

· sinα) =………………………………………=……….

kN/m

Obciążenia charakterystyczne (na 1mb płatwi)

a) pionowe

q

zk(G)

= (l

g

+ ½ l

d

) · G

k

+ G

płatwi

=……………..……………….=…........kN/m

q

zk(S)

= (l

g

+ ½ l

d

) · Q

k1

· cosα =………………………………..=……….kN/m

q

zk(W)

= (l

g

+ ½ l

d

) · Q

k2

· cosα =………………………………=………..kN/m

b) poziome
q

yk(G)

= 0,

q

yk(S)

= 0,

q

yk(W)

= (l

g

+ ½ l

d

)·Q

k2

·sinα = ....................................=…….... kN/m

3.3.3. Sprawdzenie stanu granicznego nośności

3.3.3.1. Siły wewnętrzne w płatwi

=

⋅

=

8

2

m

z

y

l

q

M

………….……….

=

=

⋅

=

8

2

s

y

z

l

q

M

……………………..

=

3.3.3.2. Sprawdzenie nośności płatwi z uwzględnieniem złożonego stanu naprężeń

Naprężenia zginające:

=

=

y

y

d

y

m

W

M

,

,

σ

………..….

=

=

=

z

z

d

z

m

W

M

,

,

σ

……….……..

=

Aby nośność elementu nie została przekroczona, powinny być spełnione warunki:

1

,

,

,

,

,

,

,

,

≤

+

d

z

m

d

z

m

d

y

m

d

y

m

m

f

f

k

σ

σ

,

1

,

,

,

,

,

,

,

,

≤

+

d

y

m

d

z

m

m

d

y

m

d

y

m

f

k

f

σ

σ

k

m

– współczynnik redystrybucji naprężeń zginających w przekroju

k

m

=

9

3.3.4. Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności - SGU

3.3.4.1. Ugięcia chwilowe pionowe (w kierunku z)

l

m

/h =

a)

jeżeli l

m

/h ≥ 20:

=

⋅

⋅

⋅

=

=

y

mean

m

G

zk

G

M

z

G

inst

z

I

E

l

q

u

u

,

0

4

)

(

)

(

_

,

_

384

5

……………………………………….=

=

⋅

⋅

⋅

=

=

y

mean

m

S

zk

S

M

z

S

inst

z

I

E

l

q

u

u

,

0

4

)

(

)

(

_

,

_

384

5

…………………………………………=

=

⋅

⋅

⋅

=

=

y

mean

m

W

zk

W

M

z

W

inst

z

I

E

l

q

u

u

,

0

4

)

(

)

(

_

,

_

384

5

………………………………………..=

b)

jeżeli l

m

/h < 20

=



























+

=

+

=

2

)

(

_

)

(

_

)

(

_

,

_

2

,

19

1

m

G

M

z

G

T

z

G

M

z

G

inst

z

l

h

u

u

u

u

………………………………….=

=



























+

=

+

=

2

)

(

_

)

(

_

)

(

_

,

_

2

,

19

1

m

S

M

z

S

T

z

S

M

z

S

inst

z

l

h

u

u

u

u

……………………………………=

=



























+

=

+

=

2

)

(

_

)

(

_

)

(

_

,

_

2

,

19

1

m

W

M

z

W

T

z

W

M

z

W

inst

z

l

h

u

u

u

u

……………………………………=

3.3.4.2. Ugięcia końcowe pionowe (w kierunku z)

u

z,fin,G

= u

z,inst,G

·(1+k

def

)=………………………..=

u

z,fin,S

= u

z,inst,S

·(1+ Ψ

2,1

·k

def

)=………………………=

u

z,fin,W

= u

z,inst,W

·( Ψ

0,2

+ Ψ

2,2

·k

def

)=…………………….=

u

z,fin

= u

z,fin,G

+ u

z,fin,S

+ u

z,fin,W

=…………………………………….=

3.3.4.3. Ugięcia chwilowe poziome (w kierunku y)

l

s

/b =

a)

jeżeli l

s

/b ≥ 20:

0

)

(

_

,

_

=

=

G

M

y

G

inst

y

u

u

,

0

)

(

_

,

_

=

=

S

M

y

S

inst

y

u

u

=

⋅

⋅

⋅

=

=

z

mean

s

W

yk

W

M

y

W

inst

y

I

E

l

q

u

u

,

0

4

)

(

)

(

_

,

_

384

5

.............................................=

10

b)

jeżeli l

s

/b < 20

0

)

(

_

)

(

_

,

_

=

+

=

G

T

y

G

M

y

G

inst

y

u

u

u

0

)

(

_

)

(

_

,

_

=

+

=

S

T

y

S

M

y

S

inst

y

u

u

u

=



























+

=

+

=

2

)

(

_

)

(

_

)

(

_

,

_

2

,

19

1

s

W

M

y

W

T

y

W

M

y

W

inst

y

l

b

u

u

u

u

.................................................=

3.3.4.4. Ugięcia końcowe poziome (w kierunku y)

u

y,fin,G

= 0,

u

y,fin,S

= 0,

u

y,fin,W

= u

z,inst,W

·( Ψ

0,2

+ Ψ

2,2

·k

def

) = ………………………….=

u

y,fin

= u

y,fin,G

+ u

y,fin,S

+ u

y,fin,W

= ………………………………..=

3.3.4.5. Ugięcia końcowe wypadkowe

=

+

=

2

,

2

,

)

(

)

(

fin

y

fin

z

fin

u

u

u

Ugięcie dopuszczalne wynosi:

=

=

200

,

,

m

z

fin

net

l

u

…….,

=

=

200

,

,

s

y

fin

net

l

u

……..,

.

..........

)

(

)

(

2

)

,

,

2

)

,

,

,

=

+

=

y

fin

net

z

fin

net

fin

net

u

u

u

Aby stan graniczny użytkowania płatwi nie został przekroczony, powinien być spełniony
warunek:

u

fin

= ........ ≤ u

net,fin

= ..........

3.4. WYMIAROWANIE STATYCZNE SŁUPKA

3.4.1. Schemat statyczny słupka

Wysokość słupka, h

s

=

Odległość między słupkami (z lewej strony słupka), l

sL

=

Odległość między słupkami (z prawej strony słupka), l

sP

=

l

s

= ½ (l

sL

+ l

sP

) =

Założono wstępnie wymiar słupka:

a = (a

min

= 10cm)

A

brutto

= a

2

= .........

(słupek o przekroju kwadratowym)

Wymiary miecza:

a

m

= b

m

= h

m

=

11

Charakterystyki geometryczne przekroju:

Szkic połączenia słupka z mieczami:

A

d

= A

netto

– jeśli symetryczne osłabienia naruszają krawędzie słupka

A

d

= A

brutto

– jeśli osłabienia nie naruszają krawędzi słupka i nie są większe niż 25% przekroju

brutto

A

d

= 4/3A

netto

– jeśli osłabienia nie naruszają krawędzi słupka i są większe niż 25% przekroju

brutto

Pole obliczeniowe przekroju poprzecznego słupka A

d

=

Moment bezwładności przekroju

=

=

4

12

1

a

I

Promień bezwładności przekroju

=

=

br

A

I

i

Ciężar własny słupka wraz z mieczami

G

słupka

= (a

2

·h

s

+ 2·a

m

·b

m

·h

m

)·ρ

d

·γ

G

[kN] =

3.4.2. Sprawdzenie stanu granicznego nośności

3.4.2.1. Siły wewnętrzne w słupku

N = q

z

l

s

+ G

słupka

= …………………………….=

q

z

– obciążenie pionowe na 1mb płatwi

3.4.2.2. Sprawdzenie nośności słupka

Naprężenia w słupku od ściskania (bez uwzględniania wyboczenia):

=

=

d

d

c

A

N

,

0

,

σ

………..=

µ

y

– współczynnik długości wyboczeniowej

µ

y

= 1,0

l

c,y

– długość wyboczeniowa słupka

l

c,y

= h

s

·µ

y

=

λ

y

– smukłość słupka, λ

y

≤ 150

=

=

y

y

c

y

i

l

,

λ

σ

c,crit

– naprężenia krytyczne przy ściskaniu

=

=

2

05

,

0

2

,

,

)

(

y

y

crit

c

E

λ

π

σ

λ

rel

,

y

– smukłość względna

=

=

05

,

0

,

0

,

,

E

f

k

c

y

y

rel

π

λ

λ

12

Jeżeli λ

rel

,

y

≤

0,3

Aby nośność słupka nie została przekroczona, powinien być spełniony warunek:

1

2

,

0

,

,

0

,

≤















d

c

d

c

f

σ

………………………≤1

Jeżeli λ

rel

,

y

> 0,3

=

+

−

+

⋅

=

]

)

(

)

3

,

0

(

1

[

5

,

0

2

,

,

y

rel

y

rel

c

y

k

λ

λ

β

β

c

= 0,2

=

−

+

=

2

,

2

,

)

(

)

(

1

y

rel

y

y

y

c

k

k

k

λ

…………………………………..=

Aby nośność słupka nie została przekroczona, powinien być spełniony warunek:

1

,

0

,

,

,

0

,

≤

⋅

d

c

y

c

d

c

f

k

σ

………………………….≤1

3.4.3. Sprawdzenie docisku słupka do podwaliny
Schemat docisku słupka do podwaliny

l - efektywna długość kontaktu wzdłuż włókien l

=

A

ef

- efektywne pole docisku

A

ef

=

Naprężenia dla docisku prostopadle do włókien:

=

=

ef

d

c

A

N

,

90

,

σ

………………..=

k

c,90

– współczynnik uwzględniający rozkład obciążenia, możliwość powstania pęknięć oraz

stopień odkształcania przy ściskaniu

k

c,90

=

Aby nośność podwaliny nie została przekroczona, powinien być spełniony warunek:

σ

c,90,d

≤ k

c,90

·

f

c,90,d

…………..≤………………………….