1

Podstawy Konstrukcji Maszyn

Wykład 11

Przekładnie zębate część 4

Obliczenia wytrzymałościowe

Dr inż. Jacek Czarnigowski

Koła zębate walcowe

Koła zębate przenoszą

obciążenia poprzez wzajemny

nacisk powierzchni bocznej

współpracującej pary zębów

2

Siły w przekładni

Powierzchnia styku

P

N

P’

P

r

Siła promieniowa

P’

P

P

a

P

P

r

Siła obwodowa

Siła osiowa (wzdłużna)

2

w

s

d

P

M

⋅

=

ββββ

β

tg

P

P

a

⋅

=

Siły w przekładni

Powierzchnia styku

P

N

P’

P

r

Siła promieniowa

P’

P

P

a

P

P

r

Siła obwodowa

Siła osiowa (wzdłużna)

n

r

tg

P

P

α

⋅

=

'

ββββ

β

cos

'

P

P

=

α

αα

α

n

β

α

cos

n

r

tg

P

P

⋅

=

3

Siły w przekładni

β

α

cos

n

r

tg

P

P

⋅

=

w

s

d

M

P

⋅

=

2

β

tg

P

P

a

⋅

=

Siła obwodowa – przenosząca napęd

Siła promieniowa – odpychająca koła

Siła wzdłużna – odpychająca koła po osi

Siły w przekładni

β

α

K

K

K

K

P

P

V

A

rz

⋅

⋅

⋅

⋅

=

Siły powyższe są wartościami nominalnymi.

Należy uwzględnić jeszcze warunku rzeczywiste współpracy.

Nominalna siła

Współczynnik zastosowania

Współczynnik nadwyżki dynamicznej

Współczynnik rozkładu obciążenia

wzdłuż odcinka przyporu

Współczynnik rozkładu

obciążenia wzdłuż linii zęba

4

Siły w przekładni

znaczne przeci

ąż

enia

IV. Walcarki, prasy, no

ż

yce gilotynowe, koparki,

ł

adowarki, kruszarki

ś

rednie przeci

ąż

enia

III. Nap

ę

dy g

ł

ówne obrabiarek, d

ź

wignice, mechanizmy obrotu

ż

urawi,

pompy wielot

ł

okowe

niewielkie przeci

ąż

enia

II. Pr

ą

dnice, pompy z

ę

bate, pompy rotacyjne

praca równomierna

I.Generatory, przeno

ś

niki ta

ś

mowe, lekkie wyci

ą

gi, wentylatory, nap

ę

dy

pomocnicze obrabiarek

Charakter obci

ąż

enia

Maszyna robocza

2,25

2,00

1,75

1,50

znaczne przeci

ąż

enia

Silnik spalinowy jednocylindrowy

2,00

1,75

1,50

1,25

ś

rednie przeci

ąż

enia

Silnik spalinowy wielocylindrowy

1,85

1,60

1,35

1,10

niewielkie przeci

ąż

enia

Silnik elektryczny, turbina spalinowa

1,75

1,50

1,25

1,00

praca równomierna

Silnik elektryczny, turbina parowa

IV

III

II

I

Maszyna robocza

Charakter

obci

ąż

enia

Silnik

nap

ę

dowy

Współczynnik zastosowania K

A

Siły w przekładni

Współczynnik nadwyżki dynamicznej K

V

A

V

K

v

+

=

1

Dla pracy poza zakresem rezonansu

4

7

10

18

30

Współczynnik A

10

÷

12

8

÷

10

6

÷

8

4

÷

6

2

÷

5

Klasa

dokładno

ś

ci

0

÷

3

3

÷

10

10

÷

20

20

÷

50

50

÷

100

v [m/s]

V

IV

III

II

I

Grupa dokładno

ś

ci

Wielko

ść

5

Siły w przekładni

Współczynnik rozkładu obciążenia wzdłuż

odcinka przyporu K

α

αα

α

ε

α

α

ε

ε

Y

K

⋅

=

Całkowita liczba przyporu

Osiowa liczba przyporu

Współczynnik stopnia pokrycia

β

ε

α

ε

2

cos

75

,

0

25

,

0

⋅

+

=

Y

Siły w przekładni

Współczynnik rozkładu obciążenia wzdłuż

linii zęba K

ββββ

b

A

d

b

A

K

H

⋅

⋅

+













+

=

−

3

2

2

1

1

10

18

,

0

β

II - z dogniataniem lub docieraniem

I - bez docierania kó

ł

0,31

1,15

0,61

1,23

8

0,23

1,12

0,47

1,17

7

0,15

1,11

0,30

1,15

6

0,115

1,10

0,23

1,135

5

A

2

A

1

A

2

A

1

II

I

Wykonanie

Klasa

6

Obliczenia wytrzymałościowe

Obliczenia są określone przez normę:

PN-ISO 6336/1

÷÷÷÷

3

Naprężenia stykowe

na powierzchni zęba

Naprężenia u

podstawy zęba

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia stykowe

Na powierzchni zęba występuje nacisk

styku dwóch powierzchni

Do obliczeń przyjmuje się

model naprężeń Herza

naprężeń na styku dwóch
powierzchni walcowych o

promieniach:

ρρρρ

1,

ρρρρ

2

7

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia stykowe

Na powierzchni zęba występuje nacisk

styku dwóch powierzchni

HP

rz

H

M

H

u

u

bd

P

Z

Z

Z

Z

σ

σ

β

ε

≤

+

⋅

⋅

=

1

1

Współczynnik

materiałowy

Współczynnik

strefy styku

Współczynnik

wskaźnika przyporu

Współczynnik kąta

pochylenia zębów

Szerokość

wieńca

Przełożenie

geometryczne

Naprężenie

dopuszczalne

na docisk na

powierzchni

styku zębów

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia stykowe

Współczynnik materiałowy Z

M

Uwzględnia własności materiałów współpracujących kół















−

+















−

⋅

=

2

2

2

1

2

1

1

1

1

E

v

E

v

Z

M

π

νννν

– liczba Poissona

E – moduł Younga

8

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia stykowe

Współczynnik strefy styku Z

H

Uwzględnia wpływ krzywizny boków zęba w biegunie

zazębienia na naprężenia stykowe

tw

b

t

H

tg

Z

α

β

α

cos

2

cos

1

=

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia stykowe

Współczynnik wskaźnika przyporu Z

α

αα

α

Uwzględnia wpływ czołowego i poskokowego stopnia

przyporu na obciążenie powierzchni zęba

3

4

α

ε

ε

−

=

Z

Dla zębów prostych

Dla zębów śrubowych

(

)

1

1

3

4

<

+

−

⋅

−

=

β

α

β

β

α

ε

ε

ε

ε

ε

ε

dla

Z

1

1

≥

=

β

α

ε

ε

ε

dla

Z

9

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia stykowe

Współczynnik kąta pochylenia zębów Z

ββββ

Uwzględnia wpływ kąta pochylenia zęba na naprężenia
stykowe – dodatkowe zwiększenie wytrzymałości kół o

zębach śrubowych

β

β

cos

=

Z

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia stykowe

Naprężenie dopuszczalne na docisk na

powierzchni styku zębów

σσσσ

HP

X

W

V

R

L

NT

H

H

HP

Z

Z

Z

Z

Z

Z

S

lim

σ

σ

=

Wytrzymałość

zmęczeniowa na

naciski stykowe

Współczynnik

bezpieczeństwa

= 1

÷÷÷÷

1,3

Współczynnik

trwałości dla

zmęczenia

powierzchniowego

Współczynnik
lepkości oleju

Współczynnik

chropowatości

powierzchni

Współczynnik

prędkości

obwodowej

Współczynnik

zgniotu

powierzchni

Współczynnik

wielkości

10

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia stykowe

Wytrzymałość zmęczeniowa na naciski stykowe

σσσσ

H lim

350

1360

HV 650

42CrMo4

40HM

310

1280

HV 610

41Cr4

40H

270

1100

HV 560

C45

45

hartowanie powierzchniowe

łą

cznie z dnem wr

ę

bu

Stal do ulepszania

cieplnego hartowana

powierzchniowo

320

770

HV 310

34CrNiMo6

34HNM

290

670

HV 280

42CrMo4

40HM

270

650

HV 260

41Cr4

40H

270

650

HV 260

34Cr4

30H

ulepszanie

Stal konstrukcyjna do

ulepszania cieplnego

220

620

HV 210

C55

55

ulepszanie

200

590

HV 185

C45

45

normalizowanie

170

440

HV 140

C20

20

ulepszanie

Stal konstrukcyjna wy

ż

szej

jako

ś

ci

220

460

HB 208

E360

St7

200

400

HB 180

E335

St6

190

340

HB 150

E295

St5

170

290

HB 125

St4

---

Stal konstrukcyjna zwyk

ł

ej

jako

ś

ci

80

360

HB 230

EN-GJL-300

350

60

310

HB 210

EN-GJL-250

250

50

270

HB 170

EN-GJL-200

200

---

ś

eliwo szare

σ

Flim [MPa]

σ

Hlim [MPa]

Twardo

ść

boku

z

ę

ba

Oznaczenie wg PN-

EN

Symbol wg

PN-H

Rodzaj obróbki cieplnej

Rodzaj materia

ł

u

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia stykowe

Współczynnik trwałości dla zmęczenia

powierzchniowego Z

NT

Dla wytrzymałości na

nieskończoną liczbę cykli

N > 10

6

1

=

NT

Z

Dla określonej ilości cykli

(zgodnej z wykresem Wöhlera)

N < 10

6

1

>

NT

Z

11

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia stykowe

Współczynnik lepkości oleju Z

L

Zależny jest od lepkości oleju stosowanego do

smarowania przekładni oraz wytrzymałości

zmęczeniowej na naprężenia stykowe

σσσσ

H lim

1- σHlim = 850 MPa,
2- σHlim = 900 MPa,

3- σHlim = 1000 MPa,

4- σHlim = 1100 MPa,

5- σHlim = 1200 MPa

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia stykowe

Współczynnik chropowatości powierzchni Z

R

Zależny jest od chropowatości powierzchni zębów

oraz wytrzymałości zmęczeniowej na naprężenia

stykowe

σσσσ

H lim

1- σHlim = 850 MPa,
2- σHlim = 900 MPa,

3- σHlim = 1000 MPa,

4- σHlim = 1100 MPa,

5- σHlim = 1200 MPa

12

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia stykowe

Współczynnik prędkości obwodowej Z

V

Zależny jest od prędkości obwodowej punktu styku oraz

wytrzymałości zmęczeniowej na naprężenia stykowe

σσσσ

H lim

1- σHlim = 850 MPa,
2- σHlim = 900 MPa,

3- σHlim = 1000 MPa,

4- σHlim = 1100 MPa,

5- σHlim = 1200 MPa

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia stykowe

Współczynnik zgniotu powierzchni Z

W

Opisuje wpływ utwardzenia powierzchni zębów

uwzględniając wzrost wytrzymałości na wgłębienia

zmęczeniowe miękkiego stalowego koła zębatego

współpracującego z utwardzonym kołem zębatym

1700

130

2

,

1

−

−

=

HB

Z

W

HB - twardość powierzchni bocznej zęba koła miększego

13

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia stykowe

Współczynnik wielkości Z

X

Uwzględnia wpływ wymiarów zęba na dopuszczalne

naprężenie stykowe

Dla kół stalowych

hartowanych

powierzchniowo

n

X

m

Z

⋅

−

=

005

,

0

05

,

1

Moduł normalny

Dla kół stalowych

azotowanych

n

X

m

Z

⋅

−

=

011

,

0

08

,

1

Dla pozostałych

1

=

X

Z

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia w stopie zęba

Obciążenia u podstawy zęba

Wg zaleceń ISO największe

naprężenia występują w

obszarach punktów

styczności A i B zarysu z

liniami prostymi tworzącymi

kąt 30° z osią symetrii zęba

14

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia w stopie zęba

FP

FS

n

rz

F

Y

Y

Y

m

b

P

σ

σ

β

ε

≤

⋅

⋅

⋅

=

Obciążenia u podstawy zęba

Współczynnik karbu

u stopy zęba

Współczynnik

pochylenia linii

zębów

Dopuszczalne

naprężenie w

stopie zęba

Współczynnik

stopnia pokrycia

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia w stopie zęba

Współczynnik karbu u stopy zęba Y

FS

15

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia w stopie zęba

Współczynnik stopnia pokrycia Y

εεεε

b

Y

β

ε

α

ε

2

cos

75

,

0

25

,

0

+

=

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia w stopie zęba

Współczynnik karbu u pochylenia linii zębów Y

ββββ

120

1

β

ε

β

β

−

=

Y

16

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia w stopie zęba

Naprężenia dopuszczalne w stopie zęba

σσσσ

FP

x

RrelT

relT

F

NT

ST

F

FP

Y

Y

Y

S

Y

Y

δ

σ

σ

lim

=

Granica zmęczenia

materiału na zginanie

Współczynnik

spiętrzenia naprężeń

w kołach modelowych

Współczynnik

trwałości dla złamania

zmęczeniowego

Współczynnik

względnej wrażliwości

na działanie karbu

Współczynnik względnej

chropowatości

powierzchni

Współczynnik

wielkości

Współczynnik

bezpieczeństwa

= 1,4 ÷1,6

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia w stopie zęba

Granica zmęczenia materiału na zginanie

σσσσ

F lim

350

1360

HV 650

42CrMo4

40HM

310

1280

HV 610

41Cr4

40H

270

1100

HV 560

C45

45

hartowanie powierzchniowe

łą

cznie z dnem wr

ę

bu

Stal do ulepszania

cieplnego hartowana

powierzchniowo

320

770

HV 310

34CrNiMo6

34HNM

290

670

HV 280

42CrMo4

40HM

270

650

HV 260

41Cr4

40H

270

650

HV 260

34Cr4

30H

ulepszanie

Stal konstrukcyjna do

ulepszania cieplnego

220

620

HV 210

C55

55

ulepszanie

200

590

HV 185

C45

45

normalizowanie

170

440

HV 140

C20

20

ulepszanie

Stal konstrukcyjna wy

ż

szej

jako

ś

ci

220

460

HB 208

E360

St7

200

400

HB 180

E335

St6

190

340

HB 150

E295

St5

170

290

HB 125

St4

---

Stal konstrukcyjna zwyk

ł

ej

jako

ś

ci

80

360

HB 230

EN-GJL-300

350

60

310

HB 210

EN-GJL-250

250

50

270

HB 170

EN-GJL-200

200

---

ś

eliwo szare

σ

Flim [MPa]

σ

Hlim [MPa]

Twardo

ść

boku

z

ę

ba

Oznaczenie wg PN-

EN

Symbol wg

PN-H

Rodzaj obróbki cieplnej

Rodzaj materia

ł

u

17

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia w stopie zęba

Współczynnik spiętrzenia naprężeń w kołach

modelowych Y

ST

2

=

ST

Y

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia w stopie zęba

Współczynnik trwałości dla złamania zmęczeniowego

Y

NT

1

=

NT

Y

Dla określonej ilości cykli

(zgodnej z wykresem Wöhlera)

N < 10

6

1

>

NT

Y

Dla wytrzymałości na

nieskończoną liczbę cykli

N > 10

6

18

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia w stopie zęba

Współczynnik względnej wrażliwości na działanie

karbu Y

δδδδ

relT

1

0

95

,

0

5

,

1

1

<

<

=

≥

=

S

relT

S

relT

q

dla

Y

q

dla

Y

δ

δ

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia w stopie zęba

Współczynnik względnej chropowatości powierzchni

Y

RrelT

1 – stale do ulepszania cieplnego Rm > 800 N / mm2,
żeliwo sferoidalne (perlityczne, ferrytyczne, bainityczne ),
stale do nawęglania po hartowaniu, stal lub żeliwo
sferoidalne hartowane indukcyjnie lub płomieniowo,
2 – stale Rm < 800 N / mm2 ,
3 – żeliwo szare, żeliwo sferoidalne (ferrytyczne,
perlityczne), azotowane stale do nawęglania lub
ulepszania cieplnego,
r – granice rozrzutu wyników doświadczalnych

19

Obliczenia wytrzymałościowe –
naprężenia w stopie zęba

Współczynnik wielkości Y

κκκκ

1) materiały:
- stale konstrukcyjne zwykłej jakości (Rm<800 N/mm2),
- stale do ulepszania cieplnego po ulepszeniu (Rm>800 N/mm2),
- żeliwa sferoidalne (perlityczne, ferrytyczne i bainityczne),
- żeliwa czarne ciągliwe (perlityczne)

2) materiały
- stale do nawęglania po nawęglaniu i hartowaniu,
- stale konstrukcyjne hartowane indukcyjnie lub płomieniowo,
- stale konstrukcyjne do nawęglania i ulepszania cieplnego cyjanowane,
- stale do azotowania i ulepszania cieplnego azotowane,

3) żeliwo szare i żeliwo sferoidalne (ferrytyczne)