Zad1

Zakładając rozkład normalny oblicz średnią i odchylenie standardowe z wyników:
( 5; 7; 4; 7; 6; 3; 3 ) oraz wyznacz prawdopodobieństwo pojawienia się wyniku w
przedziale 5

3



x

7

7

1







i

x

=

5

7

35



6

4

4

1

4

1

4

0

1

)

(

7

1

2



























n

x

x

n

i

i



=

3

P- stwo trzeba policzyć z rozkładu Gaussa (wzór z całką )



Zad2

Pomiar długości aluminiowego przedmiotu wykonano suwmiarką, której szczęki wykonane
są ze stali. Pomiar wykonano w temperaturze t = 25



C. Obliczyć poprawkę ,,p” wynikającą z

temp. różnej od temp. odniesienia (20



C).

Zmierzony wymiar L: 425.48 mm
Stal:

1

5

10

0

.

1









K

n



Aluminium:

1

5

10

3

.

2









K

p



C

C

C

t







5

20

25









p =

L

t

p

n









)

(





p

mm

03

.

0





wynik poprawiony: 425.45mm










Zad3

W dwóch niezależnych laboratoriach (A,B) wykonano po 5 pomiarów czasu zderzenia

dwóch kul metalowych (wszystkie w ms). Obliczyć wartość najbardziej prawdopodobną oraz
jej niepewność:

A = (124, 125, 121, 127, 123)

B = (127, 126, 124, 125, 123)

Średnie wartości pomiarów A i B:

a

x

5

5

1







i

a

x

=

124

5

620



125

5

625

5

5

1











i

b

x

odchylenia standardowe A i B:

1

)

(

5

1

2













n

x

x

n

i

A

i

A



=

24

.

2

5

















1

)

(

5

1

2

n

x

x

n

i

B

i

B



58

.

1

2

10



następnie wagi w

a

i w

b

:

w

a

=

2

.

0

5

1

1

2





A



w

b

=

4

.

0

10

4

1

2





B



teraz można obliczyć najlepsze przybliżenie:

x

np

=

ms

w

x

w

i

i

i

i

i

6

.

124

3

374

4

.

0

2

.

0

125

4

.

0

124

2

.

0

2

1

2

1























niepewność otrzymanego wyniku :

3

.

1

4

.

0

2

.

0

1

1

2

1













i

i

np

w



końcowy wynik to: (124.6

ms

)

3

.

1



Zad4

Zestawiono stos z 4 płytek wzorcowych o wymiarach l

i

i poprawkach p

i

:

L

1

= 1.5mm ; P

1

= 0.5



m

L

2

= 20mm

; P

2

= -0.30



m

L

3

= 1.05mm ; P

3

= 0.05



m

L

4

= 50mm

; P

4

= 0.20



m

Obliczyć wysokość stosu płytek jeśli niepewność wymiarów płytek na poziomie ufności
a) P= 1-





0.95

b) P= 1-





0.99

wynosi U(l

i

)=(0,20+ 0.0020L

i

) mm

Wymiary kolejnych płytek:

L

1

=(1.50050



0.00020)mm

L

2

=(19.99970



0.00025)mm

L

3

=(1.05005



0.00020)mm

L

4

=(50.00020



0.00030)mm

W obu przypadkach wzór na wysokość stosu wyraża się wzorem:

L=( L

1

+ L

2

+ L

3

+ L

4

)



U(L)

Do obliczenia niepewności rozszerzonej stosuje się wzór:

U(L) =

)

(

)

(

)

(

)

(

4

2

3

2

2

2

1

2

l

u

l

u

l

u

l

u







Aby otrzymać niepewność standardową stosu należy podzielić niepewności rozszerzone przez
wsp. rozszerzenia ,, k”

a) poziom ufności P= P= 1-





0.95, współczynnik k=2

m

mm



1

.

0

2

00020

.

0



m

mm



125

.

0

2

00025

.

0



m

mm



15

.

0

2

00030

.

0



U(L) =

 





 





2

2

2

2

2

2

2

2

15

.

0

1

.

0

125

.

0

1

.

0

m

m

m

m















=0.24

wysokośc stosu płytek wynosi (72.55045



0.00024)mm

b) poziom ufności P= 1-





0.99, współczynnik k=3

m

mm



06

.

0

3

00020

.

0



m

mm



08

.

0

3

00025

.

0



m

mm



1

.

0

3

00030

.

0



U(L) =













 

2

2

2

2

2

2

2

2

1

.

0

06

.

0

08

.

0

06

.

0

m

m

m

m















=0.15

wysokość stosu płytek wynosi (72.55045



0.00015)mm

Zad5
Wynikiem pomiaru wartości x i y są następujące pary liczb:
(1,3); (2,2); (2,3); (2,5); (3,4); (3,5)

Metodą najmniejszych kwadratów wyznaczyć równanie y=Ax +B wiążące te zmienne x i y.

 

17

13

31

6

2

2

2



















x

x

N

A=







 

y

x

xy

N

=

17

27

17

22

13

50

6









B=

17

1

17

50

13

21

31

2















   

xy

x

y

x

Prosta ma równanie y =

17

1

17

27



x

Zad6

Oblicz wymiary płytki gdzie A,B,C są wynikami pomiarów jej kolejnych długości w

milimetrach:

A

B

C

20,01

10,22 5,48

19,97

10,2 5,53

20,03

10,17 5,55

20,02

10,18 5,54

20,03

10,25 5,50

20,01

10,24 5,47

20,02

10,2 5,51

20,01

10,19 5,54

20,02

10,22 5,49

20,03

10,17 5,53

15

,

20

10

10

1









i

a

A

mm

204

,

10

10

10

1









i

b

B

mm

51

,

5

10

10

1









i

c

C

4mm

odchylenia standardowe:

1

)

(

10

1

2













n

A

A

n

i

i

a



=0,01485 mm















1

)

(

10

1

2

n

B

B

n

i

i

b



0,02797 mm















1

)

(

10

1

2

n

C

C

n

i

i

c



0,03514 mm ; n =10

odchylenie standardowe średniej:

001485

,

0

10

01485

,

0







n

A

A





mm

002797

,

0

10

02797

,

0







n

B

B





mm

003514

,

0

10

03514

,

0







n

C

C





mm

A = (20,1500



0,0015)mm

B = (10,2400



0,0030)mm

C = (5,5140



0,0035)mm