Politechnika Wrocławska
Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Materiał ilustracyjny
do przedmiotu
ELEKTROTECHNIKA
Prowadzący:
Dr inż. Piotr Zieliński (I-29, A10 p.408, tel. 320-32 29)
(Cz. 2)
Wrocław 2005/6
PRĄD ZMIENNY
Klasyfikacja prądów zmiennych
Prąd zmienny
jednokierunkowy
dwukierunkowy
okresowy
nieokresowy
pulsujący
przemienny
sinusoidalnie zmienny
okresowy
nieokresowy
odkształcony
INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
Prawo indukcji elektromagnetycznej
Jeżeli wartość strumienia magnetycznego sprzężonego z obwodem
elektrycznym zmienia się w czasie, to w obwodzie tym indukuje się
siła elektromotoryczna o wartości:
Reguła Lenza
Zwrot indukowanej sem jest taki, że prąd płynący pod jej
wpływem przeciwstawia się zachodzącym zmianom strumienia.
dt
d
e
φ
=
d
Φ
/ dt>0
e
Φ
e
Strumień magnetyczny sprzężony
dt
d
dt
d
z
e
ψ
φ
=
=
φ
ψ
z
=
gdzie: z - liczba zwojów
ψ - sprzężenie magnetyczne
d
Φ
/ dt>0
e
e
Φ
Samoindukcja
i
e
Φ
di /
dt >0
d
Φ
/
dt >0
dt
d
e
ψ
=
i
L
def
ψ
=
dt
i
d
L
e
=
i
∝
ψ
[L]=1H (henr)
i
L
=
ψ
Współczynnik proporcjonalności
L
jest
nazywany
współczynnikiem
indukcyjności własnej
lub
indukcyjnością
.
Współczynnik samoindukcji
i
Φ
z
i
L
=
=
ψ
R
2
z
L
=
R
z
i
Φ
=
Podstawienie w miejsce
Φ
zależności wynikającej z prawa
Ohma dla obwodu magnetycznego....
.... daje wzór ilustrujący, jak indukcyjność
danego obiektu zależy od jego parametrów
konstrukcyjnych.
Samoindukcja – zasady strzałkowania
dt
di
L
e
1
1
−
=
dt
di
L
e
2
2
=
e
2
L
i
2
e
1
L
i
1
Zjawisko indukcji wzajemnej
(transformacja)
L
1
L
12
e
2
i
1
i
2
L
2
e
1
dt
di
L
dt
di
L
e
2
21
1
1
1
+
=
dt
di
L
dt
di
L
e
2
12
1
2
2
+
=
i
1
i
2
Φ
1r
Φ
2r
Φ
12
e
1
e
2
Φ
21
21
11
1
e
e
e
+
=
12
22
2
e
e
e
+
=
21
12
L
L
=
Współczynnik
indukcji wzajemnej
Siła elektromotoryczna ruchu
B
e
v
e
l
dx
[
]
B
v
×
= l
e
Reguła prawej dłoni
Jeżeli prawą dłoń umieścimy w polu
magnetycznym tak by linie sił pola były
skierowane ku dłoni a odgięty kciuk
wskazywał kierunek ruchu przewodnika to
wyciągnięte palce wskażą
kierunek
indukowanej sem.
v
l
B
e
=
Jeśli B,l,v są wzajemnie prostopadłe to:
Energia pola magnetycznego
2
2
i
L
W
=
i
Φ
i
,ψ
t
I
0
T
dt
i
e
dW
=
dt
di
L
e
=
∫
=
i
di
i
L
W
0
i
L
ψ
=
2
i
W
ψ
=
Prąd zmienny sinusoidalny
(przemienny)
ω
Wytwarzanie napięcia sinusoidalnego
)
cos
(
α
φ
Bld
dt
d
dt
d
e
−
=
−
=
Bld
E
t
m
ω
ω
α
=
=
;
t
E
e
m
ω
sin
=
B
ω
α
d
ω
e
e
e
B
Parametry przebiegu sinusoidalnego
e
ω
t
T
ψ
E
m
f
T
π
π
ω
2
2 =
=
f
T
1
=
ψ
– faza początkowa
)
sin(
ψ
ω
+
=
t
E
e
m
f
– częstotliwość
Pulsacja -
Okres -
E
m
– wartość maksymalna
Przedstawianie przebiegów sinusoidalnych
za pomocą wirujących wektorów
ω
B
C
a
b
c
ω
t
A
Sumowanie przebiegów sinusoidalnych
Wartość skuteczna prądu zmiennego
Wartość skuteczna prądu zmiennego okresowego jest równa wartości prądu
stałego, który płynąc w ciągu jednego okresu przez taką samą rezystancję co
prąd zmienny wywołuje taki sam skutek cieplny.
i ( I
sk
)
R
T
R
I
dt
R
i
sk
T
2
0
2
=
∫
∫
=
T
def
sk
dt
i
T
I
0
2
1
t
T
I
i
m
π
2
sin
=
2
m
sk
I
I
I
=
=
W przypadku przebiegu sinusoidalnego
Zatem
Rezystancja obwodzie prądu przemiennego
Prąd płynący przez rezystancję R jest w fazie względem napięcia na
tym elemencie.
R
i
u
R
R
=
t
I
i
R
R
ω
sin
2
=
t
R
I
u
R
R
ω
sin
2
=
R
I
U
R
R
=
t
U
u
R
R
ω
sin
2
=
t
I
U
i
u
p
R
R
R
R
ω
2
sin
2
=
=
R
U
R
I
I
U
P
R
R
R
R
2
2
=
=
=
i
R
;I
R
u
R
;U
R
R
U
R
I
R
u
R
i
R
u
R
i
R
t
p
P = P
sr
Indukcyjność w obw. prądu przemiennego
Prąd płynący przez indukcyjność L jest opóźniony względem
napięcia na tym elemencie o kąt f= 90
o
L
X
def
L
ω
=
t
I
i
L
L
ω
sin
2
=
)
sin(
2
2
π
ω
ω
+
=
t
L
I
u
L
L
L
L
L
X
I
U
=
)
sin(
2
2
π
ω
+
=
t
U
u
L
L
i
L
;I
L
u
L
;
U
L
X
L
U
L
I
L
u
L
i
L
u
L
i
L
t
f
p
p
dt
di
L
u
L
L
=
- reaktancja ind. [
Ω]
Moc odbiornika indukcyjnego
L
L
L
L
L
def
L
X
U
X
I
I
U
Q
L
2
2
=
=
=
t
I
U
i
u
p
L
L
L
L
ω
2
sin
=
=
0
=
=
śr
P
P
i
L
;I
L
u
L
;
U
L
X
L
U
L
I
L
u
L
i
L
u
L
i
L
t
f
p
p
t
I
i
L
L
ω
sin
2
=
)
sin(
2
2
π
ω
+
=
t
U
u
L
L
Moc czynna -
Moc bierna -
Pojemność w obw. prądu przemiennego
I
C
U
C
C
U
C
I
C
u
C
i
C
u
C
i
C
t
φ
p
Prąd płynący przez pojemność C wyprzedza napięcie na tym
elemencie o kąt f= 90
o
)
sin(
2
2
π
ω
ω
+
=
t
C
U
i
C
C
t
U
u
C
C
ω
sin
2
=
C
C
C
X
U
I
=
)
sin(
2
2
π
ω
+
=
t
I
i
c
C
dt
u
C
d
dt
dq
i
C
)
(
=
=
C
U
I
C
C
ω
=
C
X
def
C
ω
1
=
- reaktancja poj. (
Ω)
Moc odbiornika pojemnościowego
I
C
U
C
C
U
C
I
C
u
C
i
C
u
C
i
C
t
φ
p
t
I
U
i
u
p
C
C
C
C
ω
2
sin
=
=
t
U
u
C
C
ω
sin
2
=
)
sin(
2
2
π
ω
+
=
t
I
i
c
C
0
=
=
śr
P
P
C
C
C
C
C
C
def
C
X
U
X
I
I
U
Q
2
2
=
=
=
Moc czynna -
Moc bierna -
Szeregowe połączenie elementów R,L,C
U
U
R
U
L
L
U
C
R
C
I
U
R
U
U
L
I
U
C
Z
X
R
φ
φ
u
C
u
R
u
u
L
i
ω
t
2
2
)
(
C
L
R
U
U
U
U
−
+
=
I
U
Z
def
=
2
2
)
(
C
L
X
X
R
Z
−
+
=
C
L
X
X
X
−
=
2
2
X
R
Z
+
=
)
(
)
(cos
R
X
tg
arc
Z
R
arc
=
=
ϕ
- impedancja (
Ω)
Reaktancja
zastępcza
Rezonans napięć
U
U
R
U
L
X
L
U
C
R
X
C
I
C
L
X
X
=
C
f
L
f
π
π
2
1
2
=
LC
f
r
π
2
1
=
R
U
U
=
R
U
I
=
R
Z
=
R
L
def
U
U
Q
=
U
R
U
U
L
I
U
C
Dobroć obwodu rezonansowego
Częstotliwość
rezonansowa
Równoległe połączenie elementów R,L,C
U
I
R
I
L
L
I
C
R
C
I
I
R
U
I
L
I
I
C
φ
Y
G
φ
i
L
i
R
i
i
L
u
ω
t
B
2
2
)
(
C
L
R
I
I
I
I
−
+
=
Z
U
I
Y
def
1
=
=
2
2
)
(
C
L
B
B
G
Y
−
+
=
C
L
B
B
B
−
=
2
2
B
G
Y
+
=
G – konduktancja
B - susceptancja
admitancja (S)
Rezonans prądów (obwód idealny)
U
I
L
X
L
I
C
X
C
I
U
I
L
I
C
I=0
C
L
C
L
X
X
B
B
=
⇒
=
C
f
L
f
π
π
2
1
2
=
LC
f
r
π
2
1
=
Częstotliwość
rezonansowa
∞
=
⇒
=
Z
I 0
Rezonans prądów (obwód rzeczywisty)
U
I
R
I
L
X
L
I
C
R
X
C
I
U
I
L
I
C
I=I
R
I
R
C
L
C
L
X
X
B
B
=
⇒
=
LC
f
r
π
2
1
=
G
U
R
U
I
I
R
=
=
=
L
L
L
B
U
X
U
I
=
=
C
C
C
B
U
X
U
I
=
=
R
L
I
I
Q
=
Dobroć obwodu rezonansowego
Częstotliwość
rezonansowa
Moc odbiornika prądu przemiennego
∫
=
=
T
śr
dt
i
u
P
P
0
ϕ
cos
I
U
I
U
P
cz
=
=
ϕ
sin
I
U
UI
Q
b
=
=
2
2
Q
P
I
U
S
+
=
=
Po podstawieniu
t
U
u
ω
sin
2
=
)
sin(
2
ϕ
ω
−
=
t
I
i
Moc czynna
Moc pozorna
Moc bierna
P
sr
0
ϕ
u
i
u
i
t
p
p
U
I
I
cz
I
b
P
Q
S
ϕ
ϕ
I
U
Z
Obliczanie obwodów prądu
sinusoidalnego przy użyciu rachunku
zespolonego
Liczby zespolone (postać algebraiczna)
1
−
=
j
j
j
−
=
1
1
2
−
=
j
y
x
jW
W
W
+
=
α
α
sin
cos
W
j
W
W
+
=
W
W
=
Im
Re
α
W
W
x
W
y
2
2
y
x
W
W
W
+
=
)
Re(W
W
x
=
)
Im(W
W
y
=
Liczby zespolone (postać wykładnicza)
Im
Re
α
W
W
x
W
y
α
α
α
sin
cos
j
e
j
+
=
α
j
We
W
=
1
sin
cos
2
2
=
+
=
α
α
α
j
e
j
e
j
=
2
π
W
W
=
Wielkości sinusoidalne na płaszczyźnie
zespolonej
α
α
α
sin
cos
j
e
j
+
=
1
sin
cos
2
2
=
+
=
α
α
α
j
e
)
sin(
2
)
cos(
2
2
)
(
α
ω
α
ω
α
ω
+
+
+
=
+
t
I
j
t
I
Ie
t
j
)
sin(
2
)
2
Im(
)
(
α
ω
α
ω
+
=
=
+
t
I
Ie
i
t
j
Wektor o amplitudzie wirujący na płaszczyźnie zespolonej z prędkością
ω
.
I
2
Wartość chwilowa
Skuteczna wartość zespolona
I
Ie
j
=
α
Im
I
Re
ω
α
Obwody z elementami R,L,C
I
L
U
L
X
L
U
L
I
L
φ
I
R
U
R
R
U
R
I
R
I
C
U
C
X
C
U
C
I
C
φ
R
I
U
R
R
=
L
L
L
jX
I
U
=
C
C
C
X
I
U
=
L
L
L
X
I
U
=
L
L
X
jX
=
)
(
C
C
C
jX
I
U
−
=
C
C
X
jX
=
−
Szeregowe łączenie R,L,C
C
L
R
U
U
U
U
+
+
=
I
U
Z
def
=
C
L
X
X
R
Z
+
+
=
C
L
jX
jX
R
Z
−
+
=
ϕ
j
Ze
Z
=
)
(
)
(cos
R
X
tg
arc
Z
R
arc
=
=
ϕ
U
U
R
U
L
X
L
U
C
R
X
C
I
U
R
U
U
L
I
U
C
φ
Z
X
R
φ
2
2
)
(
C
L
X
X
R
Z
−
+
=
X
R
Z
+
=
zastępcza impedancja
zespolona
Równoległe łączenie R,L,C
U
I
R
I
L
X
L
I
C
R
X
C
I
I
R
U
I
L
I
I
C
φ
Y
B
G
φ
2
2
)
(
C
L
R
I
I
I
I
−
+
=
Z
U
I
Y
1
=
=
)
C
L
jB
jB
G
Y
+
−
=
C
L
B
B
B
−
=
2
2
B
G
Y
+
=
C
L
R
I
I
I
I
+
+
=
admitancja zespolona
Szeregowe łączenie impedancji
⋅⋅
⋅
+
+
+
=
3
2
1
Z
Z
Z
Z
z
3
2
1
U
U
U
U
+
+
=
Z
1
Z
2
Z
3
U
1
U
3
U
I
U
2
zastępcza impedancja
zespolona
I
U
I
U
I
U
I
U
3
2
1
+
+
=
Równoległe łączenie impedancji
⋅⋅
⋅
+
+
+
=
3
2
1
1
1
1
1
Z
Z
Z
Z
z
⋅⋅
⋅
+
+
+
=
3
2
1
Y
Y
Y
Y
z
3
2
1
I
I
I
I
+
+
=
Z
1
Z
2
Z
3
I
1
I
2
I
3
I
U
U
I
U
I
U
I
U
I
3
2
1
+
+
=
zastępcza admitancja
zespolona
Układy prądu trójfazowego
Napięcie trójfazowe (wytwarzanie)
U
a
U
c
U
b
120
o
120
o
120
o
U
U
U
U
c
b
a
=
=
=
U
U
a
=
U
a
e
U
U
j
b
2
3
2
=
=
−
π
U
a
e
U
U
j
c
=
=
3
2
π
przy czym:
3
2
π
j
e
a
=
u
a
u
b
u
c
ω
t
B
ω
U
A
I
A
U
B
U
C
I
B
I
C
f
f
f
U
A
I
A
f
U
B
I
B
f
U
C
I
C
f
C
B
A
I
I
I
I
+
+
=
0
Układ trójfazowy jako zespół 3.symetrycznych obwodów jednofazowych
I
A
U
B
U
C
U
A
I
B
I
C
U
A
U
B
U
C
U
CA
U
AB
U
BC
Z
f
Z
f
Z
f
I
A
U
B
U
C
U
A
I
B
I
C
U
A
U
B
U
C
U
CA
U
AB
U
BC
I
0
=0
Z
f
Z
f
Z
f
I
A
U
B
U
C
U
A
I
B
I
C
U
A
U
B
U
C
U
CA
U
AB
U
BC
Z
f
Z
f
Z
f
0
0
=
I
W układzie symetrycznym:
Układ czteroprzewodowy
f
C
B
A
U
U
U
U
=
=
=
U
U
U
U
CA
BC
AB
=
=
=
I
A
U
C
U
CA
U
AB
U
BC
I
B
I
C
I
O
U
A
U
B
napięcia fazowe
napięcia przewodowe (międzyfazowe)
Układ połączeń w gwiazdę
f
p
U
U
3
=
f
p
I
I
=
B
A
AB
U
U
U
−
=
C
B
BC
U
U
U
−
=
A
C
CA
U
U
U
−
=
f
p
I
I
=
U
C
U
B
U
A
I
C
I
A
I
B
-U
A
U
CA
U
BC
U
AB
-U
B
-U
B
30
o
30
o
30
o
φ
φ
φ
I
A
U
B
U
C
U
A
I
B
I
C
U
A
U
B
U
C
U
CA
U
AB
U
BC
Z
Z
Z
Układ połączeń w trójkąt
f
p
I
I
3
=
f
p
U
U
=
CA
AB
A
I
I
I
−
=
AB
BC
B
I
I
I
−
=
BC
CA
C
I
I
I
−
=
f
p
U
U
=
U
AB
30
o
I
C
I
A
I
B
U
CA
U
BC
30
o
30
o
I
AB
-I
CA
φ
φ
φ
-I
AB
I
CA
I
BC
-I
CB
U
BC
U
CA
U
AB
A
B
C
I
A
I
B
I
C
U
CA
U
AB
U
BC
A
B
C
I
AB
I
BC
I
CA
Z
f
Z
f
Z
f
Moc w układzie 3-fazowym
Gwiazda
f
C
B
A
f
P
P
P
P
P
1
3
3
Trójkąt
=
+
+
=
ϕ
ϕ
cos
3
cos
1
I
U
I
U
P
f
f
f
=
=
ϕ
cos
3 I
U
P
gwiaz
=
f
C
B
A
f
P
P
P
P
P
1
3
3
=
+
+
=
ϕ
ϕ
cos
3
cos
1
I
U
I
U
P
f
f
f
=
=
ϕ
cos
3 I
U
P
trójk
=
Analogicznie:
ϕ
sin
3
3
I
U
Q
f
=
I
U
S
f
3
3
=
oraz
I
A
U
B
U
C
U
A
I
B
I
C
U
CA
U
AB
U
BC
Z
f
Z
f
Z
f
A
B
C
U
BC
U
CA
U
AB
A
B
C
I
A
I
B
I
C
U
CA
U
AB
U
BC
A
B
C
I
AB
I
BC
I
CA
Z
f
Z
f
Z
f