METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

OBLICZANIE OBWODÓW METODĄ PRZEKSZTAŁCANIA DO
UKŁADU RÓWNOWAŻNEGO

Metoda ta znajduje zastosowanie przy obliczaniu obwodów

szeregowych, równoległych, o mieszanym połączeniu elementów oraz
układów o większym stopniu złożoności – zawierających układy typu
gwiazda - trójkąt.

Postępowanie we wszystkich przypadkach jest podobne: układ

złożony zastępujemy układem równoważnym, przy czym podobnie jak w
przypadku przekształcania układów gwiazda - trójkąt nie może ulec
zmianie rozpływ prądów i rozkład napięć w niezmienionej części układu.
Dzięki niej możliwe jest obliczenie rozpływu prądów w obwodzie, a także
wartości spadków napięć na poszczególnych elementach.

Przy zastępowaniu układu jego wersją równoważną wykorzystuje się

wzory na rezystancję zastępcze układu rezystorów oraz zależności służące
do zastępowania źródeł napięcia i prądu. Przy obliczaniu prądów i napięć
stosuje się wzory wynikające z prawa Ohma i Kirchhoffa.
Przykład:

Obliczyć wartości prądów przepływających przez rezystancje R

5

i R

8

korzystając z metody przekształcania.

Dane układu: U

AB

= 24 V; R

1

= 3



; R

2

= R

5

= R

7

= R

8

= 4



;

R

3

= 12



; R

4

= 6



; R

6

= 12



.

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

Układ przykładowy do metody przekształcania

W pierwszej kolejności wyznaczamy rezystancję zastępczą układu od

strony napięcia zasilającego:

Układ po zastąpieniu części rezystancji elementami zastępczymi















3

4

12

4

12

R

R

R

R

R

8

3

8

3

38















2

6

3

6

3

R

R

R

R

R

4

1

4

1

14















2

4

4

4

4

R

R

R

R

R

5

2

5

2

25









4

R

R

R

25

14

1245

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO















3

12

4

12

4

R

R

R

R

R

6

1245

6

1245

I

















6

3

3

R

R

R

38

I

II















4

,

2

4

6

4

6

R

R

R

R

R

7

II

7

II

C

Dla tak obliczonej wartości rezystancji całkowitej prąd całkowity:

A

10

4

,

2

24

R

U

I

C

AB







Pozostałe wartości:

A

6

4

24

R

U

I

7

AE

7







Rozpływ prądów dla węzła B:

I

7

– I + I

II

= 0 skąd: I

II

= I – I

7

= 10 – 6 = 4 A

Spadek napięcia na rezystancji zastępczej R

38

:

U

II

= I

II

R

38

= 4



3 = 12 V

Prąd w gałęzi z rezystancją R

8

:

I

8

=





4

12

R

U

8

II

3 A

Równanie bilansu napięć dla oczka z rezystorami R

6

, R

7

oraz R

38

wygląda następująco:

U

AB

– U

6

– U

II

= 0

skąd napięcie na rezystancji R

6

:

U

6

= U

AB

– U

II

= 24 –12 = 12 V

Prąd przepływający rezystancję R

6

:

I

6

=





12

12

R

U

6

6

1 A

Dla węzła A pierwsze prawo Kirchhoffa będzie wyglądać

następująco:

I – I

7

– I

14

– I

6

= 0,

natomiast prąd przepływający przez rezystancję zastępczą R

1245

:

I

14

= I – I

7

– I

6

= 10 – 6 – 1 = 3 A

Napięcie na rezystancji R

25

:

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

U

25

= I

14

R

25

= 3



2 = 6 V

Prąd przepływający rezystancję R

5

:

I

5

=





4

6

R

U

5

25

1,5 A

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

OBLICZANIE OBWODÓW METODĄ PRAW KIRCHHOFFA

Metoda ta zyskała nazwę metody klasycznej – oparta jest na dwóch

prawach Kirchhoffa i jest stosowana zwykle w przypadku obwodów
zawierających stosunkowo niewielką liczbę węzłów i gałęzi, w
przeciwnym przypadku obliczenia są kłopotliwe ze względu na dużą
liczbę równań. Możliwe jest rozwiązanie ich w postaci macierzowej za
pomocą programów matematycznych. Zastosowanie metody sprowadza
się do utworzenia określonej liczby równań prądowych i napięciowych.

Dla obwodu zawierającego



węzłów oraz b gałęzi możliwe jest

utworzenie:





1

równań prądowych (I prawo Kirchhoffa)

b



(





1) = b





+ 1

równań

napięciowych

(II

prawo

Kirchhoffa)

Z ułożonych w ten sposób równań wyznaczamy poszukiwane wartości

prądów, a następnie spadki napięć na poszczególnych elementach obwodu.

Przykład:
Obliczyć rozpływ prądów w układzie przedstawionym na rysunku.

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

Układ przykładowy do metody praw Kirchhoffa

Dane obwodu: E

1

= 12 V; E

2

= 8 V; E

3

= 16 V; E

4

= 6 V; R

w1

= 0,5



;

R

w2

= R

w3

= 0;

R

w4

= 1



;

R

1

= 3,5



;

R

2

= R

3

= 2



;

R

4

= 15



;

R

5

= 3



.

Układ posiada:



= 3 węzłów; b = 5 gałęzi. Do rozwiązania konieczne

jest ułożenie b –



+ 1 = 3 równań napięciowych,



– 1 = 2 równań

prądowych.
Węzeł b:

I

2

+ I

5

– I

1

= 0 skąd: I

2

= I

1

– I

5

Węzeł a:

– I

5

+ I

3

– I

4

= 0 skąd: I

3

= I

5

+ I

4

Oczko 1:

E

1

– R

w1

I

1

– R

1

I

1

+ E

2

– R

2

I

2

= 0

Oczko 2:

E

3

– R

3

I

3

– R

5

I

5

+ R

2

I

2

– E

2

= 0

Oczko 3:

R

4

I

4

+ R

w4

I

4

– E

4

+ R

3

I

3

– E

3

= 0

Po uporządkowaniu:

R

w1

I

1

+ R

1

I

1

+ R

2

I

2

= E

1

+ E

2

R

2

I

2

– R

3

I

3

– R

5

I

5

= E

2

– E

3

R

4

I

4

+ R

w4

I

4

+ R

3

I

3

= E

4

+ E

3

Podstawiając wartości wyznaczone z równań prądowych:

R

w1

I

1

+ R

1

I

1

+ R

2

I

1

– R

2

I

5

= E

1

+ E

2

R

2

I

1

– R

2

I

5

– R

3

I

5

– R

3

I

4

– R

5

I

5

= E

2

– E

3

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

R

4

I

4

+ R

w4

I

4

+ R

3

I

5

+ R

3

I

4

= E

4

+ E

3

(R

w1

+ R

1

+ R

2

)I

1

– R

2

I

5

= E

1

+ E

2

R

2

I

1

– R

3

I

4

– (R

2

+ R

3

+ R

5

)I

5

= E

2

– E

3

(R

4

+ R

w4

+ R

3

)I

4

+ R

3

I

5

= E

4

+ E

3

Po podstawieniu wartości liczbowych i uproszczeniu:

3I

1

– I

5

= 10

2I

1

– 2I

4

– 7I

5

= – 8

9I

4

+ I

5

= 11

Rozwiązując powyższy układ równań uzyskuje się następujące

wartości prądów:

I

1

= 4 A

I

4

= 1 A

I

5

= 2 A

Pozostałe wartości wyznacza się z równań prądowych:

I

2

= 2 A

I

3

= 3 A

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

OBLICZANIE OBWODÓW METODĄ SUPERPOZYCJI

Oparta jest ona na omawianej w rozdziale piątym zasadzie

superpozycji. Metoda ta znalazła zastosowanie w przypadku obwodów
liniowych o kilku źródłach energii. Ponadto może być ona stosowana w
przypadku układów dla których rozpływ prądów został wcześniej
wyznaczony, a których konfiguracja zmieniła się na skutek dołączenia
dodatkowych źródeł zasilania. Metoda ta spotykana jest także pod nazwą
metody nakładania.

W przypadku obwodu o n źródeł napięcia lub prądu obliczenia

przebiegają następująco:

1. Dany układ zastępowany jest przez n obwodów zasilanych jednym

źródłem, przy czym rezystancje elementów nie ulegają zmianie (w
każdym przypadku w układzie działa inne źródło napięcia, pozostałe są
zwarte, a źródła prądu rozwarte).

2. Każdy z otrzymanych w sposób podany w punkcie 1 obwodów

rozwiązujemy za pomocą praw Kirchhoffa lub przekształcania.

3. Na podstawie obliczonych dla układów składowych wartości prądów

pochodzących od poszczególnych źródeł oblicza się prądy rzeczywiste
w gałęziach obwodu (suma algebraiczna wszystkich prądów
występujących w danej gałęzi w obwodach składowych).

Przykład:
Wyznaczyć wartości prądów w układzie przedstawionym na rysunku,

korzystając z metody superpozycji.

Dane: R

1

= 8



; R

2

= 2



; R

w1

= 2



; R

w2

= 0,5



; R

3

= 5



; E

1

= 15

V; E

2

= 12 V.

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

Układ wyjściowy do metody superpozycji

1. Siła E

1

:

Układ przy zasilaniu siłą E

1

Rezystancja zastępcza układu:

R

I

= R

2

+ R

w2

= 2 + 0,5 = 2,5



R

II

=

3

5

5

5

,

2

5

5

,

2

R

R

R

R

3

I

3

I













R

C

= R

w1

+ R

1

+ R

II

= 2 + 8 +

3

5

=

3

35



Prąd płynący przez rezystancję zastępczą układu:

7

9

35

45

35

3

1

15

R

E

I

C

1

1













A

0

U

U

U

E

3

1

1

w

1















skąd:

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO















1

1

w

1

3

U

U

E

U

15



8

7

9

2

7

9







=

7

15

V

Pozostałe prądy:

7

3

5

1

7

15

R

U

I

3

3

3













A













2

3

1

I

I

I

0

skąd:

7

6

7

3

7

9

I

I

I

3

1

2

















A

2. Siła E

2

:

Układ przy zasilaniu siłą E

2

Rezystancja zastępcza układu:

R

I

= R

1

+ R

w1

= 8 + 2 = 10



R

II

=

3

10

15

50

5

10

5

10

R

R

R

R

3

I

3

I















R

C

= R

II

+ R

2

+ R

w2

=

6

35

2

1

2

3

10









Obliczenia prądów w poszczególnych gałęziach układu:

35

72

35

6

12

R

E

I

C

2

2











A

70

72

10

5

35

72

R

I

U

2

w

2

2

w















V

35

144

2

35

72

R

I

U

2

2

2















V

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO















3

2

2

w

2

U

U

U

E

0

stąd















2

2

w

2

3

U

U

E

U

12



35

144

35

36



=

35

240

V

35

48

5

35

240

R

U

I

3

3

3













A













3

1

2

I

I

I

0

stąd:

35

24

35

48

35

72

I

I

I

3

2

1

















A

Ostatecznie wartości prądów gałęziowych obliczamy jako nałożenie

wyników obliczeń dla obu sił oddzielnie:

I

1

=















35

21

35

72

7

9

I

I

1

1

0,6 A

I

2

=















35

42

35

30

35

72

I

I

2

2

1,2 A

I

3

=















5

9

35

48

7

3

I

I

3

3

1,8 A

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

OBLICZANIE OBWODÓW METODĄ PRĄDÓW OCZKOWYCH

Metoda służy do wyznaczania prądów gałęziowych w danym

obwodzie. W bezpośredni sposób wywodzi się z praw Kirchhoffa, będąc
modyfikacją opartej na nich metody obliczeniowej. Związek pomiędzy
obiema metodami przedstawiony zostanie w oparciu o następujący układ:

Schemat układu ilustrującego związki pomiędzy metodą praw

Kirchhoffa, a metodą prądów oczkowych

Przedstawiony powyżej układ jest układem rozgałęzionym o czterech

węzłach i sześciu gałęziach. Aby było możliwe rozwiązanie go korzystając
z praw Kirchhoffa konieczne jest ułożenie trzech równań prądowych (I
prawo Kirchhoffa) oraz trzech równań napięciowych (II prawo
Kirchhoffa). Równania prądowe dla węzłów a, b, c:

a:

I

3

– I

4

+ I

1

= 0

b:

I

2

+ I

5

– I

3

= 0

c:

I

6



I

1



I

2

= 0

Równania napięciowe dla poszczególnych oczek:

I:

E

1

– R

1

I

1



R

4

I

4

– R

6

I

6

= 0

II:

E

2

– R

2

I

2

+ R

5

I

5

– R

6

I

6

= 0

III:

E

3

– R

3

I

3

– R

4

I

4

– R

5

I

5

= 0

Po uporządkowaniu równania przyjmują postać:

E

1

= R

1

I

1

+ R

4

I

4

+ R

6

I

6

E

2

= R

2

I

2



R

5

I

5

+ R

6

I

6

E

3

= R

3

I

3

+ R

4

I

4

+ R

5

I

5

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

W dalszej kolejności równania przekształcone zostaną do postaci w

której prądy I

4

, I

5

oraz I

6

wyrażone są za pomocą trzech pozostałych

prądów występujących w obwodzie:

I

4

= I

3

+ I

1

I

5

= I

3

– I

2

I

6

= I

1

+ I

2

Wyznaczone w ten sposób prądy podstawiane są do równań 6.3:

E

1

= R

1

I

1

+ R

4

(I

3

+ I

1

) + R

6

(I

1

+ I

2

)

E

2

= R

2

I

2



R

5

(I

3

– I

2

) + R

6

(I

1

+ I

2

)

E

3

= R

3

I

3

+ R

4

(I

3

+ I

1

) + R

5

(I

3

– I

2

)

Po wykonaniu obliczeń i uporządkowaniu równań względem prądów:

E

1

= (R

1

+ R

4

+ R

6

)I

1

+ R

6

I

2

+ R

4

I

3

E

2

= R

6

I

1

+ (R

2

+ R

5

+ R

6

)I

2

– R

5

I

3

E

3

= R

4

I

1

– R

5

I

2

+ (R

3

+ R

4

+ R

5

)I

3

Równania powyższe można w oparciu o występujące w nich

prawidłowości zapisać w prostszej postaci:

E

11

= R

11

I

I

+ R

12

I

II

+ R

13

I

III

E

22

= R

21

I

I

+ R

22

I

II

+ R

23

I

III

E

33

= R

31

I

I

+ R

32

I

II

+ R

33

I

III

Porównując powyższe zależności można zapisać następujące

równania:

E

11

= E

1

; E

22

= E

2

; E

33

= E

3

W równaniach występują napięcia źródłowe oznaczane symbolami

E

kk

. Są to tzw. napięcia źródłowe oczkowe. Napięcie źródłowe oczkowe

równe jest sumie napięć źródłowych wszystkich gałęzi tworzących
oczko.

R

11

= R

1

+ R

4

+ R

6

R

22

= R

2

+ R

5

+ R

6

R

33

= R

3

+ R

4

+ R

5

Równania zawierają tzw. rezystancje własne oczek oznaczane

symbolami R z dwoma jednakowymi indeksami np. R

11

. Rezystancja

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

własna oczka jest to suma rezystancji wszystkich gałęzi tworzących
oczko.

R

1

= R

21

= R

6

R

13

= R

31

= R

4

R

23

= R

32

=



R

5

W równaniach występują rezystancje wzajemne oczek, oznaczane

jako R z dwoma różnymi indeksami np. R

23

. Rezystancja wzajemna

oczek to rezystancja gałęzi wspólnej dwóch oczek.

I

I

= I

1

I

II

= I

2

I

III

= I

3

Ostatnią z wielkości, których definicję należy przybliżyć są

występujące we wzorach prądy oczkowe np. I

II

. Prąd oczkowy – prąd

umowny płynący w danym oczku, przez jego wszystkie gałęzie.

W gałęziach należących wyłącznie do jednego oczka prąd gałęziowy

równy jest prądowi oczkowemu, natomiast w gałęziach wspólnych
należących do dwóch oczek prąd gałęziowy równy jest sumie lub różnicy
prądów oczkowych zależnie od ich zwrotów.

Podczas rozwiązywania obwodu składającego się z b gałęzi i



węzłów tok postępowania jest następujący:

1. W pierwszej kolejności wybieramy oczka dla których będą układane

równania - zgodnie ze wzorem b





+ 1. Dla wybranych oczek

przyjmujemy zwroty obiegowe.

2. Zgodnie z obranymi zwrotami przyjmujemy prądy oczkowe. Ponadto

znakujemy zwroty prądów gałęziowych.

3. Zgodnie z podanymi powyżej definicjami wyznaczamy rezystancje

własne oraz wzajemne oczek.

4. Analogicznie wyznaczamy oczkowe napięcia źródłowe.

5. Przystępujemy do ułożenia równań z uwzględnieniem wyznaczonych

powyżej: rezystancji własnych i wzajemnych oczek oraz napięć
źródłowych oczkowych.

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

6. Otrzymany

układ równań rozwiązujemy dowolną z metod

rozwiązywania układów równań liniowych (np.: wyznacznikową).

7. Na podstawie wyznaczonych w punkcie 6 wartości prądów oczkowych

obliczamy prądy gałęziowe.

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

OBLICZANIE OBWODÓW METODĄ POTENCJAŁÓW
WĘZŁOWYCH

Metoda ta opiera się na prawach Kirchhoffa oraz prawie Ohma, jest

szczególnie korzystna w przypadku obwodów o małej liczbie węzłów np.:
o równoległym połączeniu elementów. Pozwala ona obliczyć wartości
prądów gałęziowych.
Przykład:

Układ ilustrujący związki pomiędzy prawami Kirchhoffa a metodą

potencjałów węzłowych

W układzie występują trzy węzły, w każdym obwodzie można

uziemić jeden węzeł bez wpływu na rozpływ prądów w obwodzie. W
przypadku obwodu przykładowego uziemiony będzie węzeł 3: potencjał
tego punktu obwodu wyniesie więc zero



3

= 0.

Po oznaczeniu zwrotów prądów gałęziowych w obwodzie, dla

pozostałych węzłów zapisać można równania wynikające z pierwszego
prawa Kirchhoffa:

I

1

= I

3

+ I

4

I

4

= I

2

+ I

5

Uwzględniając prawo Ohma można przedstawić prądy przepływające

w gałęziach obwodu w następujący sposób:

I

1

= G

1

(E

1

+ U

31

) = G

1

(E

1

+



3

–



1

) = G

1

(E

1

–



1

)

I

2

= G

2

(E

2

+ U

23

) = G

2

(E

2

+



2

–



3

) = G

2

(E

2

+



2

)

I

3

= G

3

U

13

= G

3

(



1

–



3

) = G

3



1

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

I

4

= G

4

U

12

= G

4

(



1

–



2

)

I

5

= G

5

U

23

= G

5

(



2

–



3

) = G

5



2

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

Przedstawione w powyższej postaci prądy podstawiane są do dwóch

równań prądowych:

G

1

(E

1

–



1

) = G

3



1

+ G

4

(



1

–



2

)

G

4

(



1

–



2

) = G

1

(E

2

+



2

) + G

5



2

Po wymnożeniu wielkości występujących w obu równaniach i

uporządkowaniu ich względem poszczególnych potencjałów przyjmują
one nieco inną postać:

G

1

E

1

= (G

1

+ G

3

+ G

4

)



1

– G

4



2

–G

1

E

2

= –G

4



1

+ (G

1

+ G

4

+ G

5

)



2

Występujące w równaniach prawidłowości pozwalają przedstawić je

w postaci:



1

GE

= G

11



1

+ G

12



2



2

GE

= G

21



1

+ G

22



2

Porównując równania otrzymujemy następujące wzory:



1

GE

= G

1

E

1



2

GE

=



G

1

E

2

Suma iloczynów napięć źródłowych oraz konduktancji gałęzi

określają wypadkowy prąd źródłowy zasilający dany węzeł. Iloczyny GE
mogą być dodatnie (przy zwrocie napięcia źródłowego do węzła) lub
ujemne (przy zwrocie przeciwnym).

G

11

= G

1

+ G

3

+ G

4

G

22

= G

1

+ G

4

+ G

5

Wielkość oznaczana za pomocą litery G z dwoma jednakowymi

indeksami np. G

11

. Wielkość ta nosi nazwę konduktancji własnej węzła.

Konduktancja własna węzła jest równa sumie konduktancji gałęzi
zbiegających w danym węźle.

G

12

= G

21

=



G

4

Wielkość oznaczaną za pomocą litery G, z tą różnicą, że z dwoma

różnymi indeksami. Wielkość ta to konduktancja wzajemna węzłów.
Konduktancja wzajemna węzłów to wielkość równa sumie
konduktancji wszystkich gałęzi łączących bezpośrednio oba węzły.

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

Bez względu na sposób przyjęcia zwrotów prądów gałęziowych

konduktancje wzajemne mają zawsze znaki ujemne.

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

Tok postępowania przy rozwiązywaniu obwodów metodą

potencjałów węzłowych jest następujący:

1. Oznaczamy rozpływ prądów gałęziowych.

2. Numerujemy węzły obwodu, jeden dowolny z nich uziemiamy nadając

mu umownie w ten sposób potencjał równy zeru

3. Dla pozostałych węzłów obwodu wyznaczamy iloczyny napięć

źródłowych i konduktancji oraz obliczamy ich sumę.

4. Obliczamy konduktancje własne oraz wzajemne węzłów.

5. Układamy równania uwzględniając w nich wyznaczone w punktach 3 i

4 wielkości.

6. Z

utworzonych

równań

obliczamy

wartości

potencjałów

poszczególnych węzłów.

7. Z równań prądowych wyznaczamy wartości prądów gałęziowych.

8. Dokonujemy sprawdzenia poprawności obliczeń poprzez obliczenie

bilansu prądów dla poszczególnych węzłów obwodu.

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

Przykład:
Korzystając z metody potencjałów węzłowych wyznaczyć rozpływ

prądów w przedstawionym poniżej układzie.

Dane: R

1

= 3



; R

2

= 5



; R

3

= 8



; R

4

= R

5

= R

6

= R

8

= 12



;

R

7

= 6



; E

3

= 48 V; E

7

= 60 V.

Układ przykładowy dla metody potencjałów węzłowych

W układzie jako zerowy przyjęto potencjał węzła c (



c

= 0). Dla

dwóch pozostałych węzłów ułożono równania:

7

7

3

3

b

8

7

a

8

7

3

2

1

E

R

1

E

R

1

R

1

R

1

R

1

R

1

R

1

R

R

1













































7

7

b

8

7

6

5

4

a

8

7

E

R

1

R

1

R

1

R

1

R

R

1

R

1

R

1













































Po podstawieniu wartości liczbowych:

60

6

1

48

8

1

12

1

6

1

12

1

6

1

8

1

8

1

b

a





















 























60

6

1

12

1

6

1

12

1

24

1

12

1

6

1

b

a







































 



Po koniecznych uproszczeniach układ przyjmuje następującą postać:

4

4

1

2

1

b

a











METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

10

8

3

4

1

b

a











Jego rozwiązaniem są następujące wartości potencjałów:



a

= 8 V



b

= 32 V

Kolejnym etapem jest obliczenie wartości prądów gałęziowych:

I

1

=















8

8

1

)

(

R

R

1

c

a

2

1

1 A

I

3

=



















8

8

1

48

8

1

)

(

R

1

E

R

1

a

c

3

3

3

5 A

I

5

=

3

4

32

24

1

)

(

R

R

1

c

b

4

5















A

I

6

=

3

8

32

12

1

)

(

R

1

c

b

6













A

I

7

=





















)

32

8

(

6

1

60

6

1

)

(

R

1

E

R

1

b

a

7

7

7

6 A

I

8

=















)

32

8

(

12

1

)

(

R

1

b

a

8



2 A

Sprawdzenie dla poszczególnych węzłów:

Węzeł a:

I

3

– I

1

– I

8

– I

7

= 5 – 1 – (–2) – 6 = 0

Węzeł b:

I

7

+ I

8

– I

5

– I

6

= 6 – 2 –





3

8

3

4

0

Węzeł c:

I

1

– I

3

+ I

6

+ I

5

= 1 –5 +





3

4

3

8

0.

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

OBLICZANIE OBWODÓW METODĄ THEVENINA

Metoda ta nazywana jest także metodą o zastępczym źródle napięcia,

jest stosowana w sytuacji, gdy nie jest konieczne poznanie rozpływu
prądów w całym badanym układzie, lecz w konkretnej jego gałęzi. Oparta
jest ona na twierdzeniu Thevenina (twierdzenie o zastępczym źródle
napięcia), które można sformułować następująco:

Prąd płynący przez odbiornik rezystancyjny R, przyłączony do

zacisków a-b dowolnego liniowego układu zasilającego prądu stałego
jest równy ilorazowi napięcia U

ab

mierzonego na zaciskach a-b w

stanie jałowym przez rezystancję R powiększoną o rezystancję
zastępczą R

w

układu zasilającego mierzoną na tych zaciskach.

Można przedstawić to za pomocą wzoru:

I =

w

ab

R

R

U



Inaczej mówiąc:

Obwód elektryczny liniowy o dowolnym ukształtowaniu, traktowany

jako złożony dwójnik liniowy aktywny o zaciskach a-b, można zastąpić
jednym źródłem o napięciu źródłowym E, równym napięciu stanu
jałowego U

ab

na zaciskach a-b i o rezystancji wewnętrznej R

w

, równej

rezystancji zastępczej widzianej z zacisków a-b obwodu.

Aby było możliwe wyznaczenie prądu przepływającego przez

dowolną gałąź obwodu konieczne jest więc wyznaczenie rezystancji
obwodu widzianej ze strony rozpatrywanych zacisków, oraz
występującego na nich napięcia stanu jałowego. Napięcie wyznaczane jest
dowolną z omawianych wcześniej metod.

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

Przykład:

Wykorzystując metodę Thevenina wyznaczyć wartość prądu

przepływającego przez rezystor R

1

w przedstawionym układzie.

Dane: R

1

= 30



; R

2

= 120



; R

3

= 40



; R

4

= 60



; E

1

= 20 V;

E

2

= 15 V.

Układ przykładowy do metody Thevenina

W pierwszej kolejności obliczamy wartość rezystancji zastępczej

układu widzianej z zacisków rezystancji R

1

(zacisków a-b):

20

1

60

1

40

1

120

1

R

1

R

1

R

1

R

1

4

3

2

Z

















-1

R

z

= 20



Do obliczenia wartości napięcia U

ab

wykorzystamy metodę prądów

oczkowych.

Układ początkowy po odłączeniu rezystancji R

1

(R

2

+ R

3

)I

I

– R

3

I

II

= 0

–R

3

I

I

+ (R

3

+R

4

)I

II

= –E

2

Po podstawieniu wartości liczbowych:

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

160I

I

– 40I

II

= 0

–40I

I

+ 100I

II

= –15

Z równania otrzymujemy dwie wartości prądów oczkowych:

I

1

=

24

1



A

I

II

=

6

1



A

Prąd I

2

przepływający przez rezystor R

2

równy jest prądowi

oczkowemu I

I

z przeciwnym znakiem:

I

2

= –I

II

=

6

1

A

Następnie przyjmujemy zwrot napięcia U

ab

i dla oczka w którym

znajdują się zaciski a-b formułujemy bilans napięć wynikający z drugiego
prawa Kirchhoffa:

U

ab

+ E

1

– R

2

I

2

= 0

skąd:

U

ab

= R

2

I

2

– E

1

= 120





24

1

20 =



15 V

Ze znaku napięcia można wywnioskować, iż zostało ono przyjęte

przeciwnie do zwrotu rzeczywistego. Uwzględniając zwrot poprawny
układ można przedstawić w postaci zastępczej:

Układ równoważny

Dla układu tego równanie wynikające z drugiego prawa Kirchhoffa

posiada następującą postać:

U

ab

– R

Z

I

1

– R

1

I

1

= 0

Poszukiwana wartość prądu przepływającego przez rezystancję R

1

wynosi:

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO

I

1

=









10

3

50

15

R

R

U

1

Z

ab

0,3 A