Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody

elementów skończonych (MES)

Opracowała: dr inż. Jolanta Zimmerman

1. Wprowadzenie do metody elementów skończonych

Działanie

rzeczywistych

obiektów,

przebieg

zjawisk

fizycznych,

procesów

technologicznych sprawdza się często na modelach tych zjawisk lub obiektów. Pozwala to
uniknąć kosztownych, a niekiedy trudnych lub niemożliwych do przeprowadzenia prób
doświadczalnych. Gdy chcemy otrzymać wielkości, tworzymy opis matematyczny dla
przyjętego modelu. Model matematyczny jest układem równań (najczęściej różniczkowych)
opisujących dane zjawisko, obiekt lub proces. Równania te oparte są na podstawowych
prawach – zasadach zachowania (np. energii, pędu, masy). W większości technicznie
ważnych zagadnień brak jest ścisłych, analitycznych rozwiązań tych równań. Powodem jest
potrzeba uwzględnienia dużej liczby czynników takich jak: złożona geometria
rozpatrywanych obiektów, złożoność obciążenia, niesprężystość, zależność właściwości
materiału od temperatury, anizotropia i inne. Trudności tych nie sprawiają rozwiązania
numeryczne. Mają one ogromne znaczenie, gdyż dzięki wykorzystaniu szybo rozwijających
się technik komputerowych, umożliwiają rozwiązywanie z dużą dokładnością bardzo
złożonych problemów. Metoda elementów skończonych jest jedną z metod numerycznych
często wykorzystywanych do rozwiązań różnorodnych problemów inżynierskich. Metoda ta
pozwala na określenie pewnych wielkości fizycznych takich jak: pól naprężeń w elementach
wywołanych przyłożonym obciążeniem, amplitudy drgań, zmian temperatury w czasie
nagrzewania materiału, prędkości przepływu płynu itp.

Metoda elementów skończonych wykorzystuje koncepcję dyskretyzacji ciągłego

ośrodka. Polega ona na podziale rozważanego obszaru o objętości (V) i brzegu (S) na
skończoną liczbę podobszarów o prostym kształcie, zwanych elementami skończonymi. Po
dokonaniu podziału obszaru ciała staje się ono obszarem nieciągłym, złożonym z „kawałków”
połączonych są ze sobą w punktach zwanych węzłami jak przedstawiono na Rys.1. Zaletą
procesu dyskretyzacji jest to, że dalsza analiza zagadnień występujących w danym ciele
dotyczy poszczególnych elementów mających skończoną geometrię. Ponieważ model ma już
skończoną liczbę elementów, to proces dyskretyzacji umożliwił przejście od problemu
zawierającego nieskończoną liczbę stopni swobody do problemu zawierającego skończoną
liczbę stopni swobody, co daje możliwość uzyskania rozwiązania w badanym obszarze.

Rys. 1 Dyskretyzacja ośrodka ciągłego

2

Zgodnie z powyższym rysunkiem ciało o skończonym kształcie i objętości V, podparte

na brzegu S

u

, zostaje poddane obciążeniu np. ciśnieniem na brzegu S

p

. W odpowiedzi na

działanie tych czynników w materiale powstają reakcje: przemieszczenia, odkształcenia,
naprężenia.
Posługując się profesjonalnym programem MES użytkownik musi:

•

ustalić klasę zagadnienia (płaskie, przestrzenne, symetria, liniowe lub nie, z kontaktem

itp.)

•

zdefiniować model geometryczny (przy skomplikowanej geometrii możliwy jest

transport geometrii z programów CAD),

•

wybrać rodzaj elementu skończonego (2D, 3D, powłoka, belka, ptęt …) oraz dokonać

podziału na elementy skończone (ważne jest zagęszczenie siatki w obszarach, gdzie
spodziewana jest koncentracja naprężeń),

•

wprowadzić właściwości mechaniczne i fizyczne materiałów, z których wykonana jest

konstrukcja oraz dokonać podziału na grupy elementowe (do danej objętości
przyporządkowany jest rodzaj materiału),

•

zadać warunki brzegowe (miejsce podparcia i obciążenia),

•

ustalić parametry obliczeń (n.p. ilość kroków obliczeniowych, gdy rozpatrywane

zagadnienie jest nieliniowe),

•

przeprowadzić obliczenia, które wykonywane są automatycznie przez program

komputerowy,

•

przeprowadzić analizę wyników obliczeń.

Wyniki otrzymane z obliczeń MES są dostępne z reguły postaci liczb, którymi są

poszukiwane wielkości w węzłach i elementach. Obliczenia mogą być przedstawiane
w postaci graficznej n.p. w postaci pasm reprezentujących linie stałego naprężenia. Obraz taki
pomaga w analizie obliczeń, pozwala szybko zlokalizować miejsca występowania np.
spiętrzeń naprężeń w konstrukcji.

Przykładowe profesjonalne programy MES: ANSYS, ADINA, CATIA, COSMOS –

używane do obliczeń wytrzymałościowych elementów konstrukcji, zagadnień cieplnych,
przepływów oraz: AUTODYNA, LSDYNA - używane w przypadku dużych odkształceń i
przemieszczeń np. symulacji zderzeń (crash testów), procesów obróbki plastycznej.
Dostępne są przykłady rozwiązań np. na stronie

http://www.adina.com/

2

. Temat ćwiczenia:

Obliczanie pól naprężeń w elementach z karbem geometrycznym

Analizie będzie poddany wałek o zmiennym przekroju o trzech różnych geometriach
(przedstawionych na rys.2 a), b), c), obciążonych siłą rozciągającą, a dla przypadku c) siłą i
momentem skręcającym.
2.1 Klasa zagadnienia
- 2D osiowo-symetryczne (przypadek a), b), c)
- 3D (przypadek c)

3

2.2 Geometria

Rys.2 Trzy przypadki geometrii wałka oraz topologia punktów dla a), b)

2.3. Modele materiału
Obliczenia będą przeprowadzone dla dwóch modeli materiału:
- sprężysty
- plastyczny
Wałek wykonany ze stali 45 ulepszanej cieplnie, dla której wykres ze statycznej próby
rozciągania przedstawiono na rys.3, a właściwości mechaniczne zamieszczono w tabeli1.

0

100

200

300

400

500

600

700

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

podł. [%]

[MPa]

σ

ε

Rys. 3. Krzywa rozciągania dla stali 45 ulepszonej cieplnie

Tabela 1. Właściwości mechaniczne stali 45 otrzymane z próby rozciągania

E = 200000 MPa

A = 25 %

R

005

= 380 MPa

ε

005

= 0,26 %

R

02

= 427 MPa

ε

02

= 0,44 %

R

u

= 553 MPa

ε

u

= 54,36 %

R

m nom

= 607 MPa

ε

m nom

= 38,50 %

4

Opracowana krzywa do obliczeń na podstawie próby jednoosiowego rozciągania pokazana
jest na rys.4, a wartości naprężeń i odpowiadających im odkształceń zamieszczone poniżej.

MATERIAL PLASTIC-MULTILINEAR NAME=1 HARDENIN=ISOTROPIC,
E=200000[MPa] NU=0.32 liczba Poison’a ALPHA=12 e-6(współczynnik rozszerzalności cieplnej stali),
(odkształcenie

naprężenie [MPa])

0.001750000

350.0000000

0.002183325

373.1129470

0.002582455

391.1729098

0.003294385

411.8719932

0.004376962

427.8686723

0.005414064

435.8848448

0.007460010

447.4163357

0.012501838

466.3800753

0.022435354

490.8621792

0.032235871

508.9982350

0.135501130

635.7909206

0.228948540

735.5134274

Rys. 4 Krzywa rozciągania przyjęta do obliczeń (1- odniesiona do przekroju bieżącego,

2-odniesiona do przekroju początkowego) dla stali 45 ulepszonej cieplnie

2.4 Geometria modelu z siatką MES oraz przyjętymi warunkami brzegowymi

a)

b)

c)

Rys.5 Siatka MES dla trzech geometrii oraz przyjęte warunki brzegowe (model 2D)

5

Rys.6 Geometria modelu 3D (kreowana w programie Solid Works) oraz siatka MES modelu z

zaznaczonym sposobem podparcia i obciążenia

3. Obliczenia
Sprawozdanie powinno zawierać:

•

obliczone rozkłady naprężeń składowych i zredukowanych wg hipotezy Hubera w

postaci pasm dla trzech przypadków geometrii 2D (napisać zależność na hipotezę
Hubera),

•

obliczyć współczynnik kształtu α

k

(karb geometryczny) dla trzech geometrii 2D,

•

obliczone rozkłady naprężeń zredukowanych wg hipotezy Hubera w postaci pasm dla

zadania 3D oraz obliczyć wartość naprężenia zredukowanego w punktach P4, P5, P1 i
porównać z obliczeniami numerycznymi,

•

wnioski