Informatyka, Kolokwium II, 9 czerwca 2010 r.

Grupa I

Zadanie 1. Obliczyć granicę

lim

x→1



x

x − 1

−

1

ln x



.

Zadanie 2. Zbadać przebieg zmienności funkcji f danej wzorem

f (x) = xe

1
x

oraz naszkicować jej wykres.

Zadanie 3. Wykorzystując wzór Taylora dla funkcji x 7→ ln (1 + x), obliczyć wartość ln (1.01)
z dokładnością do 0.0001. (Uwaga. Wystarczy podać wyrażenie, które przybliża szukaną wartość.
Nie trzeba wyznaczać dokładnej wartości liczbowej.)

Zadanie 4. W równaniu różniczkowym

yz

0

x

− xz

0

y

= 0

wprowadzić nowe zmienne u(x, y) = x, v(x, y) = x

2

+ y

2

.

Zadanie 5. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f danej wzorem

f (x, y) = x + ln (4 − x − y

2

),

na obszarze ograniczonym prostą x = 0 oraz parabolą x + y

2

= 1.

Informatyka, Kolokwium II, 9 czerwca 2010 r.

Grupa I

Zadanie 1. Obliczyć granicę

lim

x→1



x

x − 1

−

1

ln x



.

Zadanie 2. Zbadać przebieg zmienności funkcji f danej wzorem

f (x) = xe

1
x

oraz naszkicować jej wykres.

Zadanie 3. Wykorzystując wzór Taylora dla funkcji x 7→ ln (1 + x), obliczyć wartość ln (1.01)
z dokładnością do 0.0001. (Uwaga. Wystarczy podać wyrażenie, które przybliża szukaną wartość.
Nie trzeba wyznaczać dokładnej wartości liczbowej.)

Zadanie 4. W równaniu różniczkowym

yz

0

x

− xz

0

y

= 0

wprowadzić nowe zmienne u(x, y) = x, v(x, y) = x

2

+ y

2

.

Zadanie 5. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f danej wzorem

f (x, y) = x + ln (4 − x − y

2

),

na obszarze ograniczonym prostą x = 0 oraz parabolą x + y

2

= 1.