Ryzyko i niepewność

Ryzyko i niepewność

- wprowadzenie

Zdarzenia wzajemnie wykluczające się:

E

1

, E

2

, .... , E

k

Prawdopodobieństwa tych zdarzeń:

p

1

, p

2

, .... , p

k

lub

ππππ

1

, π

πππ

2

, .... , π

πππ

k

i lub

Wartości, jakie zdarzenia niosą ze sobą:

y

1

, y

2

, .... , y

k

lub

c

1

, c

2

, .... , c

k

Wartość oczekiwana:

Ey = p

1

y

1

+ p

2

y

2

+ .... + p

k

y

k

(tu: dochód oczekiwany)

1

1

=

∑

=

k

i

i

p

1

1

=

∑

=

k

i

i

π

Konsument ma preferencje dotyczące konsumpcji w różnych

sytuacjach

→ funkcja użyteczności:

U(y

1

, y

2

, .... , y

k

; p

1

, p

2

, .... , p

k

)

Zajmiemy się grami, w których występują dwie wykluczające się

możliwości jak np. przy rzucie sprawiedliwą monetą:

•

ππππ

: prawdopodobieństwo konsumpcji

c

1

•

1 - π

πππ

: p-stwo konsumpcji

c

2

funkcja użyteczności:

U(c

1

, c

2

; π

πππ, (1 - ππππ))

Przykłady funkcji użyteczności:

•

np. dla doskonałych substytutów:

U(•

•••) = ππππc

1

+ (1 - π

πππ)c

2

W kontekście niepewności takie wyrażenie zwane jest

wartością oczekiwaną

.

Jest to przeciętny poziom konsumpcji

.

•

Funkcja Cobb-Douglas’a:

U(•

•••) = c

1

π

ππ

π

+ c

2

(1 - π

ππ

π)

Po tożsamościowym przekształceniu:

•

lnU(•

•••) = ππππlnc

1

+ (1 - π

πππ)lnc

2

Użyteczną formą funkcji użyteczności jest:

U(c

1

, c

2

; π

πππ, (1 - ππππ)) = ππππv(c

1

) + (1 - π

πππ)v(c

2

),

gdzie

v(c)

jest funkcją konsumpcji w każdym stanie.

Użyteczność jest więc sumą ważoną funkcji konsumpcji w każdym

stanie, a wagami są prawdopodobieństwa zaistnienia tych
stanów

.

Jeżeli jeden ze stanów jest pewien, np.:

ππππ

1

= 1

, to

v(c

1

)

jest

użytecznością pewnej konsumpcji w stanie 1.

Jeżeli

ππππ

2

= 1

, to

v(c

2

)

jest użytecznością pewnej konsumpcji w

stanie 2.

Wyrażenie:

ππππ

1

v(c

1

) + π

πππ

2

v(c

2

)

opisuje użyteczność oczekiwaną lub użyteczność średnią

konsumpcji (c

1

, c

2

).

Możemy wiec odwołać się do szczególnej funkcji użyteczności:

funkcji użyteczności oczekiwanej

(von Neumanna – Morgensterna)

EU = U(c

1

, c

2

) = π

πππ

1

U(c

1

) + π

πππ

2

U(c

2

)

.

Przykład: Jaś Hazardzista ma 10 zł. i chce włączyć się do gry, w

wyniku której z p-stwem ½ może wygrać 5 zł lub z p-stwem ½
może stracić 5 zł.

•

Wartość oczekiwana gry (dochodu):

EY = ½ (10 + 5) + ½ (10 – 5) = 10

•

Użyteczność oczekiwana gry:

EU = ½ U(15) + ½ U(5)

Awersja wobec ryzyka

EY=10

15

5

Y

U

U(15)

U(EY)

U(5)

EU

U(EY) > EU : osoba nie lubi ryzyka

U(Y)

EY=10

15

5

Y

U

U(EY)

EU

U(EY) < EU : osoba lubi ryzyko

U(Y)

EY=10

15

5

Y

U

EU =

U(EY)

U(EY) = EU : osoba neutralna wobec ryzyka

U(Y)

Wyznaczanie punktu równowagi jednostki

Kupujesz samochód za

$35.000

.

W razie wypadku ponosisz stratę:

$10.000

z

p

1

= 1/100

.

Napotykasz więc możliwości:

C

d

[35.000; 99/100]

&

C

z

[25.000; 1/100]

Możesz wykupić

ubezpieczenie

płacąc

$1 za $100

odszkodowania

,

czyli

stawka

γγγγ = 1/100

.

Składka musi być zapłacona niezależnie od tego, co się zdarzy.

Jeśli decydujesz się wykupić ubezpieczenie,
to za odszkodowanie

K = $10.000

zapłacisz

$100

.

Napotykasz teraz następujące możliwości:

C

d

[35.000 – 100 = 34.900; 99/100]

&

C

z

[35.000 – 10.000 + 10.000 – 100 = 34.900; 1/100]

Czyli jest ci obojętne, co się stanie, bo twój stan posiadania nie

zmieni się w razie wypadku.

-

γK

K -

γK

C

d

C

z

35.000

35.000

-

γK

25.000

35.000 -

γK

Punkt wyposażenia
początkowego

Punkt po ubezpieczeniu

Nachylenie =

-

γγγγ/1 - γγγγ

Nachylenie

to

ekstra konsumpcja,

jaką tracisz w dobrym stanie

(

γγγγK

)

do

ekstra konsumpcji,

jaką otrzymujesz w złym stanie

(

K - γ

γγγK

):

.

d

z

z

d

p

p

K

K

K

C

C

=

−

=

−

=

∆

∆

γ

γ

γ

γ

1

.

Dołączamy funkcję użyteczności:

ππππ

z

i

ππππ

d

= (1 - π

πππ

z

) →

→

→

→ ππππ i (1 - ππππ)

U(•

•••) = (1 - ππππ)U(c

d

) + π

πππ U(c

z

)

d

d

z

z

c

c

U

c

c

U

MRS

∆

∆

−

∆

∆

−

=

)

(

)

1

(

)

(

π

π

.

W punkcie równowagi: MRS = stosunek cen:

γ

γ

π

π

−

−

=

∆

∆

−

∆

∆

−

1

)

(

)

1

(

)

(

d

d

z

z

c

c

U

c

c

U

Spójrzmy teraz z punktu widzenia

firmy ubezpieczeniowej:

•

z p-stwem

ππππ

musi zapłacić odszkodowanie

K

•

z p-stwem

(1 - π

πππ)

nie wypłaci

nic

.

Zawsze otrzyma

γγγγK

.

Zysk oczekiwany firmy, P, wynosi:

P = γ

γγγK - ππππK – (1 - ππππ)0 = γγγγK - ππππK

.

Jeśli firma oferuje „sprawiedliwe” ubezpieczenie to znaczy, że

stawka jest sprawiedliwa, czyli nie osiąga zysku:

P = γ

γγγK - ππππK = 0 →

→

→

→ γγγγ = ππππ

.

Modyfikując warunek równowagi:

ππππ

i

(1 - π

πππ)

upraszczają się, co daje postać:

π

π

π

π

−

−

=

∆

∆

−

∆

∆

−

1

)

(

)

1

(

)

(

d

d

z

z

c

c

U

c

c

U

z

z

d

d

c

c

U

c

c

U

∆

∆

=

∆

∆

)

(

)

(

Wynika z niej, że

MU ekstra złotówki dochodu w razie straty równa

się MU ekstra złotówki dochodu bez straty

.

Konsument jest

niechętny ryzyku

, co oznacza, że

MU↓

↓

↓

↓

wraz ze

wzrostem konsumpcji,

C

(dochodu).

Jeżeli

C

d

> C

z

to:

MU

Cd

< MU

Cz

.

Jeżeli

MU

Cd

= MU

Cz

to:

C

d

= C

z

.

Wyprowadziliśmy równość:

35.000 - γ

γγγK = 25.000 + K - γγγγK

,

z czego wynika, że

K = 10.000

,

czyli wielkości straty.

Oznacza to, że osoba

niechętna ryzyku

maksymalizująca

użyteczność mogąc ubezpieczyć się sprawiedliwie, zawsze
wybierze

pełne ubezpieczenie

.

Przykład

Na działce stoi dom o wartości

$40.000

.

W razie pożaru dom ulega całkowitemu zniszczeniu i pozostaje

tylko działka o wartości

$10.000

.

Pożar może nastąpić z p-stwem

ππππ = 0,01

.

Funkcja użyteczności ma postać pierwiastkową:

U(X) = √

√√√X

.

X

nf

= 40.000

i

ππππ

nf

= 0,99

oraz

X

f

= 10.000

i

ππππ

f

= 0,01

U(•

•••) = ππππ

nf

√√√√X

nf

+ π

πππ

f

√√√√X

f

EX = π

πππ

f

X

f

+ π

πππ

nf

X

nf

= 0,01 •

••• 10.000 + 0,99 •••• 40.000 = 39.700

EU = π

πππ

f

U(X

f

) + π

πππ

nf

U(X

nf

) = π

πππ

nf

√√√√X

nf

+ π

πππ

f

√√√√X

f

= 0,99 √

√√√40.000 +0,01 √√√√10.000 = 198 + 1 = 199

EX=39.700

40.000

10.000

X

U

U(EX)

EU = 199

U(X)

C.E.=39.601

C.E.

:

ekwiwalent otrzymywany na pewno

U(C.E.) = 199 →

→

→

→ √√√√C.E. = 199 →

→

→

→ 199

2

= 39.601

Wartość, jaką konsument jest gotów zapłacić za uniknięcie

ryzyka (risk premium) wynosi:

39.700 – C.E.[= 39.601] = 99

Oczekiwana strata

:

EL = π

πππ

f

30.000 + π

πππ

nf

0 = 0,01 •

••• 30.000 = 300

(Insurance premium = EL)