Weryfikacja modelu

dr inż. Iwona Staniec

Zakład Metod Ilościowych w Zarządzaniu

Politechniki Łódzkiej

Założenia Gaussa-

Markowa



Zmienne niezależnesą nielosowe.



Składniki losowe dla i = 1, 2,..., n są

niezależnymi zmiennymi losowymi o

rozkładzie normalnym o:

–

a) wartości oczekiwanej równej zero, czyli

–

b) stałej wariancji

–

c) zerowej kowariancji

0

)

(



t

E



j

i

dla

E

j

i





2

)

,

(







j

i

dla

E

j

i



0

)

,

(







Informacje zawarte w wektorze i macierzy
są jedynymi informacjami, na podstawie
których oszacowane zostaną parametry
równań modelu.



Macierz obserwacji o wymiarach [n(k+1)]

jest macierzą pełnego rzędu, tzn. nie
występuje współliniowość między zmiennymi
egzogenicznymi. Rząd tej macierzy wynosi
(k+1)<n, gdzie n jest liczbą obserwacji, czyli

y

X

X

n

k

rz







1

)

(X



Modele, dla których nie zostało spełnione założenie
o jednorodności wariancji składnika losowego
nazywamy modelami heteroskedastycznymi,



Modele bez spełnionego założenia o autokorelacji
składnika losowego nazywamy modelami
z autokorelacją.



Założenie ostatnie ma zapewnić podstawowy
warunek istnienia macierzy odwrotnej , a
więc .



W przypadku, kiedy założenie to nie jest spełnione,
model jest nieidentyfikowalny, a więc nie można
oszacować jego parametrów.

1

)

(



X

X

T

0

)

det(



X

X

T

Weryfikacja statystyczna

modelu



dotyczy przede wszystkim
weryfikacji przyjętych założeń
o stochastycznej strukturze
modelu oraz założeń o
istotnym wpływie zmiennych
objaśniających na zmienną
objaśnianą za pomocą znanych
testów statystycznych.

Podstawowe elementy weryfikacji

modelu dotyczą:



istotności parametrów modelu, co
polega na sprawdzeniu hipotezy, że
poszczególne parametry strukturalne
istotnie różnią się od zera, która to
hipoteza weryfikowana jest za pomocą
testu t-Studenta,



istnienia autokorelacji, wykorzystując
test Durbina-Watsona. Autokorelacja
oznacza, że składnik losowy jest z sobą
skorelowany np. w czasie,



heteroskedastyczności, tj.
niejednorodności wariancji składnika
losowego, weryfikowanego za pomocą
statystyki Fishera-Snedecora.



Weryfikacja merytoryczna wiąże się z
odpowiedzią na pytanie, czy oszacowane
oceny parametrów równania zgodne są z
przyjętymi założeniami, a także czy istnieje
możliwość "sensownej" interpretacji
otrzymanych wartości ocen parametrów.



Autokorelacja składnika losowego
oraz niejednorodność jego wariancji
jest przyczyną niedoszacowania
standardowych błędów szacunku ,
co może w konsekwencji doprowadzić
do błędnych wniosków przy
weryfikacji hipotez o istotności
wprowadzonych do modelu zmiennych

)

(

j

a

S

1.

Sprawdzenie czy zachodzi związek

regresyjny między zmienna zależną a

którąkolwiek zmienną niezależną

Sprawdzianem tego testu jest

statystyka F postaci:

0

...

:

2

1

0









k

H







,...,k

j

wszystkie

nie

H

j

1

dla

0

:

1







k

k

n

R

R

F

)

1

(

1

2

2

















;



F

W

o k oraz n-(k+1) stopniach
swobody.



= 0,05

p

p<



Przykład z poprzedniego

wykładu

Stawiamy hipotezy:

x

65

5







y

o 1 i 3 stopniach swobody



= 0,05

%

94

94

,

0

16

,

0

1

9000

*

5

900

1

2













R

0

:

1

0





H

,...,k

j

wszystkie

nie

H

j

1

dla

0

:

1







47

1

3

06

,

0

94

,

0

)

1

(

1

2

2













k

k

n

R

R

F

















;

13

,

10

;



F

W

Odrzucamy zatem hipotezę zerową o braku zależności
regresyjnej między zmienną zależną a zmiennymi
niezależnymi

2.

Istotność wpływu zmiennych

objaśniających na zmienną

objaśnianą

Sprawdzianem tego testu jest

statystyka t-Studenta postaci:

o n-(k+1) stopniach swobody.

0

:

0



j

H



0

:

1



j

H



)

(

j

j

a

S

a

t 

0

:

1



j

H



















;

;





t

t

W

0

:

lub

0

:

1

1





j

j

H

H











;

2



t

W





2

; t

W









0

:

lub

0

:

1

1





j

j

H

H







W sytuacji, kiedy dla zadanego poziomu
istotności nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy zerowej należy zmienną x

j

(j = 1,

2,..., k) usunąć z równania i ponownie je
oszacować, być może wprowadzając na jej
miejsce inne zmienne.



Wyraz wolny zazwyczaj pozostawia się w
modelu nawet jeśli jego wpływ nie jest
istotny, bowiem często jego usunięcie
znacznie obniża poziom współczynnika
determinacji.



W praktyce często pozostawia się nawet
statystycznie nieistotne zmienne, jeśli
ich usunięcie powoduje znaczne
pogorszenie stopnia dopasowania
wartości teoretycznych do danych
empirycznych i nie można znaleźć
innych zmiennych niezależnych, które
mogłyby przyczynić się do wyjaśnienia
kształtowania się zmiennej zależnej.

Przykład z poprzedniego

wykładu

Stawiamy hipotezy:

x

65

5







y



)

(

0

a

S

31,75



)

(

1

a

S

9,58

0

:

0

0





H

0

:

0

1





H

16

,

0

75

,

31

5

)

(

0

0







a

S

a

t

o n-(k+1)=5-2=3
stopniach swobody













;

35

,

2

;

2



t

W



= 0,05

W

t



,

t

o

n

i

e

m

a

p

o

d

s

t

a

w

d

o

o

d

r

z

u

c

e

n

i

a

H

0

Przykład z poprzedniego

wykładu

Stawiamy hipotezy:

x

65

5







y



)

(

0

a

S

31,75



)

(

1

a

S

9,58

0

:

1

0





H

0

:

1

1





H

78

,

6

58

,

9

65

)

(

1

1







a

S

a

t

o n-(k+1)=5-2=3
stopniach swobody













;

35

,

2

;

2



t

W



= 0,05

W

t



,

t

o

o

d

r

z

u

c

a

m

y

h

i

p

o

t

e

zę

H

0

n

a

r

z

e

c

z

h

i

p

o

t

e

z

y

a

l

t

e

r

n

a

t

y

w

n

e

j

3.

weryfikacja hipotezy o

autokorelacji

Do

weryfikacji

hipotezy

o

autokorelacji wykorzystywany jest
test Durbina-Watsona.

W teście tym hipoteza zerowa

formułowana jest jako:

gdzie

oznacza

nieznany

współczynnik

autokorelacji, którego estymatorem jest
współczynnik autokorelacji w próbie
wyznaczany jako

:

0

:

0





H







 























T

t

t

T

t

t

t

T

t

T

t

t

t

T

t

t

t

e

e

e

e

e

e

e

1

2

2

1

1

2

2

1

2

2

1





Dla hipoteza alternatywna

formułowana jest w postaci:

Sprawdzianem w tym teście dla

modeli, w których nie występują
zmienne endogeniczne opóźnione,
jest statystyka Durbina-Watsona
postaci:

0





0

:

1





H















T

t

t

T

t

t

t

e

e

e

DW

1

2

2

2

1

)

(



Dla zadanego poziomu istotności w tablicach
statystycznych odczytuje się wartości krytyczne: dolną i
górną rozkładu Durbina-Watsona w zależności od liczby
szacowanych parametrów (k+1) oraz liczebności próby
statystycznej T. Jeżeli DW < , wówczas odrzucamy
hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej, co
oznacza

istnienie

dodatniej

autokorelacji.

Jeżeli

natomiast DW > , to nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy zerowej, czyli ją przyjmujemy i stwierdzamy
brak istotnej korelacji dodatniej. W sytuacji gdy test nie
daje odpowiedzi na temat występowania autokorelacji,
jest to tak zwany obszar niekonkluzywności. W tym
przypadku najczęściej zaleca się zwiększenie liczebności
próby statystycznej, o ile oczywiście jest to możliwe.

l

d

u

d

l

d

u

d

W

celu

zweryfikowania

hipotezy

o

występowaniu

ujemnej

autokorelacji,

hipotezę alternatywną formułuje się jako:

a

sprawdzianem

tej

hipotezy

jest

statystyka:

którą porównuje się z wartościami krytycznymi i

w taki sam sposób, jak w przypadku opisanej
wcześniej autokorelacji dodatniej.

0

:

1





H

DW



4

DW'

Przykład z poprzedniego

wykładu

y

t

t

y

ˆ

e

t

e

t

2

e

t

-

1

e

t

-

1

2

e

t



e

t

-

1

e

t

-

e

t

-

1

(

e

t

-

e

t

-

1

)

2

1

0

0

7

0

3

0

9

0

0

1

0

0

1

3

5

-

3

5

1

2

2

5

3

0

9

0

0

-

1

0

5

0

-

6

5

4

2

2

5

2

0

0

2

0

0

00-

3

5

1

2

2

5

03

51

2

2

5

2

5

0

2

6

5

-

1

5

2

2

5

000-

1

52

2

5

3

5

0

3

3

0

2

0

4

0

0

-

1

5

2

2

5

-

3

0

0

3

51

2

2

5

2

7

5

0 2

3

5

0

-

1

3

5

0

-

1

0

6

9

0

0

Przykład z poprzedniego

wykładu

0

:

0





H

53

,

0

2350

2750

1350



1

2

2

1

2

2

1











 













T

t

T

t

t

t

T

t

t

t

e

e

e

e



0

:

1





H

5

,

1

5

,

2

4







DW'

5

,

2

2750

6900

)

(

1

2

2

2

1



















T

t

t

T

t

t

t

e

e

e

DW

DW



4

DW'

08

,

1



l

d

36

,

1



u

d

g

d



 5

,

1

DW'

nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy zerowej, czyli ją
przyjmujemy i stwierdzamy brak
istotnej korelacji ujemnej

4.

Niejednorodność

wariancji składnika

losowego

Do weryfikacji stosuje się test Fishera-

Snedecora o jednorodności wariancji

2

2

2

1

e

e

S

S

F 

o (n

1

-(k+1)) i (n

2

-(k+1)) stopniach

swobody









;



F

W





























n

i

T

i

n

i

i

i

e

k

n

e

k

n

y

y

k

n

S

1

2

1

2

2

)

1

(

1

)

1

(

1

)



(

)

1

(

1

e

e

2

2

2

1

0

:







H

2

2

2

1

1

:







H

Przykład z poprzedniego

wykładu

3

,

2

925

2125

2

2

2

1







e

e

S

S

F

o 1 i 2 stopniach swobody









;

51

,

18

W

2125

2125

)

1

1

(

3

1

)

1

(

1

1

2

2

3



















n

i

i

pe

e

k

n

S

2

2

2

1

0

:







H

2

2

2

1

1

:







H

925

1850

)

1

1

(

4

1

)

1

(

1

1

2

2

4



















n

i

i

ke

e

k

n

S

Nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy o
jednorodności wariancji
składnika losowego.

5.

Skorygowany

współczynnik determinacji

Decydujemy się na włączenie

dodatkowej zmiennej do modelu
jeżeli powoduje to wzrost
skorygowanego współczynnika
determinacji

































1

1

1

1

2

2

k

n

n

R

R