POLITECHNIKA ŚLĄSKA

XX. REFRAKCJA FAL

AKUSTYCZNYCH

XX. REFRAKCJA FAL AKUSTYCZNYCH

 
 

Atmosfera ziemska jest ośrodkiem niejednorodnym. Prędkość dźwięku zmienia się w

sposób ciągły wraz z wysokością mierzoną od powierzchni gruntu. Powoduje to, że fala akustyczna
nie rozchodzi się po liniach prostych, lecz ulega ciągłemu załamaniu rozchodząc się po torach
krzywoliniowych. Zjawisko takie nazywamy refrakcją akustyczną.
Przyczyną niejednorodności ośrodka jest temperatura, wilgotność i wiatr.
Na płaskiej, otwartej przestrzeni w ciągu dnia temperatura jest najwyższa przy gruncie i maleje
wraz z wysokością. Dzieje się tak dlatego, że powierzchnia ziemi promieniuje oddając ciepło
warstwom powietrza znajdującym się w pobliżu. Wieczorem, nocą i rankiem temperatura przy
gruncie jest niska i wzrasta wraz z wysokością. Zjawisko zmiany zależności rozkładu temperatury
atmosfery wraz z wysokością od pory dnia nosi nazwę inwersji temperaturowej. Najbardziej
interesująca w praktyce jest warstwa atmosfery o grubości kilkuset metrów nad powierzchnią ziemi,
ponieważ w obszarze tym rozprzestrzenia się hałas komunikacyjny, hałas zakładów przemysłowych
i głównie tam oddziaływuje na ludzi. W niej temperatura zależy liniowo od wysokości. Można
założyć, że warstwa ta składa się z cienkich powłok, (z których każda ma inną temperaturę)
ułożonych jedna nad drugą i równoległych do powierzchni gruntu. Podobnie w pomieszczeniach
zamkniętych (mieszkaniach, halach fabrycznych) ciepłe powietrze, którego źródła są w pobliżu
podłogi (np.kaloryfery) unosi się na podstawie prawa Archimedesa w górę, stąd prędkość dźwięku w
pomieszczeniach zamkniętych wzrasta wraz z wysokością.
Zależność temperatury T w stopniach Kelvina od wysokości y przedstawia wzór:

XX.1

 

 

T y

T

a y



 

0





a

K m









10

2

1

gdzie:

a - gradient temperatury

Wartość ta oznacza, że temperatura zmienia się (wzrasta lub maleje) o jeden stopień Kelvina przy
zmianie wysokości równej 100 m.
T(0) - temperatura przy powierzchni gruntu. Jest ona różna od temperatury 0C, czyli T0.

Zależność XX.1 przedstawiają (Rys.1) i (Rys.2)
 

 

Rys.1

Rys.2

 

Ścisłą relację między temperaturą a prędkością rozchodzenia się fali akustycznej wyraża wzór:

XX.2

v

0

- prędkość dźwięku w temperaturze 0C równa 330 ms

-1

T

0

- 273 K (0C)

Temperatura w atmosferze zmienia się w stosunkowo małym przedziale (-40C+40C).

Pozwala to zależność v(T) daną wzorem XX.2 zlinearyzować, czyli funkcję pierwiastkową zastąpić w
małym przedziale zmiennej niezależnej (T) funkcją liniową.

 

 

v T

v

T

T



0

0

Rys.3

Z  ABC:

wprowadzając oznaczenie:

otrzymujemy:

XX.3

gdzie:

 

Taka wartość B oznacza, że przy wzroście temperatury o 1C, prędkość dźwięku wzrasta o 0,6

m/s.

Wstawiając XX.1 do XX.3 otrzymujemy:

 

Po uproszczeniu:

XX.4

 

Powoduje to, że rozchodzenie się dźwięku w przyziemnej warstwie atmosfery będzie spełniało

następujące modele (Rys.4) (Rys.5):

 

   

 

tg

v T

v

T T

 





0

0

tg

B

 

 

 

 





v T

v

B T T







0

0

B

m s K



 





06

1

1

,

 

 

 

 





v y

v

B ay T

T









0

0

0

 

   

v y

v

Ba y







0

 

Rys.4

Rys.5

 
Przyjmując, że:

co oznacza, że przy wzroście wysokości o jeden kilometr prędkość dźwięku wzrasta o 6 m/s.
Otrzymujemy ze wzoru XX.4:
 

noc

dzień

XX.5

 

Zależność prędkości dźwięku w warstwie atmosfery o grubości kilkuset metrów nad powierzchnią
ziemi od wysokości jest liniowa.
Do dalszych rozważań bierzemy przypadek, gdy silnie kierunkowe źródło dźwięku znajduje się na
wysokości h nad powierzchnią gruntu i emituje falę dżwiękową pod tzw. kątem emisji 

0

mierzonym względem poziomu, a prędkość dźwięku na wysokości h jest równa v(h).
Rozpatrzmy kilka warstw nad warstwą, w której znajduje się nadajnik Z (Rys.6).
 

 

Ba

s

  







 6 10

3

1

 

 

v y

v

y



 

0



 

 

v y

v

y



 

0



 

Rys.6
 
Z prawa załamania:

 

czyli:

XX.6

 

Gdy grubość warstw dąży do zera, to linia łamana przechodzi w krzywą ciągłą.
 





 













sin

sin

sin

sin

90

90

90

90

0

1

1

2

2

























v h

v

v

v

const

 

 

cos

cos





0

v h

v y



Rys.7

 

Styczna do krzywej w dowolnym punkcie A (Rys.7) ma nachylenie , gdzie:

 

XX.7

ale:

XX.8

gdzie:

XX.9

 

Z równań XX.6, XX.7, XX.8, XX.9 otrzymujemy:

 

XX.10

Podstawiając:

 
 otrzymujemy:

XX.11

 

Poprzez scałkowanie obustronne wzoru XX.11 przy założeniu, że funkcja v(y) jest dana znanym
wzorem analitycznym

 

np.

 

otrzymujemy zależność y=f(x) zwaną równaniem toru promienia dźwiękowego w ośrodku
niejednorodnym.

tg

dy

dx

 

tg







sin

cos

sin

cos

2

2

1









 

 

 

 

dx

v h

v y

v h

v y

dy





















cos

cos

/





0

0

2

1 2

1

 

A

v h



cos

0

 

 





dx

A v y

A v y

dy











1

2 1 2

/

 

 

v y

v

y



 

0

2



 

 

v y

v

y



 

0

1 2



/

Przyjeliśmy, że prędkość dźwięku v(y) wzrasta liniowo wraz z wysokością y (XX.4). Wstawiając XX.4
do XX.5 otrzymujemy:

 

Dokonujemy podstawienia:

XX.12

 

Po zróżniczkowaniu obustronnym:

 

Na tej podstawie:

 

Równość tę obustronnie całkujemy otrzymując:

 

 

Powracając do podstawienia XX.12 i wprowadzając granice całkowania od zera do x oraz od h do y:

otrzymujemy:

Wielkość:

jest stałą i oznaczamy ją przez B

1

Stąd:

 





 









dx

A v

y

A v

y

dy





 









0

1

0

2

1 2





/

 





1

0

2



 



A v

y

z



 













2

0

A v

y dy dz

 

 

dx

z

dz









1

2

1 2



/

x

z





1

2

 









x

A v

y

x

h

y

0

2 1 2

1

1

0

  







/

 









 









x

A v

y

A v

h

  



  



1

1

0

1

1

0

2 1 2

2 1 2









/

/

 









1

1

0

2 1 2





 



A v

h

/

 









x B

A v

y



 





1

2 1 2

1

0

1





/

Podnosząc obie strony równania do kwadratu otrzymujemy:

Otrzymane równanie jest równaniem okręgu.
Wstawiając A i B

1

po algebraicznych przekształceniach otrzymujemy:

 

 

Jeżeli prędkość dźwięku zmienia się liniowo wraz z wysokością, to torem promienia fali
dźwiękowej jest okrąg.Przedstawia to (Rys.8).
Przypadek ten występuje, gdy źródło znajduje się w pobliżu gruntu.
 





 









x B

A

v

y









1

2

2

2

2

1

0











x B

A y

A





 





















 











1

2

2

2

1





 

x

v h tg

0

0



 



 

y

v h

0





 

R

v h









cos

0

Rys.9

 

Z Rys.9 wynika, że mimo iż ośrodek jest nieograniczony w pionie, fala akustyczna propaguje się w

ograniczonym kanale o średnicy D. Obszar ten nosi nazwę kanału (falowodu) akustycznego.
W przypadku rozchodzenia się fali wzdłuż półokręgów średnica kanału wynosi:

XX.13

Można też obliczyć v

max

- prędkość maksymalną rozchodzenia się dźwięku w najwyższej warstwie,

do której jeszcze fala dociera ze wzoru:

 

XX.14

Sytuację tę przedstawia Rys.10.

 

D

R

v h







2

2

0





cos

 

cos

cos

max



0

0

v h

v



 

Rys.10

 

Jeżeli fala zostanie wyemitowana pod dużym kątem ze źródła i dotrze do punktu leżącego na

tym samym poziomie (Rys.11), to ten rodzaj emisji nazywamy modem podstawowym. Do tego
samego punktu dotrą fale, których kąty emisji są mniejsze. Nazywamy je modami
harmonicznymi.

 

Rys.11
Droga każdego modu jest inna, inny też jest jej czas przebywania, stąd mody są rozłożone w

czasie. Zjawisko to nosi nazwę dyspersji modalnej.

W przypadku kiedy temperatura maleje wraz z wysokością (w dzień), przez co prędkość

dźwięku też maleje wraz z wysokością, promienie załamane przybliżają się ku normalnej. Powoduje
to powstanie tzw.strefy cienia akustycznego.

 

Rys.12

Następnym zjawiskiem związanym z niejednorodnością atmosfery są miraże akustyczne

spowodowane tym, że nasze zmysły są zakodowane do prostoliniowego rozchodzenia się dźwięku.

 

Rys.13

 

Podobne zjawiska występują w morzach i oceanach z falami ultradźwiękowymi oraz w

światłowodach z falą elektromagnetyczną.