Teoria
sprężystości

Wykład 2
Materialny ośrodek ciągły

2

Podstawowe idee

W mechanice płynów, teorii sprężystości, teorii plastyczności i innych
dyscyplinach pokrewnych, często zbiorczo nazywanych mechaniką
ośrodka ciągłego, posługujemy się teoretycznym i wyidealizowanym
modelem ciała stałego; modelem materialnego ośrodka ciągłego.
Zaniedbując strukturę cząsteczkową ciała, przyjmujemy, że materia
jest w sposób ciągły rozmieszczona w przestrzeni. Sprowadza się to
do „rozmazania” struktury atomowej i cząsteczkowej ciała i
traktowania go jako obszaru w trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa,
którego punkty pokrywają się z cząsteczkami ciała.
Continuum materialne traktujemy przy tym jako ośrodek ciągły w
sensie matematycznym. Zakładamy, że pobliskie punkty ośrodka
przed odkształceniem przechodzą w pobliskie punkty po
odkształceniu. Wykluczamy możliwość powstawania w czasie
deformacji szczelin i otworów w ciele.
Ciągły rozkład materii w określonym obszarze ciała można
scharakteryzować za pomocą wielkości skalarnej: gęstości masy.

3

Podstawowe idee

Gęstość masy

W dowolnym punkcie P ciała, gęstość masy można (alternatywnie)
określić następująco

V

d

M

d

V

P

M

P

V













)

(

lim

)

(

0



V

P

M

P







)

(

limf

)

(







V

dV

P

M

)

(



4

W chwili ciało znajduje się w stanie naturalnym i zajmuje
obszar B (konfiguracja odniesienia). Położenie punktów ciała
określa wektor

Wektor przemieszczenia

Zakładamy, że istnieje tylko jeden stan cechujący się
brakiem sił wewnętrznych i odkształceń, do którego
powraca ciało po usunięciu oddziaływań zewnętrznych.
Stan ten nazywamy stanem naturalnym ciała.

0

t

t 









3

2

1

3

2

1

,

,

,

,

x

x

x

x

x

x



r

r

pojęcie stanu naturalnego ma sens tylko dla ośrodka
sprężystego (niekoniecznie liniowo sprężystego).

5

Wektor przemieszczenia

x

1

x

2

x

3

O

B

B’

r

r’

P(x

i

)

P(



i

)

u

6

Wektor przemieszczenia





3

,

2

,

1

,

,

,

,

3

2

1





i

t

x

x

x

i

i





j

i

x

D









det

0



D





3

,

2

,

1

,

,

,

,

3

2

1





i

t

x

x

i

i









Punkty leżące przed odkształceniem na pewnej linii lub
powierzchni przechodzą po odkształceniu na punkty leżące na
pewnej linii lub powierzchni



Punkty materialne, które przed odkształceniem leżały wewnątrz
pewnej powierzchni zamkniętej, leżą po odkształceniu wewnątrz
powierzchni zamkniętej



Punkty materialne tworzące przed odkształceniem brzeg ciała,
tworzą go również po odkształceniu

7

Wektor przemieszczenia





t

x

x

x

f

,

,

,

3

2

1

Wektor

r

r

u



 '

i

i

i

x

u







nazywamy przemieszczeniem punktu

P

których współrzędnych wygodniej użyć?

Opis

Lagrange

’a

Opis

Lagrange

’a

Opis

Eulera

Opis

Eulera









i

i

i

x

t

x

x

x

t

x

x

x

u





,

,

,

,

,

,

3

2

1

3

2

1











t

x

t

u

i

i

i

,

,

,

,

,

,

3

2

1

3

2

1























t

f

,

,

,

3

2

1







8

Odkształcenie ciała

 

i

x

P





i

i

dx

x

Q 

 

i

P



'

Tensor odkształcenia

Przed

odkształcenie

m

Przed

odkształcenie

m





i

i

d

Q







'

Po

odkształceniu

Po

odkształceniu

i

i

i

u

x 





i

i

i

i

i

i

du

dx

u

x

d















2

2

0

PQ

dS 

2

2

'

'Q

P

dS 

i

i

i

i

d

d

dS

dx

dx

dS









2

2

0

,

2

0

2

dS

dS 

?

?

9

Odkształcenie ciała

Opis
Lagrange’a

k

j

k

i

j

i

i

i

dx

dx

x

x

d

d

dS





















2

k

j

jk

k

j

jk

k

i

j

i

jk

k

j

k

j

k

i

j

i

dx

dx

e

dx

dx

x

x

dx

dx

dx

dx

x

x

dS

dS

2

2

0

2



















































































jk

k

i

j

i

jk

x

x

e







2

1

10

Odkształcenie ciała

ij

j

i

j

i

x

u

x





















































































































jk

jk

j

k

k

j

k

i

j

i

jk

ik

k

i

ij

j

i

jk

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

e











2

1

2

1





































k

i

j

i

j

k

k

j

x

u

x

u

x

u

x

u

2

1

Opis
Lagrange’a

18

18

11

Odkształcenie ciała





































k

i

j

i

j

k

k

j

jk

x

u

x

u

x

u

x

u

e

2

1

Tensor odkształcenia

Lagrange’a (Greene’a).

Wprowadzony przez

Greene’a i Saint-

Venanta

Tensor odkształcenia

Lagrange’a (Greene’a).

Wprowadzony przez

Greene’a i Saint-

Venanta

k

i

j

i

j

i

j

i

x

x

x

u

x























,

,

Gradient deformacji,

gradient

przemieszczenia, tensor

deformacji Greene’a

Gradient deformacji,

gradient

przemieszczenia, tensor

deformacji Greene’a

Charakter tensorowy tensora odkształcenia wynika z postaci
równania, w którym go wprowadziliśmy (reguła iloczynu).

12

Odkształcenie ciała

j

i

ij

j

i

j

k

i

k

ij

d

d

d

d

x

x

dS

dS

















2

2

0

2





























































































j

k

i

k

i

j

j

i

j

k

i

k

ij

ij

u

u

u

u

x

x

















2

1

2

1

Opis
Eulera

Tensor odkształceń

skończonych Almanasiego

(Hamela)

Tensor odkształceń

skończonych Almanasiego

(Hamela)

13

Odkształcenie ciała

Interpretacja geometryczna składowych tensora odkształcenia Lagrange’a



















,

1

,

'

'

0

0

PQ

PQ

dS

dS

dS

PQ

PQ

Q

P









3

2

1

,

,

dx

dx

dx

PQ 

0

dS

dx

n

i

i









k

j

jk

dx

dx

e

dS

dS

dS

dS

dS

dS

2

0

0

2

0

2











?

?

?

?

20

20

14

Odkształcenie ciała

0

0

dS

dS

dS

PQ







0

0

0

0

0

0

2

2

dS

dS

dS

dS

dS

dS

dS

dS

PQ



















0

0

2 dS

dS

dS

PQ













k

j

jk

PQ

PQ

n

n

e

2

2 







k

j

jk

PQ

PQ

n

n

e













 





2

1

1

11

11

11

2

1

1

e













 





Dla włókna o kierunku osi x

Dla włókna o kierunku osi x

1

15

Odkształcenie ciała

1

2

1

11

11







e



1

2

1

11

11











e



1

2

1

,

1

2

1

33

33

22

22













e

e





Znajomość tensora odkształcenia, pozwala określić względne
wydłużenie dowolnie zorientowanego włókna ciała
odkształcalnego.

Określimy teraz, jaką orientację będzie miał po odkształceniu
ciała element liniowy, którego kierunek przed odkształceniem
określają kosinusy kierunkowe

0

dS

dx

n

i

i



27

27

16

Odkształcenie ciała

Szukamy

dS

d

n

i

i





*

j

ij

j

i

i

dx

x

u

d



























Biorąc pod uwagę, że

j

ij

j

i

j

ij

j

i

i

i

n

x

u

dS

dS

dS

dS

dS

x

d

x

u

dS

d

n





















































0

0

0

*

PQ

dS

dS







1

1

0

























ij

j

i

PQ

j

i

x

u

n

n





1

*

24

24

17

Odkształcenie ciała

Związek między kątami utworzonymi przez elementy liniowe
(włókna) przed i po odkształceniu ciała

x

1

x

2

x

3

P

Q

R

P’

Q’

R’

I

II

I

II

B

B’

18

Odkształcenie ciała

II

i

I

i

II

I

II

I

n

n

dS

PR

dS

PQ







)

,

(

0

0

cos

,

,



II

i

I

i

II

I

II

I

n

n

dS

R

P

dS

Q

P

*

*

*

)

,

(

cos

,

'

'

,

'

'





















































k

i

ik

j

i

ij

PR

PQ

II

k

I

j

II

i

I

i

x

u

x

u

n

n

n

n









)

1

(

)

1

(

*

*

jk

jk

k

i

ik

j

i

ij

e

x

u

x

u

















































2

10

10

19

Odkształcenie ciała

II

k

I

j

jk

II

I

II

I

PR

PQ

n

n

e

2

cos

cos

)

1

(

)

1

(

)

,

(

*

)

,

(

















22

11

)

,

(

2

1

,

,

0

2

cos

cos

,

,





























PR

PQ

II

I

i

II

i

i

I

i

n

n

22

11

12

22

11

12

*

)

,

(

2

1

2

1

2

)

1

(

)

1

(

2

cos

e

e

e

e

II

I



















ij

ij

j

k

i

k

i

j

j

i

j

k

i

k

i

j

j

i

j

i

e

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u





















































































2

1

2

1

20

Odkształcenie ciała

Osie główne i kierunki główne tensora odkształcenia – zagadnienie własne

j

i

ij

PQ

PQ

n

n

e

dS

dS

dS













 









2

1

1

2

2

0

2

0

2

13

13

Szukamy ekstremum tego wyrażenia na kuli jednostkowej (ekstremum warunkowe)

0

1



i

i

n

n





1

)

;

(







i

i

k

j

jk

i

n

n

e

n

n

e

e

n

f

Mamy zatem (

e

mnożnik Lagrange’a)

0

)

;

(







i

j

n

e

n

f

21

Odkształcenie ciała





0





j

ij

ij

n

e

e







0

det





e

e

ij

ij



Rozwiązania układu równań

(



)

(



)

(



)

stanowią kierunek główny.

Mnożnik Lagrange’a

e

– wartość główna tensora odkształcenia.

Algebra liniowa: zagadnienie własne, kierunki własne, wartości własne

0

3

2

2

1

3









I

e

I

e

I

e

33

22

11

1

e

e

e

I







33

31

13

11

33

32

23

22

22

21

12

11

2

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

I







33

32

31

23

22

21

13

12

11

3

e

e

e

e

e

e

e

e

e

I 

Niezmienniki tensora odkształcenia

Niezmienniki tensora odkształcenia

26

26

22

Odkształcenie ciała

Udowodnimy teraz, że pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste

3

2

e

e 

1

e

- rzeczywisty

(dowód nie wprost)





0

2

2





j

ij

ij

n

e

e







0

3

3





j

ij

ij

n

e

e




































2

3

3

3

2

2

0

0

i

j

ij

ij

i

j

ij

ij

n

n

e

e

n

n

e

e









0

3

2

2

3

2

3

3

2

3

3

2

2

3

2













i

i

i

j

ij

i

j

ij

i

j

ij

i

j

ij

n

n

e

e

n

n

e

n

n

e

n

n

e

n

n

e





23

Odkształcenie ciała













0

2

3

2

2

2

2













j

ij

ij

j

ij

ij

j

ij

ij

n

e

e

n

e

e

n

e

e







b

a

b

a







3

2

e

e 

3

2

j

j

n

n 

2

3

j

j

n

n 





0

Im

2

2

2

2

2

2

2

2









i

i

i

i

n

n

e

i

n

n

e

e

Sprzeczność!

24

Odkształcenie ciała





3

2

1

0

,

,

dx

dx

dx

d



S





3

2

1

,

,







d

d

d

d 

S

Jeszcze o interpretacji geometrycznej składowych tensora odkształcenia

Zmiana objętości ciała

3

3

3

2

2

3

1

1

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

2

2

3

3

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

dx

x

u

dx

x

u

dx

x

u

d

dx

x

u

dx

x

u

dx

x

u

d

dx

x

u

dx

x

u

dx

x

u

d







































































































16

16

„Przed”

„Przed”

„Po”

„Po”

25

Odkształcenie ciała













3

0

2

0

1

0

,

0

,

0

,

0

,

,

0

,

0

,

0

,

dx

d

dx

d

dx

d

III

II

I







S

S

S





























































































































3

3

3

3

3

2

3

3

1

2

2

3

2

2

2

2

2

1

1

1

3

1

1

2

1

1

1

1

,

,

,

1

,

,

,

1

dx

x

u

dx

x

u

dx

x

u

d

dx

x

u

dx

x

u

dx

x

u

d

dx

x

u

dx

x

u

dx

x

u

d

III

II

I

S

S

S

26

Odkształcenie ciała

V



V

D

V







*

0

1

det





























j

i

ij

x

u

δ

D

1

*

0

















D

V

V

V

Obliczamy kwadrat wyznacznika

D

„Przed”

„Przed”

„Po”

„Po”



































































ik

ik

k

j

jk

i

j

ji

e

x

u

x

u

D

2

det

det

2























ik

ik

e



2

1

det

2

3

21

21

27

Odkształcenie ciała

3

2

1

2

8

4

2

1

I

I

I

D

















3

2

1

2

2

1

2

1

2

1

e

e

e

D

















1

1

1

3

2

1















D









1

1

1

1

3

2

1

0



















Wygodnie niezmienniki tensora odkształcenia wyrazić poprzez
wartości główne tego tensora. Uzyskuje się wtedy

15

15

28

Odkształcenie ciała



























i

j

j

i

ij

x

u

x

u

2

1



,

11

11







,

2

2

sin

cos

12

*

)

,

(

*

)

,

(



























II

I

II

I

Przypadek małych odkształceń

Dla odkształceń nieskończenie małych zakładamy małość
przemieszczeń i ich pochodnych (współrzędnych tensora
gradientu przemieszczenia).

Opisy Lagrange’a i Eulera są nieodróżnialne.

,

2

2

12

*

)

,

(











II

I

33

22

11

0













