Ekonomika ubezpieczń zdrowotnych

wykład I (5.11.2008)

Przypomnieć:

Rachunek prawdopodobieństwa z biostatystyki, zdarzenia losowe, model optimum konsumenta (krzywa obojętności z 1 roku, linia budżetowa)

Zdarzenia losowe/przypadkowe

-powstają w wyniku działań przyczyn ubocznych, działających odmiennie w każdym indywidualnym zjawisku, w przeciwieństwie do przyczyn głównych, które działają zawsze i w ten sam sposób w każdym poszczególnym zjawisku

Ryzyko zdrowotne

• jedno z wielu rodzaju ryzyk, które jest bardzo szczególne bo odnosi się praktycznie do człowieka, a skutki zagrażają egzystencji jednostki, ma bardzo duże implikacje społeczne.

• Zabezpieczenie na jego wypadek jest często elementem zabezpieczenia społecznego, z tego wynika redystrybucja

• Szczególne - ale poddaje się analizie ekonomicznej, bo jego zabezpieczenie związane jest z ograniczalnością zasobów (ich alokacja zajmuje się ekonomia - nauka o racjonalnym wykorzystaniu ograniczonych zasobów)

W idealnych warunkach rynek jest najlepszym mechanizmem alokacji (zawsze prowadzi do efektywnych alokacji, niekoniecznie sprawiedliwych) ale mamy przypadki kiedy rynek nie działa w ogóle lub nie działa optymalnie (np. dobro publiczne, efekty zewnętrzne, rosnące efekty skali, monopol, asymetria informacji - przypomnieć), wtedy państwo powinno wkroczyć (zawodność rynku), ale pod warunkiem, że gdy wkroczy wyniki będą jeszcze lepsze albo jeszcze gorsze. Rola państwa w gospodarce rynkowej (tworzenie regulacji)

Zdarzenia konieczne - przeciwieństwo zdarzeń losowych

• zjawiska wyznaczone deterministycznymi prawami rozwoju rzeczywistości, tym samym zjawiska te są nieuchronne.

Cechy zdarzenia losowego:

1. Niezależność od zachowania podmiotu dotkniętych zjawiskiem

2. Nadzwyczajność - ich wystąpienie zakłóca normalny bieg rzeczy

3. Stosunkowa prawidłowość występowania - ich wystąpienie daje się określić metodami matematycznymi (można obliczyć prawdopodobieństwo ich wystąpienia)

4. Losowość - z wielu zagrożonych ich wystąpieniem jednostek, dotykają ryzyko niektóre; a priori nie wiadomo kogo dotkną

Wypadek losowy - zdarzenie losowe, powodujące szkodę majątkową, utratę zdrowia, życia lub zdolności do pracy.

Szkoda losowa - szkoda majątkowa powstała w wyniku wypadku losowego (dotyczy tylko skutków majątkowych)

Ryzyko

• możliwość wystąpienia określonego zdarzenia, wypadku lub szkody losowej

• możliwość, że coś się nie uda

• przedsięwzięcie, którego...

• szansa wystąpienia szkody

• prawdopodobieństwo pojawienia się szkody

Ryzyko jako prawdopodobieństwo straty - ta definicja wprowadza dużo subiektywnych elementów - utożsamia stopień ryzyka (wielkość ryzyka ze stopniem prawdopodobieństwa nastąpienia straty.

Problem: prawdopodobieństwo straty = 100% oznacza pewność, nie ryzyko

Problem: wielkość ryzyka zależy od punktu widzenia

Ryzyko jako możliwość wystąpienia szkody, odpowiada potocznej definicji ryzyka

Problem: możliwość wystąpienia szkody jest czymś niemierzalnym, ale ma zastosowanie w cywilnym prawie ubezpieczeniowym.

Ryzyko jako stan, w którym istnieje możliwość wystąpienia szkody - możliwość niekorzystnego odchylenia się wyniku rzeczywistego od wyniku zakładanego lub spodziewanego w danej sytuacji.

• ryzyko jest mierzalne za pomocą prawdopodobieństwa wystąpienia straty, które mierzy jego wielkość

Ryzyko jako dyspersja rezultatów rzeczywistych i oczekiwanych - stopień rozrzutu wyników w stosunku do pozycji centralnych lub średnich.

Ryzyka a niebezpieczeństwa:

• w języku potocznym synonimy

• w ubezpieczeniowej teorii ryzyka:

1. ryzyko - pojęcie szersze, opisuje proces. Kategoria obiektywna, niezależna, mierzalana, zjawisko zmiany rzeczywistości

2. niebezpieczeństwo - przyczyna i źródło ryzyka. Kategoria subiektywna, niemierzalna, odzwierciedla stan wiedzy o prawach rządzących obiektywnymi procesami, jest subiektywnym korelatem ryzyka (obecność ryzyka jest zbiorem niebezpieczeństw, a nie odwrotnie).

Klasyfikacja ryzyka:

• spekulatywne - trzy sytuacje: strata, zysk bez straty, zysk

• czyste - jego realizacja powoduje szkodę majątkową, a brak realizacji nie daje żadnych korzyści

• finansowe - ich realizacja powoduje stratę finansową

• niefinansowe - określone skutki negatywne dla otoczenia, nie mające jednak charakteru finansowego

• statyczne - często niezależne od zmian związane z postępem ekonomicznym, technologią (np. trzęsienie ziemi)

• dynamiczne - ściśle związane z powyższymi zmianami (np. zmiany cen)

• systematyczne (fundamentalne) - ma charakter bezosobowy, dotyczy ogółu społeczności, często związane z działaniem sił przyrody lub przemian ekonomicznych

• specyficzne (partykularne) - ma charakter osobowy, dotyczy pojedynczych podmiotów, stwarza zagrożenie interesów w skali interesów indywidualnych

• probabilistyczne - da się ująć przy użyciu metod matematycznych (...) i statystycznych (r. Statystyczne)

• estymacyjne - teoretycznie można je ocenić, ale wiąże się z możliwością dużej ilości błędów

• osobowe - jego realizacja powoduje straty w dobrach osobistych

• majątkowe - jego realizacja powoduje straty w dobrach majątkowych

• przyrodnicze - kreowane przez przyrody siły natury

• indywidualne - dotyczy jednostki i nie ma wymiaru społecznego

• społeczne - kreowane przez człowieka lub zbiorowości ludzkie, dotyka całe społeczeństwa

Podejście liberalne:

ryzyko społeczne

• Podejście liberalne ryzyko dochodu, utrata dochodu (lack of income), dodatkowe ponadprzeciętne wydatki (additional expences), niewystarczające dochody

• według ILO: starość, bezrobocie, choroba, wypadek, inwalidztwo, śmierć żywiciela rodziny, ciąża i macierzyństwo

• zdarzenie: dotykają dużą część społeczeństwa, co do którego istnieje przekonanie o konieczności zorganizowania powszechnych systemów zabezpieczenia

Incertitudo an - możliwość wystąpienia określonego zdarzenia niepewnego

Incertitudo quando - realizacja zdarzenia jest pewna, ale nie wiadomo jaki czas wystąpienia (np. śmierć)

Incertitudo efectus - realizacja zdarzenia i czas wystąpienia są pewne, nieznane są natomiast skutki

Risk menagement (zarządzanie ryzykiem) - proces opanowywania ryzyka obejmujący ogół działań związanych z analizą, eliminowaniem, ograniczaniem oraz zarządzaniem ryzykiem w konkretnym przypadku

Sekwencja:

1. Identyfikacja ryzyka

2. Ocena ilościowa i jakościowa

3. Selekcja ryzyka

4. Wybór metody z zarządzania (kontroli)

5. Wdrożenie wybranej metody kontroli

6. Ocena efektywności zastosowanej metody

Etapy procedury zarządzania ryzykiem

I - analiza ryzyka (identyfikacja, oszacowanie, ustanowienie hierarchii)

II - aktywne podejście do ryzyka (eliminowanie, ograniczanie, segmentowanie, podział, kontrola, przemieszczanie ryzyka)

III - finansowanie ryzyka (rozeznanie możliwości samoubezpieczenia lub ubezpieczenia)

Metody manipulacji ryzykiem:

1. Unikanie ryzyka - świadoma indywidualna odmowa akceptacji nawet chwilowego ryzyka

2. Zatrzymanie ryzyka

aktywne - niepłacenie składki, samoubezpieczenie

pasywne - bezwiednie wskutek ignorancji, obojętności, lenistwa lub arogancji

3. Kontrola ryzyka - zapobieganie stratom, np. prewencja, redukcja strat

4. Transfer ryzyka - przeniesienie na inny podmiot przy wykorzystaniu mechanizmów prawnych (np. umów, brak działań organizacyjnych i zabezpieczających)

5. Dystrybucja ryzyka (repartycja) - rozłożenie finansowych skutków realizacji ryzyka na grupę

5a) Pulweryzacja ryzyka - w obrębie lub zakresie jednego podmiotu

6) Ubezpieczenie - transfer, dystrybucja i kontrola

Redystrybucja

a) interpersonalna

b) intrapersonalna - intertemporalna

c) międzypokoleniowa

-horyzontalna (pozioma) między gosp. o tym samym poziomie dochodów

-wertykalna (pionowa) bogaci -> biedni

Wykład II (12.11.2008)

Zdarzenie losowe - zdarzenie, które w danym kompleksie warunków może zajść, ale może również nie zajść, wskazuje określone prawdopodoieństwo zajścia lub nie zajścia.

• np. fakty statystyczne, które w wyniku doświadczenia występują lub nie

• zdarzenia losowe zależą od czynników przypadkowych, ale także od czynników systematycznych

Zbiór zdarzeń elementarnych

• zbiór wszystkich możliwych, oddzielnych i nie dających się rozłożyć na czynniki prostsze wyników obserwacji

• S = e₁ + e₂ + ... + e_{n + 1} + e_n

• S - zbiór zdarzeń elementarnych

• e_i (i = 1, ... , n) zdarzenia elementarne

Podzbiór S składający się z dwóch lub wiecej zdarzeń elementarnych to zdarzenie złożone.

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego - definicja klasyczna:

• jeśli doświadczenie statystyczne jest przeprowadzane wielokrotnie, to można ustalić liczbowo z jaką częstotliwością empiryczną występuje okreslone zdarzenie elementarne

• częstość empiryczna - w_i = n_i : n

• teoretyczna odpowiednikiem częstości empirycznej jest prawdopodobieństweo danego zdarzenia losowego pi

Def. Laplace'a - skończone zbiory zdarzeń elementarnych

• prawdopodobieństwo(P) zdarzenia(A) - iloraz liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A oraz liczby wszystkich zdarzeń elementarnych jednakowo możliwych i wzajemnie się wykluczających

P(A) = a/a+b

Np. W partii 1000 telewizorów 10 jest uszkodzonych. Prawdopodobieństwo wylosowania uszkodzonego to 10/1000= 0,001

Wartości prawdopodobieństwa

P(A) = 0 zdarzenie niemożliwe

1> P(A) > 0 zdarzenie losowe

P(A) = 1 zdarzenie pewne

Zdarzenia niemożliwe i pewne nie są losowymi

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego P(A) = 1 - P(A) jest uzupełniające do zdarzenia losowego,

np. Rzucamy kostką: P wyrzucenia 1 to 1/6, a zdarzenie przeciwne to prawdopodobieństwo nie wyrzucenia 1 = 5/6

Prawdopodobieństwo, a częstość empiryczna

• jeśli liczebność zbioru zdarzeń elementarnych jest skończone, to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego P(A) = p_i jest pojęciowo identyczne z częstością empiryczną (wskaźnikiem struktury)

Jeśli zbiór nie jest skończony to empiryczna częstość zdarzeń może być tylko oszacowaniem prawdopodobieństwa zdarzenia losowego.

Oszacowanie będzie tym gorsze im liczebność próby będzie mniejsza.

Definicja matematyczna Von Lizesa

- odnosi się do nieskończonych zbiorów zdarzeń elementarnych

• lim w_i = P(A) - jako granica częstości empirycznych, jeśli liczba doświadczeń idzie w kierunku nieskończoności

• w_i- częstość empiryczna

• n ∞ liczba jednostek w grupie losowej

• stosuje się przy bardzo dużych zbiorach

Prawdopodobieństwo jest granicą do jakiej dąży częstość empiryczna przy założeniu, że liczebność jednostek obserwacji wzrasta nieograniczenie

Aksjomatyczna definicja Kołmogorowa - prawdopodobieństwo jest miarą na podzbiorach zdarzeń elementarnych

Aksjomaty :

• każdemu losowemu zdarzeniu(A) odpowiada określona liczba P(A) zwana prawdopodobieństwem, przy czym liczba ta zawiera się w granicach przedziału liczbowego od 0 do 1 (włącznie), np tablice umieralności

• prawdopodobieństwo zdarzenia B, o którym wiadomo, że na pewno nastapi, równa się jedności, np z populacji chcemy wylosować albo kobiete albo mężczyzne

• jeżeli A₁, A₂ ... A_n jest ciągiem zdarzeń losowych parami wykluczających się, to prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń równe jest sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń, np są osoby z wyzszym, średnim, podstawowym i bez wykształcenia, będzie to wtedy prawdopodobieństwo wylosowania osób bez wykształcenia i z wykształceniem wyzszym.

Prawdopodobieństwo warunkowe

• prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A, pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B:
  

Jakie jest prawdopodobieństwo, że na kostce wypadnie parzysta liczba oczek, pod warunkiem, że jest ona mniejsza niż 4?

Zdarzenie elementarne - 1,2,3,4,5,6

Zdarzenie A (parzysta liczba oczek) - 2,4,6

Zdarzenie B (liczba oczek mniejsza od 4) - 1,2,3

1/6 - P wyrzucenia 2

1/2 - P wyrzucenia (1,2,3)

1/6 * 2/1 = 1/3

Zdarzenie niezależne

Jeśli prawdopodobieństwo iloczynów(koniunkcji) każdej liczby spośród tych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń.

P(A∩B) = P(A) * P(B)

P(B) = P(B/A)

P(A)= P(A/B)

Po tych dwóch ostatnich można rozpoznać czy zdarzenia są niezależne.

przykład:

Z talii kart (52) wyciągamy jedną kartę. Czy zdarzenia: A - wyciągnięcie trefla, B - wyciągnięcie króla, są niezależne?

P(A) = 13/52 = 1/4

P(B) = 4/52

P(A∩B) = 1/52 = P(A) * P(B) = 13/52 * 4/52 = 1/52 - zdarzenia niezależne

Prawdopodobieństwo całkowite - twierdzenie Bayesa

• jeżeli zdarzenie losowe A₁ ... A_n są parami rozłączne przy czym P(A_i) > 0

gdzie i + 1,2.....n oraz A₁ ∪ A_n = x, to dla każdego zdarzenia B, takiego, że P(B) > 0 mamy:





Przykład: na kartkówkę

Na 100 mężczyzn 5 jest daltonistami. Na 1000 kobiet 2 są daltonistkami. Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i mężczyzn wybrano 1 osobę, która okazała się daltonistą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna?

B - daltonista

A - mężczyzna

C - kobieta

P(A) = ½ - bo grupa jest o jednakowej liczbie mezczyzn i kobiet

P(B/A) = 5/100 - P, że wśród mężczyzn wystąpi daltonista

P(C) = ½

P(B/C) = 2/1000 - że wśród kobiet jest daltonista

P(A/B) = ? - do wzoru

P(A/B) = 5/100 * ½ / 5/100 * ½ + 2/1000 * ½ = 25/26

Prawa wielkich liczb

• rozmiary oraz zmienności zdarzeń losowych uwarunkowane są działaniem przyczyn głównych wywołujących zmienność systematyczną i przyczyn ubocznych wywołujących zmienność przypadkową

A = f(a₁, a₂) gdzie

• a₁ efekt zmienności systematycznych - przyczyna główna

• a₂ efekt zmienności losowych - przyczyna uboczna

Rozkład danego zjawiska A może być rozłożony na 2 składniki.

Powiązania pomiędzy składnikami funkcji:

- addytywne: A = a1+a2

- multiplykatywne np. A= a₁e^a2

Dekompozycjabadanych i wyrażanych liczbowo zjawisk masowych na efekty działania składników systematycznych i przypadkowych oparta jest na rachunku prawdopodobieństwa i wynikających stąd jego twierdzeń zwanych prawami wielkich liczb.

Im większa liczebność losowej próby, tym większa szansa, że wyraźniej ujawni się efekt działania przyczyn głównych wywołujących zmienność systematyczną jest on w pewnym sensie odpowiednikiem prawidłowości systematycznej

Np. pewne warunki ekologiczne wpływające na zapadalność na nowotwory - chcemy to sprawdzić i jeśli mamy 10000 chorych na tą chorobę i 180 z nich mieszka koło palarni śmieci to możemy tą przyczynę ilościowo określić.

Złote twierdzenie Bernauliego:

• przy dostatecznie dużej liczbie przeprowadzonych niezależnych doświadczeń n zaobserwowana częstość empiryczna w_i będzie się różniła od prawdopodobieństwa p_i dowolnie mało (o dowolnie małe ε > 0) i że zachodzić to będzie z prawdopodobieństwem bliskim jedności. To znaczy przy wzrastającej liczbie obserwacji wzrasta prawdopodobieństwo zmniejszenia się bezwzględnej różnicy między częstością empiryczną z próby, a nieznanym co do poziomu prawdopodobieństwem danego zdarzenia losowego

• lim P{|w_i- p_i| < ε} = 1

np.

P wystapienia wirusa na 100 osób wynosi 1/13

na 10 000 = 1330

na 1 mln w_i= 13 100

którą grupę wybrać? - zgodnie z równaniem Bernauliego wybieramy to w_i gdzie próba jest największa czyli 1 mln.

Prawa wielkich liczb

• masowość procesu obserwacji jednostek tworzących próby losowe powoduje, że odchylenia dodatnie i ujemne między częstością empiryczną i prawdopodobieństwem mają tendencję do znoszenia się

• stanowią teoretyczną podstawę metod wnioskowania statystycznego i analizy statystycznej

• Prawo wlk liczb Bernouliego stanowi podstawę formułowania innych praw wielkich liczb

Twierdzenie Czybyszewa:

• przy wzroście liczby doświadczeń n, prawdopodobieństwo tego, że bezwzględna różnica między średnią arytmetyczną z próby, a wartością oczekiwaną ze zbiorowości generalnej m jest mniejsza od dowolnie małej liczby dodatniej ε, dąży do jedności

• 
  P {|
  - m| < ε } = 1

• 
  - średnia w próbie

• 
  − średnia w populacji generalnej

• Wartość oczekiwana - średnia zbiorowości generalnej

Zmienna losowa jako odpowiednik pojęcia cechy statystycznej

• funkcja rzeczywista, która każdemu zdarzeniu losowemu przyporządkowuje liczbę rzeczywistą

• realizacjom zmiennej losowej odpowiadają określone prawdopodobieństwa

• zmienna losowa jest wynikiem doświadczeń statystycznych, przy czym konkretna wartość liczbowa, jaką przyjmuje zmienna losowa zależy od przypadku

• np. losujemy 200 kobiet ze zbiorowości generalnej i interesuje nas wiek ( zmienna losowa bo zalezy od przypadku)

Zmienna losowa skokowa - dyskretna

• zbiór możliwych realizacji jest skończony lub przeliczalny, przy czym prawdopodobieństwo realizacji zmiennej losowej skokowej równe jest:

P(x_s = x_i) = p_i

• co oznacza, że zmienna losowa skokowa przyjmuje wartość liczbową x_i z prawdopodobieństwem p_i

np. Jakie jest P że wylosujemy szpital w którym jest 7 oddziałów? - zbiór szpitali jest skończony.

Zmienna losowa ciągła

• gdy istnieje nieujemna funkcja f(x) taka, że dla dowolnych x_oi wartości oraz x_1i (dolne i górne granice tych i-tych przedziałów klasowych) zachodzi:

• P(x_oi < x_i < x_1i ) =
  p_i

• f(x) jest funkcją gęstości zmiennej losowej x_i ,dx - pochodna funkcji pierwotnej, jaką jest dystrybuanta F(x)

np. P wylosowania szpitala którego kontrakt zawiera się między 10 a 11 mln - wtedy stosujemy powyższy wzór

Przy zmiennych losowych nie policzymy prawdop. Wystapienia konkretnej wartości ale policzymy przedział!

Funkcja gęstości zmiennej losowej

• średnia liczba prawdopodobieństwa przypadająca na jednostkę długości przedziału

(x; x + Δx) przy założeniu, że rozpiętość tego przedziału dąży do zera.

F(x): lim P(x) < x_i < (x + Δx)/ Δx

Dystrybuanta (funkcja pierwotna do f(x) to:

• Nie malejąca funkcja typu F(x)=P(x≤x) lub P(x<x)

• Pokazuje że zmienna losowa przyjmuje ≤ x

• Zawsze ma nachylenie pozytywne F(x)= P(x_s≤x)

Wartość oczekiwana zmiennej losowej:

Średnia arytmetyczna ze skończonej liczby realizacji tej zmiennej

E(x_s) = ∑x_ip_i=m

Wariancja(dyspercja) zmiennej skokowej służy do wyznaczania odchylenia standardowego.

V(x_s)= ∑ [x_i - E(x_s)]²p_i-σ²

x_i- wartości rzeczywiste

x_s- wartości oczekiwane

Zmienne losowe ciągłe

E(x_c) =


σ²=


Odchylenie standardowe

Średnia kwadratów odchyleń poziomów zmiennej losowej skokowej od ich wartości oczekiwanej.

Własności wartości oczekiwanej

E(c) = c gdzie c oznacza stałą

E(cx) = cE(x)

E(x + c) = E(x) + c

E(x - E(x)) = 0

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

E(XY) = E(X)E(Y) gdy X i Y są niezależne

Rozkłady zmiennej losowej:

• Zerojedynkowy

• Dwumianowy

• Ujemny dwumianowy(Bernouliego)

• Poissona

• Normalny (gaussa)

Rozkład Poissona:

,


gdzie:

k = 0, 1, 2, ...,

e - podstawa logarytmów naturalnych,

n - liczba doświadczeń

ၬ - parametr będący stałą, wartość oczekiwana i jednocześnie wariancja zmiennej losowej (jak wartość oczekiwana =wariancji to mamy rozkład Poissona)

Rozkład Normalny

Jeśli gęstość f zmiennej losowej wyraża się wzorem




Mówimy, że zmienna losowa ciągła X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej μ i odchyleniu standardowym σ ,





- wartość oczekiwana


- wariancja


- stała

• Mamy umieć liczyć prawdopodobieństwo i wzory na wartość oczekiwaną i wariancje, nie trzeba umieć wzorów na rozkłady.

---