wykład III (19.11.2008)

Postrzeganie ryzyka i awersja do ryzyka

Aktywa w posiadaniu człowieka

• zdolności - wealth

• zdrowie - health

• kapitał finansowy - wisdom

Aktywa podlegają różnym zaburzeniom: zdrowie→choroba, co zaś wpływa na wlk. majatku.

Jak się człowiek powinien zachowywać żeby maxymalizować swoją użyteczność?

Wymiary ryzyka:

• prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia losowego - określane zgodnie z rachunkiem prawdopodobieństwa (wymiar zdarzenia losowego)

• skala (ciężkość) konsekwencji wystąpienia

• w stosunku do obydwu wymiarów występuje niepewność. Nie wiemy jakie będą skutki.

Przyczyny różnic:

• ocena prawdopodobieństwa nie na podstawie statystycznych materiałów lecz osobistych doświadczeń (subiektywnych odczuć),

• np. mało kto się zastanawia nad prawdopodobieństwem wypadku jak się ubezpiecza

• przeszacowanie zjawisk rzadkich

• oporność na nowe informacje

• nie tylko lekarze wpadają w rutynę

• poczucie możliwości wpływu na rozwój sytuacji

• zdarzenia losowe na które mamy wpływ szacujemy jako mniej prawdopodobne niż te na które nie mamy wpływu, np. kierowcy

• wrodzony pesymizm (worst scenario)

• prowadzi do systematycznych błędów przy szacowaniu ryzyka

• wpływy kulturowe

Stopień ciężkości - poziom strat

Np. śmierć w wypadku lotniczym i w wyniku zawału serca

• obiektywnie nie ma różnicy

• subiektywnie istnieje różnica

Obiektywne prawdopodobieństwa ryzyka jest różne od subiektywnego poczucia zagrożenia.

Taka sama szkoda jest różnie oceniana w zależności od innych okoliczności istotnych dla jej wystapienia

Różnice w postrzeganiu konsekwencji:

• rzucenie palenia zmniejsza ryzyko zachorowania na raka płuc

• ale wiąże się z kosztem alternatywnym utraty korzyści z palenia, co oznacza...

• zwiększony koszt ryzyka śmierci po rzuceniu palenia

• dla ubezpieczeniowców ryzyko oznacza oczekiwaną stratę, zakłada się neutralność wobec ryzyka - perspektywa inżynieryjno - techniczna

• według ekonomistów dominującą cechą ludzką jest awersyjna (nie neutralna) postawa wobec ryzyka ( tzn wolimy się ubezpieczyć na wypadek ryzyka)

Awersja pojawia się przy porównywaniu dwuch alternatywnych działań, które prowadzą do niepewnych wyników. Rozproszenie wyników wokół średniej jest oceniane negatywnie.

Paradoks Petersburski:

• rzuty monetą, 2 graczy

• jeśli za 1 razem wypadnie orzeł, gracz A otrzymuje 2 monety od B

• jeśli za 2 razem wypadnie orzeł, gracz A otrzymuje 4 monety

• jeśli za 3 razem wypadnie orzeł, gracz A otrzymuje 8 monety

• gra trwa dopóki nie wypadnie reszka, reszka - gracz A wypłaca graczowi B 2^n-1 n = liczba rzutów

wartość oczekiwana wygranej w tej grze wynosi:

E(X) = 2 * ½ + 4 * ½ * ½ + 8 * ½ * ½ * ½ + ... = ∞

Kardynalna funkcja użyteczności:

Malejąca użyteczność krańcowa oznacza, że wzrost użyteczności wynikający ze wzrostu majątku mniej waży niż spadek użyteczności wynikający z takiego samego co do wielkości zmniejszenia się majątku. Każda kolejna dodatkowa jednostka przynosi coraz mniejszy przyrost zadowolenia np. kasa

> 0
< 0

Pierwsza pochodna unkcji użyteczności musi być mniejsza od zera, a druga ma być większa. Wtedy mamy spełnione prawo malejącej użyteczności krańcowej.

Etapy podejmowania decyzji:

I. Identyfikacja indywidualnej sytuacji jednostki wobec ryzyka

• określane wyniki

• określane prawdopodobieństwo

II. Ocena - przypisanie konkretnych wartości wynikom ( f. Logarytmiczna)

III. Wyznaczenie oczekiwanej użyteczności (f. Użyteczności),

• można ją wyznaczyć obiektywnie za pomocą tzw. gry hazardowej

Prospekt ryzyka - zmienna losowa opisana przez oczekiwaną wartość i rozkład prawdopodobieństwa np. Z(W₁,W₂ ; p, (1-p)) lub Z(EW; p, (1-p))

W- wyniki

EW- wartość oczekiwana

Oczekiwana użyteczność:

gdzie p ≥ 0 Σ p_j=1

c₁=c(a₁,s_j)

c₂ = (a₂, s_j)

a - decyzje

EU[c_ij] ≡ Σ p_ju [c_ij] ≡ EU[c_i] ≡ Σ p_ju [a₂, s_j]

→Jakie jest oczekiwane zadowolenie jeśli podejmiemy decyzje a_i i wezmiemy pod uwagę wszystkie stany które moga wystgąpić???

Oczekiwana użyteczność działania a_i równa jest przeciętnej oczekiwanych wartości ważonych prawdopodobieństwa.

Zasady podejmowania decyzji w warunkach niepewności:

• zasada minimax

• zasada minimax/redret

• zasada stała wygrana/stała strata

• zasada oczekiwanej wartości

• zasada oczekiwanej użyteczności Bernouliego wybierz alternatywę, której oczekiwana użyteczność jest najwyższa

Funkcja użyteczności oczekiwanej EU - effective utility, Neumanna - Morgensterna:

EU(x₁, x₂, p₁, p₂) = p₁ * U(x₁) + p₂ * U(x₂),

x₁, x₂, - wyniki

p₁, p_{2 -} prawdopodobieństwa

Wyrażenie p₁ * U(x₁) + p₂ * U(x₂) przedstawia średnią użyteczność struktury (x₁, x_2), tzn. (...)

EU(x) = Σ p_iU(x_i) < U(
) ,

- bo wartość oczekiwana jest pewnym odpowiedikiem średniej.

w przypadku awersji do ryzyka oczekiwana użyteczność jest mniejsza niż użyteczność z wartości oczekiwanej

Konstrukcja funkcji oczekiwanej użyteczności:

• wyniki są znane i mierzone w pieniądzu

• c₁ jest najgorszym możliwym wynikiem

• c₂ jest najlepszym możliwym wynikiem

• kardynalne indeksy użyteczności pozwalają na przyjęcie punktu zerowego i wyboru jednostki liczbowej - możemy przekształcic f.użyeczności na użyteczność.

• U(c₁) = 0 ; U(c₂) = 1 przyjmuje wartości tak jak Qualy

Jednostka zdolna jest sobie wyobrazić taki poziom majątku S, przy którym byłoby jej obojętne (pod względem realizowanego zadowolenia) czy wybierze S, czy też sytuację niepewności opisywanej przez poziomy majątku c₁ i c₂ występujące odpowiednio z prawdopodobieństwem p^* i p - 1^*.

Oczekiwana użyteczność: u(S) = p^* u(c₁) + (1 - p^*) u (c₂) = 1- p^*

użyteczność majątku pewnego=oczekiwanej użyteczności niepewności(ryzyka)

S - ekwiwalent pewności (majątek)

1- p^* - prawdopodobieństwo wystąpienia c₂

Przy takim skalowaniu:

• oczekiwana użyteczność prospektu ryzyka równa jest prawdopodobieństwu wygranej tzn. prawdopodobieństwu wystąpienia najlepszego wyniku

• tyle samo równe jest użyteczności majątku pewnego S, tj. ekwiwalentowi pewności

Konsument ma 10$. Rozważa grę, która daje mu z 50% prawdopodobieństwem wygraną 5$ i z 50% prawdopodobieństwem przegraną 5$. Wartość oczekiwana majątku po przystąpieniu do gry wynosi 10$. Oczekiwana użyteczność = ½ * U(15$)

• awersyjnie nastawiona do ryzyka jednostka jest skłonna zapłacić określoną cenę za zamianę sytuacji niepewnej na pewną

• pytanie jaką?

• (składka ubezpieczeniowa)

Do wykresów:

Niech majątek początkowy = W₂

Zmienna losowa
, przyjmuje tylko wartości negatywne (opisuje rozkład szkód)

Wartość końcowa majątku zawiera się w przedziale {W₂-X, W₂}

X - opisuje wysokosć szkody majątkowej

Ekwiwalent pewności - jednostka neutralna, wysokość majątku pewnego (okraślona wlk) która generuje taką samą użytgeczność ile wynosi użyteczność oczekiwana

Prawdop wystąpienia szkody = ½

Oczekiwana wartość majątku na koniec wynosi EW

S i EW generują takie same zadowolenie

S- wyznacza skłonnośc do płaenia

Max skłonność do płacenia to różnica między W₂ i S

Premiaza ryzyko(składka) jako miara awersji wobec ryzyka:

• różnica między wartością oczekiwaną i ekwiwalentem pewności

• różnica między premią za pewność, a wartością oczekiwaną straty

• koszt jaki jednostka skłonna jest ponieść w celu uniknięcia ryzyka

Premia za ryzyko = wartość oczekiwana - ekwiwalent pewności

u[W₂ - p(W,
)] = EU[W₂ +
]

↑ ↑ funkcja majątku i zmiennej losowej (premia za ryzyko)

użyteczność w sytuacji pewnej

Premia za pewność (bezpieczeństwo) = majątek początkowy(Wo) - ekwiwalent pewności

obejmuje premie za ryzyko + oczekiwaną wartość szkody. maksymalna składka jaką niechętnie nastawiony do ryzyka konsument jest skłonny zapłacić za polisę ubezpieczeniową gwarantującą pełne pokrycie strat.

Premia jest funkcją, zależy od tego jaki majątek ubezpieczamy i jakie są możliwe szkody.

Wysokość obu premii zależy od:

• zakrzywienia krzywej użyteczności

• rozkładu prawdopodobieństw

• wysokości majątku w różnych sytuacjach - wariancji zmiennej

• jeśli możliwe są jedyne 2 wyniki W₂ i W₁ to wariancja rozkładu takiej zmiennej losowej może być duża, jeżeli wartości W₂ i W₁ leżą daleko od siebie

• może być duża gdy prawdopodobieństwa obydwu stanów są podobne - największe jeśli p = 0.05 σ² = p(1 - p) (0.25)

• mężczyźni są mniej awersyjnie nastawieni do ryzyka niż kobiety

• osoby bardziej niechętne wobec ryzyka częściej kupują ubezpieczenia zdrowotne i na życie

• awersyjnie nastawieni preferują oszczędzanie w bankach

• awersyjność do ryzyka rośnie wraz ze wzrostem dochodu, ale tylko aż do osiągnięcia średnich dochodów w społeczeństwie

---