I rok Budownictwa 20132014

Matematyka I, Lista 1: Liczby zespolone, wielomiany.

Zadanie 1. Wykonać działania:

a) (2 − 2i) − 4(−1 + 4i),

b) (3 + 4i)(5 − 2i),

c) (2

√

2 + i

√

3)(2

√

2 − i

√

3),

d)

1 − 4i

3 + i

,

e)

i

3i − 1

,

f)

7 + 3i

−i

,

g)

(3 + i)

2

1 + 4i

,

h)

2i

(1 + i)

2

,

i) (2 − 3i)

2

− 5

4 + i

3 − 4i

,

j)

(1 − 2i)

3

2i

.

Zadanie 2. Rozwiązać równania w zbiorze liczb zespolonych:

a) 5i + z = 1 + 2i − 4iz,

b) (1 + 2i)x + 4 = 2x,

c) 2ix = 5 + i − (3 − 2i)x,

d) 4z − z = iz + 1,

e) Rez + 2z = 3 + i,

f) 3z + Imz = 2iz − 1 + i.

Zadanie 3. Na płaszczyznie zespolonej zaznaczyć zbiór spełniający warunki:

a) |z| = 2, argz =

π

3

b) |z| = 3, argz =

π

4

c) |z| ≤ 4,

d)

π

2

< argz ≤

5π

4

,

e) − 2 ≤ Rez < 4,

f) 1 < Imz < 3,

g) |z − i| ≤ 2,

h) z = z.

Zadanie 4. Podane liczby przedstawić w postaci trygonometrycznej:

a) 8,

b) − 7,

c) 2i,

d) − 4i,

e) 3 + 3i, f) − 1 + i,

g) − 1 − i,

h) 1 − i,

i)

√

3 + i,

j) −

√

3 + i,

k) − 4

√

3 − 4i l)

√

3 − i,

m) 2 + 2i

√

3,

n) − 1 + i

√

3,

o) − 1 − i

√

3,

p) 1 − i

√

3.

Zadanie 5. Podane liczby przedstawić w postaci algebraicznej:

a) 2(cos 0 + i sin 0),

b) 3e

iπ

,

c) cos

3π

2

+ i sin

3π

2

,

d)

√

2

cos

19π

4

+ i sin

19π

4

,

e) 2

cos

11π

3

+ i sin

11π

3

,

f) e

−i

11π

6

.

Zadanie 6. Wykonać podane działania:

a) 3

cos

π

7

+ i sin

π

7

(2 − 2i),

b) 4e

i

4π

5

(−1 + i

√

3),

c)

4i

5

cos

π

9

+ i sin

π

9

,

d)

8e

i

4π

5

−2

√

3 − 2i

.

Zadanie 7. Obliczyć, wynik podać w postaci algebraicznej:

a) (1 + i)

16

,

b) (1 + i

√

3)

9

,

c) (

√

3 + i)

27

,

d) (−1 + i)

27

, e) (1 − i

√

3)

7

,

f) (−

√

3 − i)

5

,

g)

(1 + i)

2

e

πi

e

−

π

4

i

(1 − i)

3

.

1

Zadanie 8. Obliczyć podane pierwiastki, jeśli to możliwe, wynik podać w postaci algebraicznej:

a)

√

−1 + i,

b)

q

1 − i

√

3,

c)

3

√

8,

d)

3

√

−125i,

e)

3

√

−27,

f)

4

√

−16,

g)

4

√

−i.

Zadanie 9. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania kwadratowe:

a) x

2

− 4 = 0, b) x

2

+ 9 = 0, c) 5x

2

− 10x = 0, d) x

2

+ x − 2 = 0, e) x

2

− 6x + 9 = 0,

f) x

2

− 2x + 3 = 0, g) 10x

2

+ 2x + 1 = 0, h) 2x

2

+ ix + 1 = 0, i) z

2

+ 2iz − 3 = 0.

Zadanie 10. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania:

a) x

3

− 27 = 0,

b) z

4

+ 16 = 0,

c) x

4

− 2x

2

− 3 = 0,

d) z

8

− 15z

4

− 16 = 0,

e) x

3

+ x

2

+ 9x + 9 = 0,

f) z

3

+ 3z

2

− 6z − 8 = 0,

g) x

4

+ x

3

+ 2x

2

+ 4x − 8 = 0, h) x

4

+ 3x

3

− x

2

− 13x − 10 = 0.

Zadanie 11*. Przedstawić sin x i cos x za pomocą funkcji wykładniczej o wykładniku zespolonym, korzystając

ze wzoru Eulera: e

ix

= cos x + i sin x.

α

0

π

6

π

4

π

3

π

2

sin α

0

1
2

√

2

2

√

3

2

1

cos α

1

√

3

2

√

2

2

1
2

0

tg α

0

√

3

3

1

√

3

−

ctg α

−

√

3

1

√

3

3

0

α

2π

3

3π

4

5π

6

π

sin α

√

3

2

√

2

2

1
2

0

cos α

−

1
2

−

√

2

2

−

√

3

2

−1

α

7π

6

5π

4

4π

3

3π

2

sin α

−

1
2

−

√

2

2

−

√

3

2

−1

cos α

−

√

3

2

−

√

2

2

−

1
2

0

α

5π

3

7π

4

11π

6

2π

sin α

−

√

3

2

−

√

2

2

−

1
2

0

cos α

1
2

√

2

2

√

3

2

1

A. Chwastyk

2