! #"$! %&'(*),+.-/& #"01)223

Na rozwia

4

zanie wszystkich zada´

n jest oko lo 10800 sekund

Rozwia

4

zania r´

o˙znych zada´

n musza

4

znale´

z´

c sie

4

na r´

o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´

c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

4

cego, jego

nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

4

cej ´

cwiczenia i nr. grupy ´

cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

4

dze´

n elektro-

nicznych; je´

sli kto´

s ma, musza

4

by´

c schowane i wy la

4

czone!

Nie wolno korzysta´

c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

4

na twierdzenia, kt´

ore zosta ly

udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1.

Zdefiniowa´c log

b

a

pamie

4

taja

4

c o za lo˙zeniach o b i a .

Wykaza´c, ˙ze 2 log

10

7 + 4 log

10

3 < log

10

3 + 3 log

10

11 < 3 + 2 log

10

2 .

2.

Poda´c definicje

4

kosinusa i sinusa dowolnego ka

4

ta. Rozwia

4

za´c nier´

owno´s´c:

| cos x − sin x| <

√

3−1

2

.

Zilustrowa´c jej rozwia

4

zanie na okre

4

gu x

2

+ y

2

= 1 .

3.

Niech f (x) =

x

3

−5x

(

√

5+x

2

)

3

, wiadomo, ˙ze f

0

(x) =

25(x−1)(x+1)

(

√

5+x

2

)

5

oraz f

00

(x) =

−75x(x

2

−5)

(

√

5+x

2

)

7

. W jakich

punktach funkcja f jest r´

o˙zniczkowalna (tzn. ma sko´

nczona

4

pochodna

4

I rze

4

du)? Znale´z´c przedzia ly,

na kt´

orych funkcja f maleje, na kt´

orych ro´snie, na kt´

orych jest wypuk la, na kt´

orych jest wkle

4

s la.

Obliczy´c granice funkcji f przy x −→ ±∞ , oraz granice f

0

w ko´

ncach przedzia l´

ow, na kt´

orych

funkcja f jest r´

o˙zniczkowalna. Znale´z´c liczby a, b takie, ˙ze lim

x

→∞

[f (x) − (ax + b)] = 0 , o ile takie

liczby istnieja

4

. Na podstawie uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .

4.

Niech A :=





0

1 −2

1

0 −2

1 −1 −1





. Znale´z´c wyznacznik macierzy A , jej warto´sci w lasne i odpowiadaja

4

ce

im wektory w lasne. Znale´z´c macierze A

−1

, A

T

, A · A

T

i ich wyznaczniki. Poda´c definicje

4

wektora

w lasnego i warto´sci w lasnej. Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy A

−1

.

5.

Znale´z´c kosinus ka

4

ta nierozwartego, kt´

ory tworza

4

p laszczyzny o r´

ownaniach

x

+ 2y − 2z = 0 oraz

14x − 5y + 2z = 0 . Znale´z´c iloczyn wektorowy wektor´ow ~v = [1, 2, −2] i ~

w

= [14, −5, 2] oraz ka

4

t

jaki tworzy wektor ~v × ~

w

z prosta

4

wsp´

olna

4

obu p laszczyzn. Niech ~u = [1, −1, 1] . Obliczy´c obje

4

to´s´c

r´

ownoleg lo´scianu rozpie

4

tego przez wektory ~u, ~v, ~

w

.

Znale´z´c odleg lo´s´c p laszczyzn o r´

ownaniach x + 2y − 2z = 0 i x + 2y − 2z = 5 .

6.

Kt´

ory z tr´

ojka

4

t´

ow r´

ownoramiennych wpisanych w okra

4

g o promieniu 1 ma najwie

4

ksze pole? Odpo-

wied´z szczeg´

o lowo uzasadni´c.

7.

(a) Poda´c definicje

4

pochodnej funkcji f :

5

−→

5

w punkcie p i definicje

4

prostej stycznej do

wykresu funkcji f w punkcie p, f (p)

.

(b) Znale´z´c f

0

(x) , je´sli f (x) = x cos

sin(

x

+1

2x−1

+ 2

3

√

x

)

.

(c) Napisa´c r´

ownanie stycznej do wykresu funkcji kotangens w punkcie

π

4

,

1

i r´

ownanie stycznej

do wykresu funkcji e

x

2

w punkcie (0, 1) .

(d) Znale´z´c g

0

(2) , je´sli g(x) = (x − 2)e

|x−2|

· sin

π

4

q

3 + tg

2π

4+x

2

.