ROZDZIAŁ 5

Przekształcenia liniowe

5.1. Wstęp

(V, F, +, ·), (W, F, +, ·) - przestrzenie wektorowe nad tym samym

ciałem. Przekształceniem liniowym nazywamy homomorfizm

T : V −→ W.

∀X, Y ∈ V, ∀a ∈ F

T (X + Y ) = T (X) + T (Y ), T (aX) = aT (X)

równoważnie:

∀X, Y ∈ V, ∀a, b ∈ F

T (aX + bY ) = aT (X) + bT (Y )

Własności:

T (X − Y ) = T (X) − T (Y )

T (−X) = −T (X)

T (Θ) = Θ

T

P

k
i=1

a

i

X

i

=

P

k
i=1

a

i

T (X

i

)

TWIERDZENIE 5.1.1.
KerT jest podprzestrzenią V,
ImT jest podprzestrzenią W.

KerT = {Θ}

⇔ T - monomorfizm

ImT = W

⇔ T - epimorfizm

T - izomorfizm ⇔ T - epimorfizm i monomorfizm

T - izomorfizm, to T

−1

też izomorfizm

Przestrzenie (V, F, +, ·) i (W, F, +, ·) dla których istnieje izomorfizm

nazywamy przestrzeniami izomorficznymi

V ∼ W.

71

72

5. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE

• zanurzenie kanoniczne - monomorfizm

V ⊂ W, T : V −→ W, T (X) = X

• rzutowanie kanoniczne - epimorfizm

V = U ⊕ W,

T : V −→ U, T (X) = Y

1

, X = Y

1

+ Y

2

.

TWIERDZENIE 5.1.2. (o rokładzie epimorfizmu)

Jeśli T : V −→ W jest epimorfizmem, to

W ∼ V/KerT.

V

-

T

W

V/KerT

@

@

@

@

R

k

T

∗

TWIERDZENIE 5.1.3.

Każda n-wymiarowa przestrzeń wektorowa (V, F, +, ·) jest izomorficzna
z przestrzenią ciągów (F

n

, F, +, ·).

WNIOSEK 5.1.1. Dwie przestrzenie wektorowe nad tym samym

ciałem o tym samym skończonym wymiarze są izomorficzne.

Izomorfizm niekanoniczny - zależy od wyboru bazy.

V = U ⊕ W ⇒ W ∼ V/U

TWIERDZENIE 5.1.4.

T : V −→ W - monomorfizm. Prawdziwe są następujące równoważności

X

1

, . . . , X

k

l.z. ⇔ T (X

1

), . . . , T (X

k

) l.z.

X

1

, . . . , X

k

l.n. ⇔ T (X

1

), . . . , T (X

k

) l.n.

T - izomorfizm, to

X

1

, . . . , X

k

baza ⇔ T (X

1

), . . . , T (X

k

) baza

5.2. PRZESTRZENIE PRZEKSZTAŁCEŃ LINIOWYCH

73

5.2. Przestrzenie przekształceń liniowych

(V, F, +, ·), (W, F, +, ·) -prz. wekt.

L(V, W) = {T : V −→ W lin}

TWIERDZENIE 5.2.1. (L(V, W), F, +, ·) jest przestrzenią wektorową,

gdzie
∀T, S ∈ L(V, W),

∀a ∈ F, ∀X ∈ V

(T + S) (X) = T (X) + S(X)

(aT ) (X)

= aT (X).

TWIERDZENIE 5.2.2.

(V, F, +, ·), (W, F, +, ·), - prz. wekt,
dimV = n < ∞
X

1

, . . . , X

n

- baza V, T, S ∈ L(V, W).

∀i = 1, . . . , n T (X

i

) = S(X

i

) =⇒ T = S.

TWIERDZENIE 5.2.3.

(V, F, +, ·), (W, F, +, ·) - prz. wekt.
dimV = n, dimW = m, n, m < ∞, T ∈ L(V, W), X

1

, .., X

n

-baza V.

Wówczas

(1) ImT = U (T (X

1

), . . . , T (X

n

))

(2) dimKerT + dimImT = dimV
(3) T -monomorfizm ⇐⇒ T (X

1

), .., T (X

n

)l.n.

WNIOSEK 5.2.1.

Jeśli m > n, to nie istnieje epimorfizm
jeśli m < n, to nie istnieje monomorfizm
jesli m = n, to

T monomorfizm ⇔ T epimorfizm

TWIERDZENIE 5.2.4.

(V, F, +, ·), (W, F, +, ·) - prz. wekt.
Dla każdej bazy

X

1

, . . . , X

n

∈ V

i każdego układu wektorów

Y

1

, . . . , Y

n

∈ W

istnieje dokładnie jedno przekształcenie T ∈ L(V, W) takie, że

∀i = 1, . . . , n Y

i

= T (X

i

).

74

5. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE

5.3. Reprezentacja macierzowa

(V, F, +, ·), (W, F, +, ·) - prz. wekt.

dimV = n, dimW = m, T ∈ L(V, W),
X

1

, . . . , X

n

- bazaV, Y

1

, . . . , Y

m

- bazaW

∀j = 1, . . . , n

T (X

j

) =

m

X

i=1

a

ij

Y

i

,

X ∈ V, X =

n

X

j=1

x

j

X

j

Y = T (X) =

n

X

j=1

x

j

T (X

j

) =

n

X

j=1

x

j

m

X

i=1

a

ij

Y

i

=

m

X

i=1

(

n

X

j=1

a

ij

x

j

)Y

i

=

m

X

i=1

y

i

Y

i

y

i

=

n

X

j=1

a

ij

x

j

y

1

= a

11

x

1

+

. . .

+a

1n

x

n

. . . . . .

. . .

. . .

y

m

= a

m1

x

1

+ . . . +a

mn

x

n

Reprezentacją macierzową odwzorowania T nazywamy układ

mn elementów a

ij

z ciała F spełniających powyższe równości.

A =






a

11

. . .

a

1n

. . .

. . .

. . .

a

m1

. . . a

mn






Oznaczamy:

(a

ij

)

∀i = 1, . . . , m

a

i1

, . . . , a

in

- i-ty wiersz

∀j = 1, . . . , n

a

1j

, . . . , a

mj

- j-ta kolumna

W przestrzeniach ciągów T ∈ L (F

n

, F

m

)

T (x

1

, . . . , x

n

) = (

n

X

j=1

a

1j

x

j

, . . . ,

n

X

j=1

a

mj

x

j

)

M(m, n) - zbiór macierzy o wymiarach m × n.

5.3. REPREZENTACJA MACIERZOWA

75

TWIERDZENIE 5.3.1.

(M(m, n), F, +, ·) jest przestrzenią wektorową, gdzie

(a

ij

) + (b

ij

) = (a

ij

+ b

ij

), a(a

ij

) = (aa

ij

)

TWIERDZENIE 5.3.2.

(V, F, +, ·), (W, F, +, ·) - przestrzenie wektorowe
dimV = n, dimW = m, n, m < ∞
Wówczas

L(V, W) ∼ M(m, n) ∼ (F

mn

, F, +, ·)

T

A

+ T

B

= T

A+B

,

aT

A

= T

aA

E(V)

ozn

= L(V, V) - zbiór endomorfizmów

TWIERDZENIE 5.3.3.

((E(V), F, +, ◦, ·) - algebra z jedynką.

T ∈ E(V), X

1

, ..., X

n

-bazaV

T ↔ (a

ij

) = A ∈ M(n)

a

11

, ...., a

nn

- przekątna macierzy kwadratowej stopnia n.

W przestrzeni M(n) definiujemy mnożenie tak, aby

T

B

T

A

= T

BA

c

ij

=

n

X

k=1

b

ik

a

kj

BA = C = (c

ij

)

TWIERDZENIE 5.3.4.

(M(n), F, +, ·, ·) - algebra z jedynką oraz

(E(V), F, +, ◦, ·) ∼ (M(n), F, +, ·, ·.

Element neutralny (jedynka) dla mnożenia macierzy

I

n

=







1 . . . 0

. ..

0 . . . 1







I

n

= (δ

ij

)

B ∈ M (p, m), A ∈ M (m, n) ⇒

C = BA ∈ M (p, n)

c

ij

=

m

X

k=1

b

ik

a

kj

i = 1, · · · , p, j = 1, · · · , n

Mnożeniu macierzy odpowiada składanie odwzorowań:

dimV = n, dimW = m, dimU = p,

76

5. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE

T

A

∈ L(V, W ), T

B

∈ L(W, U ),

T

B

◦ T

A

= T

BA

∈ L(V, U )

Macierzowy zapis odwzorowań liniowych

X

1

, · · · , X

n

-bazaV , Y

1

, · · · , Y

m

-bazaW .

X ∈ V, X =

n

X

i=1

x

i

X

i

X ←→







x

1

..

.

x

n







, X ∈ M (n, 1) ∼ F

n

Y ∈ W, Y =

m

X

i=1

y

i

Y

i

Y ←→







y

1

..

.

y

m







,

Y ∈ M (m, 1) ∼ F

m

Y = T

A

(X) ←→ Y = AX

y

i

=

n

X

j=1

a

ij

x

j

, i = 1, · · · , m

5.4. GRUPY AUTOMORFIZMÓW

77

5.4. Grupy automorfizmów

(V, F, +, ·) - prz. wekt.
A(V) - zbiór automorfizmów,

A(V) ⊂ E(V)

(A(V), ◦) - grupa.

Mcierz A ∈ M(n) nazywamy odwracalną jeżeli jest elementem

odwracalnym w algebrze (M(n), F, +, ·, ·) (ze względu na mnożenie
macierzy).

∃B ∈ M(n) : AB = BA = I

n

B = A

−1

(AB)

−1

= B

−1

A

−1

(A

−1

)

−1

= A

(M

o

(n), ·)-grupa macierzy odwracalnych

TWIERDZENIE 5.4.1.

dimV = n < ∞,
(A(V ), ◦) ∼ (M

o

(n), ·)

(T

A

)

−1

= T

A

−1

WNIOSEK 5.4.1. dimV = n < ∞,
T ∈ E(V ) to

T ∈ A(V ) ⇔ T − monom (KerT = {Θ})

T ∈ A(V ) ⇔ T − epim (ImT = V )

dimImT = dimV, dimKerT = 0

Izomorfizm przestrzeni wektorowych

(L(V, W), F, +, ·) ∼ (M(m, n), F, +, ·)

Izomorfizm algebr

(E(V), F, +, ◦, ·) ∼ (M(n), F, +, ·, ·)

Izomorfizm grup

(A(V), ◦) ∼ (M

o

(n), ·)

78

5. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE

5.5. Liniowe przekształcenia płaszczyzny

T ∈ E (R

2

),

T (x, y) = (xa + ya, xb + yb),

"

a a

b

b

# "

x
y

#

=

"

xa + ya

xb + yb

#

T (e

1

) = (a, b), T (e

2

) = (a, b),

(x, y) = xe

1

+ ye

2

T (x, y) = xT (e

1

) + yT (e

2

)

= x(a, b) + y(a, b) =

(xa + y

a, xb + yb)

Obrót - O

Θ

: R

2

−→ R

2

,

O

Θ

(e

1

) = (cos Θ, sin Θ)

O

Θ

(e

2

)=

cos(Θ+

Π

2

), sin(Θ+

Π

2

)

!

=(− sinΘ, cosΘ)

O

Θ

(x, y) =

(x cos Θ − y sin Θ, x sin Θ + y cos Θ)

"

cos Θ − sin Θ

sin Θ

cos Θ

# "

x
y

#

=

"

x cos Θ − y sin Θ
x sin Θ + y cos Θ

#

O

Θ

↔

"

cos Θ − sin Θ

sin Θ

cos Θ

#

5.5. LINIOWE PRZEKSZTAŁCENIA PŁASZCZYZNY

79

Podobieństwo -
S

k

: R

2

−→ R

2

, k 6= 0,

S

k

(x, y) = (kx, ky)

S

k

↔

"

k

0

0 k

#

"

k

0

0 k

# "

x
y

#

=

"

kx
ky

#

Przekształcenie nożycowe -
T (e

1

) = e

1

, T (e

2

) = (a, 1),

T (x, y) = (x + ay, y).

T ↔

"

1 a
0 1

#

"

1 0
a 1

# "

x
y

#

=

"

x + ay

y

#

Macierze grupy symetrii kwadratu

"

1 0
0 1

#

↔ T (x, y) = (x, y) ↔ O

0

"

0 −1
1

0

#

↔ T (x, y) = (−y, x) ↔ O

π

2

"

−1

0

0

−1

#

↔ T (x, y) = (−x, −y) ↔ O

π

"

0

1

−1 0

#

↔ T (x, y) = (y, −x) ↔ O

3π

2

"

1

0

0 −1

#

↔ T (x, y) = (x, −y) ↔ H

"

−1 0

0

1

#

↔ T (x, y) = (−x, y) ↔ V

"

0

−1

−1

0

#

↔ T (x, y) = (−y, −x) ↔ D

2

"

0 1
1 0

#

↔ T (x, y) = (y, x) ↔ D

1

80

5. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE

(1) Macierze symetrii trójkąta równobocznego

"

1 0
0 1

#

↔ T (x, y) = (x, y) ↔ O

0

"

−

1
2

−

√

3

2

√

3

2

−

1
2

#

↔ T (x, y) =

= (−

1

2

x −

√

3

2

y,

√

3

2

x −

1

2

y) ↔ O

2π

3

"

−

1
2

√

3

2

−

√

3

2

−

1
2

#

↔ T (x, y) =

= (−

1

2

x +

√

3

2

y, −

√

3

2

x −

1

2

y) ↔ O

4π

3

"

1
2

√

3

2

√

3

2

−

1
2

#

↔ T (x, y) =

= (

1

2

x +

√

3

2

y,

√

3

2

x −

1

2

y) ↔ L

1

"

1
2

−

√

3

2

−

√

3

2

−

1
2

#

↔ T (x, y) =

= (

1

2

x −

√

3

2

y, −

√

3

2

x −

1

2

y) ↔ L

2

"

−1 0

0

1

#

↔ T (x, y) = (−x, y) ↔ V