Ciecz w spoczynku w ziemskim polu grawitacyjnym

Rozkład ciśnienia w cieczy w spoczynku w ziemskim polu

grawitacyjnym opisuje wzór manometryczny:

z

p = ρ

− ⋅ g ⋅ z + p ,

0

gdzie: p0 – ciśnienie w początku przyjętego układu współrzędnych.

f = g

Uwaga: znak minus wynika z ukierunkowania osi z przyjętego

przeciwnie do skierowania przyspieszenia grawitacyjnego g.

0

y

Rozpatrując oddziaływanie cieczy na ściany ciał stałych

p0

ciśnienie określamy w kategorii nadciśnienia. Jeżeli początek

x

układu współrzędnych jest umieszczony na lustrze cieczy,

wówczas nadciśnienie:

p = ρ

− ⋅g ⋅z .

Parcie cieczy na ściany ciał stałych

Wypadkowa siła parcia cieczy na powierzchnię A ciała stałego:

F

p n dA ,

p = ∫∫ ⋅

⋅

A

gdzie: n - wektor kierunkowy elementarnej powierzchni dA skierowany od cieczy do

powierzchni.

Moment ogólny układu parć elementarnych wzglądem początku przyjętego układu

współrzędnych:

M = ∫∫(r × p⋅ n)⋅dA .

Parametrem układu parć elementarnych nazywamy iloczyn skalarny: F ⋅ M . Jeżeli

p

F ⋅ M = 0 , to układ parć elementarnych daje się sprowadzić (zastąpić) do wypadkowej siły

p

parcia F przyłożonej w środku parcia S

p

p, przy czym:

M = r × F ,

p

p

gdzie: r - promień wektor określający położenie środka parcia S

p

p.

Parcie cieczy na ściany płaskie

Parcie cieczy (wypadkowa siła parcia) na płaską powierzchnię ciała stałego jest równe

iloczynowi pola A tej powierzchni i ciśnienia pc panującego w jej środku geometrycznym Sc

(środku ciężkości). Siła ta jest prostopadła do powierzchni ciała stałego i skierowana od cieczy

do powierzchni (wyprowadzenia – patrz literatura):

F = p ⋅ A ⋅ n .

p

c

Siła parcia jest przyłożona w środku parcia Sp, który leży poniżej środka geometrycznego Sc (ciężkości) rozpatrywanej płaskiej powierzchni ciała stałego (wyjątkiem jest powierzchnia

pozioma). Głębokość zanurzenia środka parcia względem lustra cieczy:

J ⋅

α

c

sin2

h =

η

h +

,

p

c

h ⋅ A

c

gdzie: hc - głębokość zanurzenia środka ciężkości powierzchni A,

J - moment bezwładności powierzchni A względem osi równoległej do lustra cieczy,

c

η

leżącej w płaszczyźnie powierzchni A i przechodzącej przez jej środek

geometryczny (ciężkości),

α – kąt nachylenia płaszczyzny powierzchni A względem lustra cieczy.

Parcie cieczy na ściany zakrzywione

Składowa pozioma - w danym kierunku - parcia cieczy na powierzchnię zakrzywioną

(parcie poziome) jest równa parciu na rzut tej powierzchni na płaszczyznę prostopadłą

do rozpatrywanego kierunku. Linia działania parcia poziomego przechodzi przez środek

parcia rzutu powierzchni zakrzywionej na płaszczyznę prostopadłą do rozpatrywanego

kierunku. Na przykład w układzie współrzędnych x, y, z:

F = p

⋅A = ρ⋅g ⋅h ⋅ A

px

c

yz

c

yz

yz

yz

F = p

⋅A = ρ⋅g ⋅ h ⋅ A

py

c

zx

c

zx

zx

zx

Składowa pionowa parcia cieczy na powierzchnię zakrzywioną jest równa ciężarowi

bryły ciekłej V ograniczonej: daną powierzchnią zakrzywioną, pionowymi tworzącymi

poprowadzonymi przez kontur tej powierzchni i lustrem cieczy. Linia działania składowej

pionowej przechodzi przez środek geometryczny (ciężkości) wspomnianej bryły ciekłej.

F = ρ ⋅ g ⋅ V .

pz

Wypadkową siłę parcia na powierzchnię zakrzywioną znajdujemy składając siły parcia poziomego i pionowego. Jest ona skierowana od cieczy do powierzchni.

Ważny przypadek szczególny:

Linia działania wypadkowej siły parcia na powierzchnię o stałej krzywiźnie przechodzi przez środek krzywizny.

Pływanie i stateczność ciał pływających

Siła wyporu W ciała zanurzonego w cieczy jest wypadkową elementarnych sił

powierzchniowych działających na powierzchnię Az ograniczającą objętość ciała Vz

zanurzoną

w cieczy:

W = ∫∫pndA = −∫∫∫∇pdV

A

V

z

z

1

4

4

4

2

4

4

4

3

twierdzeni G

e GO

Uwaga: znak (-) wynika ze skierowania wektora kierunkowego n do wewnątrz objętości

zanurzonej ciała Vz (na zewnątrz obszaru płynu).

Warunek równowagi płynu w spoczynku w ziemskim polu grawitacyjnym wymaga, aby:

∇p = ρf = ρg , gdzie: ρ – gęstość cieczy.

Zatem: W = ∫∫∫(− g

ρ )dV = −ρgV .

z

Vz

Siła wyporu jest równa co do wartości bezwzględnej ciężarowi „bryły ciekłej” o objętości

równej objętości Vz części zanurzonej ciała i gęstości równej gęstości cieczy, ale przeciwnie

skierowana:

W = −ρgV .

z

Warunek pływania ciała na powierzchni cieczy lub pływania na dowolnej głębokości (ciała nie tonącego) wymaga, aby siła wyporu była równa co do wartości bezwzględnej

ciężarowi ciała G, ale przeciwnie skierowana:

W = −G .

Operując modułami sił: ρgV = G .

z

Ciało pływa na powierzchni swobodnej cieczy (powierzchnia lustra cieczy), gdy:

ρgV > G , wówczas: V

c

z<Vc ,

gdzie: Vc – objętość całkowita ciała, ρ –gęstość cieczy.

Ciało pływa na „dowolnej” głębokości (przy założeniu, że gęstość cieczy ρ nie wzrasta wraz

głębokością), gdy:

ρgV = G , wówczas: V

c

z=Vc .

Ciało tonie, gdy:

ρgV < G

c

Linia działania siły wyporu przechodzi przez środek wyporu, który znajduje się w środku geometrycznym części zanurzonej ciała traktowanej jak jednorodna bryła (o równomiernym

rozkładzie masy).

W położeniu równowagi ciała pływającego (na powierzchni swobodnej lub na dowolnej głębokości) linia działania siły wyporu pokrywa się z linią działania siły ciężkości G.

Stateczność ciał pływających na powierzchni swobodnej

Płaszczyzna pływania – płaszczyzna pozioma (zwykle lustro cieczy) odcinająca jednakowe

objętości zanurzone od ciała pływającego przy wychylaniu go z położenia równowagi.

Przekrój pływania – przekrój ciała pływającego płaszczyzną pływania.

Obrót ciała pływającego na powierzchni cieczy następuje względem osi leżącej w

płaszczyźnie pływania (lustra cieczy) i przechodzącej przez środek geometryczny przekroju

pływania.

Linia działania siły wyporu po wychyleniu ciała pływającego z położenia równowagi jest

równoległa do linii działania siły ciężkości, ale się z nią nie pokrywa (z wyjątkiem przypadku,

kiedy środek wyporu ciała pływającego na dowolnej głębokości pokrywa się ze środkiem

ciężkości).

Metacentrum jest to punkt przecięcia linii działania wyporu chwilowego (po wychyleniu

z położenia równowagi) z linią działania wyporu początkowego (w położeniu równowagi).

Pojęcie to dotyczy ciał pływających na powierzchni cieczy.

Odległość metacentryczna m jest to współrzędna określająca położenie metacentrum

względem środka ciężkości ciała pływającego na powierzchni cieczy (wyprowadzenie – patrz

literatura):

J

m

x

=

± a ,

Vz

gdzie: Jx – moment bezwładności przekroju pływania względem osi obrotu przy wychyleniu

ciała z położenia równowagi,

Vz – objętość części zanurzonej ciała pływającego,

a – odległość między środkiem ciężkości i środkiem wyporu,

(+) – gdy środek ciężkości poniżej środka wyporu,

(-) – gdy środek ciężkości powyżej środka wyporu.

Warunek stateczności w zakresie małych wychyleń wymaga, aby dla ciał pływających na powierzchni cieczy m>0. Moment pary sił, którą tworzą po wychyleniu z położenia równowagi siła ciężkości G i siła wyporu chwilowego W, działa wtedy w kierunku

przywrócenia położenia równowagi.

Warunek stateczności m>0 jest zawsze spełniony w przypadku, gdy środek ciężkości ciała

pływającego na powierzchni cieczy znajduje się poniżej środka wyporu (+a we wzorze

określającym m). (Uwaga: podobnie ciało pływające na dowolnej głębokości jest stateczne,

gdy jego środek ciężkości znajduje się poniżej środka wyporu.)

Ciało pływające na powierzchni cieczy jest niestateczne, jeżeli m<0. Może to wystąpić

(ale nie musi!!!), gdy środek ciężkości znajduje się powyżej środka wyporu.

Utrata stateczności ciała pływającego na powierzchni cieczy może wystąpić wokół takiej

osi obrotu, względem której moment bezwładności przekroju pływania ma najmniejszą

wartość Jmin. Warunek stateczności ciała pływającego na powierzchni cieczy - w przypadku

gdy środek ciężkości znajduje się powyżej środka wyporu (-a) – przybiera zatem postać:

J

m

min

=

− a

Vz

Literatura:

W. Prosnak: Mechanika Płynów, tom I, Część druga „Statyka Płynów”: Rozdział 3 – Parcie

płyny na ściany ciał stałych – całość; Rozdział 4 - Pływanie i stateczność ciał pływających -

pkt-y 4.1, 4.2, 4.3.

J. Bukowski, P. Kijkowski: Kurs Mechaniki Płynów, Rozdział 3 - Wybrane zagadnienia

hydrostatyki - całość, (pkt-y: 3.1, 3.2).