INSTYTUT METROLOGII I INŻYNIERII BIOMEDYCZNEJ

Politechniki Warszawskiej

Laboratorium Podstaw Metrologii

Semestr I

Ćwiczenie nr 4

Wyznaczanie niepewności pomiarów pośrednich na przykładzie

przepływomierza zwężkowego

Warszawa

Wyznaczanie niepewności pomiarów pośrednich na przykładzie przepływomierza

zwężkowego

Opracował: prof. nzw. dr hab. inż. Mateusz Turkowski

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z praktycznym wyznaczaniem niepewności pomiarów

bezpośrednich i pośrednich oraz zmniejszeniem wpływu błędów systematycznych na wynik

pomiaru poprzez wprowadzenie poprawek. Dodatkowy cel to zapoznanie się zasadą

zwężkowego pomiaru strumienia płynu.

2. Wprowadzenie teoretyczne

2.1. Wyprowadzenie wzoru umożliwiającego obliczenie strumienia objętości płynu przy

pomiarze zwężkowym

Strumień objętości qv jest to objętość płynu przepływającego przez poprzeczny przekrój

rurociągu w jednostce czasu.

Najczęściej stosowaną zwężką pomiarową, umożliwiającą pomiar strumienia płynu, jest

kryza – płaska tarcza z okrągłym otworem o średnicy d, współosiowa z rurociągiem o

średnicy wewnętrznej D.

Przepływomierze zwężkowe oparte o kryzę są szeroko stosowane zarówno do pomiarów

technologicznych we wszystkich praktycznie gałęziach przemysłu a także do pomiarów

rozliczeniowych takich strategicznych surowców jak gaz ziemny i ropa naftowa.

Załóżmy na razie, dla uproszczenia, że rozkład prędkości jest równomierny, czyli

prędkość w każdym przekroju jest stała, równa prędkości średniej w (patrz rys. 1a).

Zgodnie z zasadą ciągłości przepływu (będącą jedną z form powszechnie

obowiązującego w przyrodzie prawa zachowania masy) do każdego przekroju dopływa i

odpływa w jednostce czasu taka sama masa płynu. Obowiązuje więc, dla przekroju rurociągu

A 1 = π D 2 /4 i dla przekroju otworu kryzy A 2 = π d 2 /4 równanie ciągłości: q

ρ

ρ

m = A 1 1 w 1 = A 2 2 w 2

(1)

gdzie ρ 1, w1 – prędkość średnia i gęstość płynu w rurociągu przed kryzą, ρ 2, w2 – prędkość średnia i gęstość płynu w otworze kryzy. Dla płynów nieściśliwych ρ = const, wówczas

qv = A 1 w 1 = A 2 w 2

(2)

Drugie równanie wyprowadza się z zasady zachowania energii. Zgodnie z tą zasadą

wzrost energii kinetycznej (związanej z prędkością) może nastąpić tylko kosztem spadku

energii potencjalnej (ciśnienia). Zwiększeniu prędkości w okolicach kryzy towarzyszy więc

spadek ciśnienia w tej strefie, co wyraża równanie Bernoulliego:

ρ w 2

ρ w 2

1 + p =

2

(3)

1

+ p 2 = const

2

2

Rozwiązując układ równań (2) i (3) otrzymujemy

2

2 p

p

2

( 1 − 2)

w

(4)

2 =



2 





ρ

A

1−

1









 A 2  





Zdefiniujmy jeszcze tzw. przewężenie zwężki β = d/D. Wówczas

2

A

d

2

2

=

= β

(5)

2

A

D

1

Uwzględniając jeszcze związki qv = A 2 w 2 oraz A2 = π d 2 /4 i oznaczając różnicę ciśnień p1 – p2 = ∆ p otrzymujemy uproszczony związek między strumieniem objętości a spadkiem ciśnienia na zwężce

1

π d 2 2 p

∆

q =

⋅

(6)

v

− β 4

4

1

ρ

Przy wyprowadzaniu powyższego wzoru przyjęto jednak szereg założeń upraszczających.

M.in. rozkład prędkości w otworze zwężki i rurociągu nie jest równomierny (płaski), a

wyostrzony (rys. 1b). Dla nierównomiernego rozkładu prędkości energia strumienia jest

większa niż dla płaskiego, tak więc równanie Bernoulliego nie opisuje zupełnie ściśle stanu

faktycznego.

Ponadto najsilniejsze przewężenie strumienia nie występuje w samym otworze kryzy a

poza nią, ponadto przekrój strumienia w miejscu najsilniejszego przewężenia jest mniejszy

niż w otworze kryzy. Dzieje się tak dlatego, że elementy płynu, dopływając do kryzy, mają

pewną doosiową składową prędkości, która nie może zaniknąć od razu (patrz obraz linii prądu

na rys. 1 c). Przekrój o najsilniejszym przewężeniu nazywamy „vena contracta”.

Ani stopnia kontrakcji ani rzeczywistych profili prędkości nie da się jednak wyznaczyć z

taką dokładnością, aby na drodze teoretycznej skorygować wyprowadzony powyżej,

uproszczony wzór. Dlatego wpływ wymienionych czynników (oraz szeregu innych) ujmuje

się za pomocą jednego, sumarycznego, tzw. współczynnika przepływu C. Wzór (6) przybierze

wówczas postać

C

π d 2 2 p

∆

q =

⋅

(7)

v

− β 4

4

1

ρ

Współczynnik przepływu można wyznaczyć poprzez wzorcowanie szeregu podobnych

geometrycznie zwężek o różnych przewężeniach β. Wyznaczone wartości zależą jednak od

szeregu innych czynników, jak średnica rurociągu, prędkość przepływu czy lepkość płynu.

Dla wykorzystania w przyszłości tych wyników wzorcowań posługujemy się więc teorią

podobieństwa przepływów.

Wprowadźmy tzw. liczbę Reynoldsa, jedną z bezwymiarowych liczb podobieństwa

stosowanych w technice. Jest to stosunek występujących w przepływie sił bezwładności do sił

lepkości. Dla rurociągu o przekroju kołowym można ją obliczyć z wzoru:

w D

Re

1

= ν

(8)

3

gdzie ν - kinematyczny współczynnik lepkości płynu.

Zgodnie z teorią podobieństwa przepływów dla różnych rozpatrywanych przepływów,

przy podobnych geometrycznie powierzchniach opływanych, (czyli dla zwężek o takich

samych przewężeniach β) i dla takich samych wartości liczby Reynoldsa zachodzi

podobieństwo pól ciśnień i pól prędkości.

Podobieństwo pól prędkości zapewnia podobieństwo rozkładów prędkości i

podobieństwo linii prądu, co z kolei zapewnia taki sam stopień kontrakcji. Dzięki temu, przy

takich samych liczbach Reynoldsa taka sama będzie wartość współczynnika przepływu,

uwzględniającego wpływ tych zjawisk. Wystarczy więc wyznaczyć poprzez wzorcowanie

szeregu zwężek o różnych wartościach przewężenia β wartości współczynnika przepływu dla

różnych przewężeń w funkcji liczby Reynoldsa, aby móc później, wykorzystując wyniki tych

wzorcowań, obliczać zwężki dla innych średnic rurociągów czy innych płynów, niż

stosowane podczas tych badań.

Kolejne uproszczenie jakie wprowadzono powyżej, to założenie nieściśliwości płynu

(ρ = const). Dla gazów uproszczenie to może być źródłem znacznych błędów pomiaru.

Wskutek spadku ciśnienia w strefie zwężki wystąpi tu rozprężanie – zmniejszenie gęstości i

dodatkowe zwiększenie prędkości. Dla uwzględnienia tych zjawisk stosowany jest mnożnik

poprawkowy ∈, zwany liczbą ekspansji. Wyznacza się go eksperymentalnie poprzez

porównanie charakterystyk zwężki dla nieściśliwych cieczy z charakterystykami dla gazów.

Liczba ekspansji jest funkcją przewężenia β, wykładnika izentropy κ, oraz stosunku ∆ p/p:

∈ = f(β, κ, ∆ p/p)

(9)

Dla cieczy, które są praktycznie nieściśliwe, przyjmuje się ∈ = 1.

Po tym uściśleniu ostateczny wzór na strumień objętości ma postać

C ∈

π d 2 2 p

∆

q =

⋅

(10)

v

− β 4

4

1

ρ

2.2. Normalizacja zwężek

Uzyskanie wystarczająco obszernych wyników badań zależności C = f( Re, β) i ∈ = f(β, κ, ∆ p/p) umożliwia normalizację zwężek. Warunkiem jest jednak uzyskanie zgodności

wyników badań uzyskanych w różnych laboratoriach. W wyniku opracowania statystycznego

wyników tych badań zostaje sformułowana ostateczna postać zależności C = f( Re, β) i ∈ =

f(β, κ, ∆ p/p) a z analizy statystycznej tych wyników – niepewności wyznaczenia C i ∈.

Normalizacja zwężek umożliwia projektowanie przepływomierzy zwężkowych i

wyznaczanie ich charakterystyki obliczeniowo, tylko na podstawie znajomości parametrów

płynu i pomiarów geometrycznych zwężki. Eliminuje się więc konieczność indywidualnego

wzorcowania, często w ogóle niemożliwego, a zawsze kosztownego i pracochłonnego.

Polska Norma PN-EN ISO 5167:2005 dotycząca zwężkowych pomiarów parametrów

przepływu jest odpowiednikiem normy międzynarodowej, przyjętej powszechnie w Europie i

większości krajów świata.

Poza kryzami znormalizowane są dysze o płynnie ukształtowanym wlocie (rys. 2 a).

Należy je stosować tam, gdzie korozyjne lub korozyjne oddziaływanie płynu powodowałoby

szybkie stępienie krawędzi kryzy.

W przypadkach gdy niedopuszczalne są duże straty ciśnienia należy stosować oraz

zwężki o małych stratach ciśnienia – dysze Venturiego (rys. 2 b) i klasyczne zwężki

Venturiego (rys. 2 c). Dzięki łagodnemu rozszerzeniu strumienia przez stożkową część

4

rozbieżną mniejsze są szkodliwe straty energii potencjalnej (ciśnienia), przez co niezbędna

jest większa moc pomp/sprężarek.

Wartości C i ∈ wyznacza się z podanych w normie równań empirycznych. Np. dla

znormalizowanej kryzy współczynnik przepływu obliczamy z równania Reader-Harrisa

6

0,7

10 β 

6

0,3

10 

C = 0,5961+0,0261β2 - 0,216β8 + 0,000521 

 + (0,0188+0,0063 A) β3,5 

 (11)

 Re 

 Re 

Liczbę ekspansji dla znormalizowanych kryz oblicza się z wzoru empirycznego

 ∆ p

∈ = 1 - (0,41+0,35 β4) 



(12)

 p

κ 

1

2.3. Wyznaczenie parametrów płynu

Dla obliczenia strumienia płynu niezbędna jest znajomość gęstości i lepkości. Dla cieczy

korzystamy z danych tablicowych. W przypadku cieczy można pominąć wpływ ciśnienia na

te parametry, a jedynie uwzględnić wpływ temperatury. Dla gazów gęstość wyznaczamy z

wzoru

pT n

ρ = ρ n

(13 )

p TK

n

gdzie ρ n – gęstość gazu w warunkach normalnych, tj. Tn = 273.15 K, pn = 101.325 kPa (dla

powietrza ρ n = 1.2928 kg/m3); p i T – ciśnienie i temperatura absolutna przed zwężką, K –

względny współczynnik ściśliwości przy ciśnieniu p i temperaturze T (współczynnik

ściśliwości uwzględnia odchylenia właściwości gazu rzeczywistego od właściwości gazu

doskonałego).

Jeżeli gaz jest wilgotny to wzór (16) trzeba zmodyfikować do postaci

( p −ϕ p T

p ) n

ρ = ρ

+ ϕρ

n

p , s

(15 )

p TK

n

gdzie ϕ - wilgotność względna, pp – ciśnienie pary wodnej w temperaturze T, ρ p,s – gęstość

pary wodnej nasyconej w temperaturze T.

Niezbędną do obliczenia liczby Reynoldsa wartość lepkości oblicza się dla gazów z wzoru

C

1+ 27 .315

T

η =η0

C

273 1

. 5

(16 )

1+ T

gdzie C – stała Sutherlanda (dla powietrza C = 112 K), η 0 – lepkość gazu w warunkach

normalnych (dla powietrza η 0 = 17.1·10-6 kg/m·s).

5

Rys. 2. Inne zwężki znormalizowane i linie prądu przy przepływie

przez te zwężki.

Rys. 1. Przepływ płynu przez kryzę: a) model uproszczony do wypro-

wadzenia wzoru, rzeczywiste profile prędkości i obraz linii prądu przy

przepływie przez kryzę.

2.4. Analiza niepewności zwężkowego pomiaru strumienia płynu

Pomiar strumienia płynu za pomocą zwężki jest pomiarem pośrednim, tj. wartość

strumienia płynu uzyskiwana jest drogą pośrednią, poprzez wstawienie do wzoru (11)

wartości innych wielkości, mierzonych bądź bezpośrednio (np. ∆ p), bądź także pośrednio; np.

gęstość ρ obliczana jest pośrednio, z zależności (14) lub (15).

Z wykładów Podstaw Metrologii wiadomo, że niepewność pomiaru można obliczyć jako

pierwiastek z sumy kwadratów niepewności cząstkowych, będących iloczynami niepewności

danej wielkości przez tzw. współczynnik wrażliwości. Dla pomiaru zwężkowego wzór na

niepewność pomiaru strumienia płynu ma postać

2

2









U ( q =

+

∈ + 



+ 



+

∆ +

(17)

v )

2

2

1

1

2

u ( C) u ( )

β 4

2

2

u D

u d

u

p

u

4

( )

2

4

( )

2 ( )

2 (ρ)

1− β 

1− β 

4

4

Najczęściej przyjmuje się podawanie wyniku pomiaru przy poziomie ufności 0.95, tak

więc wszystkie niepewności występujące w powyższym wzorze to niepewności tzw.

„dwusigmowe”, czyli ze współczynnikiem rozszerzenia równym k = 2.

Założono też, że wszystkie błędy systematyczne pomiarów zostały wyeliminowane.

2.5. Najistotniejsze niepewności pomiaru zwężkowego

Jak wiadomo z wykładu Podstawy Metrologii niepewności najogólniej można podzielić na

dwie grupy: niepewności typu A – obliczane metodami statystycznymi i niepewności typu B

– wyznaczane innymi metodami. W trakcie ćwiczenia będą stosowane obie metody.

2.5.1. Niepewność wyznaczenia współczynnika przepływu u( C)

Niepewność u( C) wynosi dla kryzy

0.6% dla β < 0.6 lub β (%) dla 0.6 < β < 0.75.

Informacje o tej niepewności są zaczerpnięte z normy [1], i pomimo, że przez autorów

normy były wyznaczone metodami statystycznymi, to z punktu widzenia użytkownika normy

są to niepewności typu B.

2.5.2. Niepewność wyznaczenia liczby ekspansji

Dla kryzy niepewność ta, wg normy [1] wynosi

p

∆

u( )

∈ = 4

(%)

p

Podobnie jak dla niepewności współczynnika przepływu jest to niepewność typu B.

2.5.3. Niepewność pomiaru parametrów geometrycznych zwężki i rurociągu

Metody pomiaru parametrów geometrycznych takich jak np. średnica otworu zostały

zmierzone w laboratorium pomiarów wielkości geometrycznych Instytutu. Niepewności u( D)

i u( d) obliczone w trakcie tych pomiarów poda prowadzący ćwiczenie, w zależności od tego,

jaki rurociąg i kryza będą wykorzystane w trakcie ćwiczenia. Należy je traktować jako

niepewności typu B, chociaż wykonujący pomiary prawdopodobnie stosował metody

statystyczne do oszacowania tych niepewności.

2.5.4. Niepewność pomiaru ciśnienia różnicowego

7

Niepewność pomiaru ciśnienia różnicowego u(∆ p) na zwężce wyznaczyć można poprzez

wykonanie serii pomiarów (co najmniej 10) tej wielkości. Będzie to więc niepewność typu

A, czyli wyznaczana metodami statystycznymi.

2.5.5. Niepewność pomiaru ciśnienia w rurociągu

Także ta niepewność u( p) będzie wyznaczona poprzez wykonanie serii pomiarów (co

najmniej 10). Będzie to więc także niepewność typu A.

2.5.6. Niepewność pomiaru temperatury

Temperatura będzie mierzona za pomocą czujnika Pt 100 (platynowy rezystor o rezystancji

100 Ω w temperaturze 0 °C). Współpracuje on z przetwornikiem przekształcający zmiany

rezystancji na sygnał cyfrowy temperatury. W świadectwie wzorcowania podano jego

niepewność ze współczynnikiem rozszerzenia k = 2. Jest to także niepewność typu B.

2.5.7. Niepewność wyznaczenia gęstości

Gęstość gazu suchego obliczamy z wzoru (14). Jest to wiec też pomiar pośredni,

niepewność obliczenia gęstości można wyznaczyć z wzoru

u(ρ )

2

= u (ρ +

+

+

n )

2

u ( p)

2

u ( T )

2

u ( K )

Niepewność gęstości w warunkach normalnych z danych tablicowych (a więc typu B)

u(ρ n) = 0.002 kg/m3.

Niepewność względna współczynnika ściśliwości (typu B, wyznaczanego w trakcie

obliczeń z wzoru Redlicha – Kwonga) wynosi u( K) = 20(1 – K) %.

Należy pamiętać, że p - ciśnienie absolutne w rurociągu - wyznacza się czasem (o ile nie

ma do dyspozycji przetwornika ciśnienia absolutnego) pośrednio, jako sumę ciśnienia

atmosferycznego pb i zmierzonego nadciśnienia w rurociągu.

Uwzględniając dodatkowe czynniki występujące we wzorze (15), tj. ϕ, pp i ρ p,s , można też

uwzględnić niepewność obliczenia gęstości gazu wilgotnego.

3. Opis stanowiska

W ćwiczeniu wykorzystuje się niskociśnieniowe stanowisko powietrzne. Składa się ono z

wentylatora wymuszającego przepływ, zaworu do regulacji przepływu, zestawu gazomierzy

kontrolnych (w ćwiczeniu nie będą one wykorzystywane), komory filtrów chroniących

gazomierze kontrolne oraz z ciągu przepływomierza sprawdzanego, w którym będzie

zamontowany rurociąg z kryzą, stosowaną do pomiaru w niniejszym ćwiczeniu.

Do pomiaru ciśnienia absolutnego i ciśnienia różnicowego zastosowane zostaną

inteligentne przetworniki firmy Rosemount. Do pomiaru temperatury zastosowano platynowy

czujnik rezystancyjny Pt100 z przetwornikiem Rosemount.

4. Wykonanie ćwiczenia

Wstępne dane o instalacji i badanym płynie będą podane na ćwiczeniach przez

prowadzącego zajęcia. Dane te należy zamieścić w otrzymanym protokole.

Następnie należy wykonać pomiary parametrów otoczenia, tj. ciśnienia atmosferycznego,

temperatury i wilgotności, określając przy tym niepewności pomiarów tych wielkości na

podstawie oznaczeń na podzielni lub świadectw przyrządów.

Kolejna czynność to sprawdzenie długości prostych odcinków pomiarowych przed i za

zwężką i porównanie ich z wymaganiami normy [1].

8

Następnie, po uruchomieniu wentylatora wymuszającego przepływ w rurociągu należy

dokonać serii pomiarów nadciśnienia (lub ciśnienia absolutnego) w rurociągu, ciśnienia

różnicowego i temperatury. Wyniki zapisać w otrzymanym formularzu protokołu.

5. Opracowanie wyników pomiarów

Po wykonaniu części pomiarowej należy wykonać obliczenia za pomocą odpowiedniego

komputerowego arkusza kalkulacyjnego. Program umożliwia śledzenie toku obliczeń i

wyników posrednich, oblicza też, poza strumieniem płynu, niepewności pomiaru

spowodowane rożnymi czynnikami i niepewność złożoną.

Jeżeli jest możliwość porównania wyniku pomiaru za pomocą zwężki z wynikiem pomiaru

wykonanym innym przepływomierzem (zainstalowanym szeregowo) to należy sprawdzić czy

wyniki te są zgodne (w granicach niepewności obu przepływomierzy)

6. Treść sprawozdania

W sprawozdaniu należy zamieścić:

1. Schemat instalacji pomiarowej

2. Protokół pomiarów

3. Wyniki obliczeń

4. Analizę niepewności wykonana na podstawie wyliczonych wartości niepewności poszcze-

gólnych parametrów i niepewności złożonej. Analiza powinna obejmować ocenę, które ze

źródeł błędów są najistotniejsze, a wiec jakie czynności należy podjąć aby efektywnie

podwyższyć dokładność pomiaru. Ponadto należy dokonać oceny, które niepewności (lub

ich grupa) są pomijalnie małe.

6. Jeżeli jest możliwość porównania wyniku pomiaru za pomocą zwężki z wynikiem pomiaru

wykonanym innym przepływomierzem (zainstalowanym szeregowo) to należy sprawdzić

czy wyniki te są zgodne (w granicach niepewności obu przepływomierzy)

7. Zasady opracowywania oraz kryteria oceny sprawozdań z ćwiczeń laboratoryjnych

wykonywanych w Laboratorium Przepływów IMiSP

Zasady ogólne

Należy przestrzegać zapisów instrukcji do ćwiczeń. W każdej instrukcji (zwykle w

końcowej części) podano, co ma zawierać sprawozdanie. Poniżej podano bliższą interpretację

poszczególnych pozycji sprawozdania. Interpretacja ta jest podstawą do oceny sprawozdania.

Opis przeprowadzonych badań (przebieg ćwiczenia) oraz schemat stanowiska

Te dwa punkty sprawozdania łącznie powinny być opracowane tak, aby na ich podstawie

eksperyment będący przedmiotem ćwiczenia można było odtworzyć w dowolnym innym

laboratorium na świecie.

Zdarzały się przypadki, że odkrycia warte nagrody Nobla (np. wykrycie antygrawitacji)

wskutek złego udokumentowania nie mogły być zweryfikowane w innych laboratoriach, a w

takich przypadkach wyniki badań uznaje się za niewiarygodne. Podczas pracy w laboratorium

należy więc opanować zasady właściwego opracowywania wyników badań. Jest to istotny

element oceny sprawozdania.

Szczególnie starannie należy wykonać schemat stanowiska. Czy schemat ten będzie w

formie bardziej realistycznej czy bardziej umownej, symbolicznej, nie ma to większego

znaczenia. Ważne, żeby były na nim wszystkie istotne z punktu widzenia określonego

badania urządzenia, aparatura pomiarowa i pomocnicza, połączone logicznie w całość.

Wszystkie elementy schematu należy opisać w legendzie podając conajmniej typ

urządzenia, producenta, zakres pomiarowy i niepewności wskazań. Jeśli jest dostępne

9

świadectwo legalizacji, wzorcowania lub uwierzytelnienia – podać jego numer i kto je

sporządził.

Jeżeli istotne dla badanych zjawisk są wymiary geometryczne należy je też podać (np.

średnica i długość rurociągu, w którym zainstalowany jest badany przepływomierz).

Fotografia stanowiska lub/i jego fragmentów może być pożytecznym elementem

uzupełniającym, nie może jednak zastąpić schematu.

Opracowanie wyników badań

Należy załączyć wyniki pomiarów wykonywanych bezpośrednio, wyniki obliczeń

pośrednich i wyniki końcowe. Bardzo ważna jest analiza niepewności lub analiza błędów.

Jeśli tylko jest to możliwe, wyniki końcowe należy przedstawiać w postaci graficznej (np.

charakterystyka badanego przyrządu, krzywa błędów). Przy opracowywaniu wykresów

należy dobrze dopracować opis osi – standardowe wykresy generowane np. przez MSExcel

zwykle nie są zadowalające.

Wnioski

Czasem instrukcja zawiera wskazówki jakie najważniejsze elementy należy przeanalizować i

ująć we wnioskach. Jeśli nie, to należy posłużyć się własną dociekliwością i zmysłem

krytycznym. Wnioski są zwykle dobrym materiałem dla sprawdzenia i oceny, czy ćwiczenie

było wykonywane świadomie i ze zrozumieniem badanych zjawisk, czy mechanicznie, bez

zaangażowania potencjału intelektualnego.

Bibliografia:

[1] PN-ISO 5167:2005. Pomiar strumienia płynu za pomocą zwężek

[2] Turkowski M. Przemysłowe sensory i przetworniki pomiarowe, OWPW, Warszawa, 2002

10