Zadania z przedmiotu Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I semestr seria 2
1. Wyznaczyć parzystość permutacji:
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
(a)
,
(b)
,
(c)
,
5 6 4 7 2 1 3
3 5 2 1 6 4 8 7
2 4 1 7 6 5 3
1
2
3
. . .
n − 2 n − 1 n
1 2
3
4 . . .
n − 1
n
(e)
, (f)
.
n n − 1 n − 2 . . .
3
2
1
n 1 n − 1 2 . . .
. . .
. . .
2. Wykazać, że każda permutacje σ ∈ S
,
,
n mo żna przedstawić jako iloczyn (1) transpozycji postaci (1, 2), (1, 3), ... , (1, n); (2) transpozycji postaci (1, 2), (2, 3), ... , (n − 1, n); (3) cykli (1, 2) i (1, 2, . . . , n); (4) jeśli dodatkowo σ jest permutacja parzysta, to można ja przedstawić jako iloczyn cykli
,
,
,
d lugości 3;
3. Niech m > 1 oraz a, b, c, d beda liczbami ca lkowitymi takimi, że NWD(c, m) = 1, NWD(d, m) =
,
,
1, a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m). Wykazać, że jeśli c | a i d | b, to a ≡ b (mod m).
c
d
4. (a) Wykazać, że ostatnie cyfry liczb 2n (n = 1, 2, 3 . . . ), napisanych w uk ladzie dziesietnym
,
tworza ciag okresowy. Wyznaczyć ostatnia cyfre liczby 21000.
,
,
,
,
(b) Zbadać ciag reszt z dzielenia przez 100 liczb 2n (n = 1, 2, . . . ).
,
(c) Dowieść, że reszty z dzielenia przez 1000 liczb 2n (n = 1, 2, . . . ) tworza ciag okresowy.
,
,
5. (a) Wykazać, że liczba naturalna m jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy różnica miedzy miedzy suma jej cyfr znajdujacych sie na miejscach nieparzystych a suma jej cyfr znaj-
,
,
,
,
,
,
dujacych sie na miejscach parzystych jest podzielna przez 11.
,
,
(b) Opierajac sie na kongruencjach 1000 ≡ −1 (mod 27), 1000 ≡ −1 (mod 37) wyprowadzić
,
,
cechy podzielności przez 27 i przez 37.
√
√
6. (a) Wykazać, że dla dodatniej liczby wymiernej a zbiór Q( a) = {x + y a | x, y ∈ Q} wraz ze zwyk lymi dzia laniami dodawania i mnożenia liczb jest cia lem.
√
√
√
(b) Wykazać, że zbiór
Q( 3 2) = x + y 3 2 + z 3 4 | x, y, z ∈ Q
wraz ze zwyk lymi dzia laniami dodawania i mnożenia liczb jest cia lem.
7. (a) Wyznaczyć wszystkie funkcje f : Q → Q spe lniajace warunek f (x + y) = f (x) + f (y) dla
,
x, y ∈ Q.
(b) Wyznaczyć wszystkie funkcje f : Q → Q spe lniajace warunki: f (x + y) = f (x) + f (y) oraz
,
f (xy) = f (x)f (y) dla x, y ∈ Q.
√
√
(c) Wyznaczyć wszystkie funkcje f : Q( 2) → Q( 2) spe lniajace warunki: f (x + y) = f (x) +
√
,
f (y) oraz f (xy) = f (x)f (y) dla x, y ∈ Q( 2).
(d) Wyznaczyć wszystkie funkcje f : R → R spe lniajace warunki: f (x + y) = f (x) + f (y) oraz
,
f (xy) = f (x)f (y) dla wszystkich x, y ∈ R.
8. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: (a)
a(4 − 3i)2 + b(1 + i)2 = 7 − 12i, (b)
a
+
b
= 1,
(c)
a 1+i + b 4−i = 1 − i.
2−3i
2+3i
3−i
1−2i
9. Przedstawić w postaci trygonometrycznej nastepujace liczby zespolone (bez pomocy tablic):
,
,
a)
1,
−1,
i,
−i;
b)
1 + i,
1 − i,
−1 + i,
−1 − i;
√
√
√
√
c)
1 + i 3,
1 − i 3,
−1 + i 3,
−1 − i 3;
√
√
√
√
√
√
√
√
d)
6 +
2 + i( 6 −
2),
6 −
2 + i( 6 +
2);
√
√
√
√
p
p
p
p
e)
2 +
3 + i
2 −
3,
2 −
3 + i
2 +
3.
1