Przykład zastosowania zasady zachowania pędu: rakieta z napędem odrzutowym

sytuacja początkowa

czas t

układ obejmuje rakietę o aktualnej

masie mr( t)

sytuacja końcowa

czas t+ dt

układ obejmuje rakietę o aktualnej

masie mr( t+ dt) i paliwo spalone w przedziale czasu dt

sytuacja na rysunku przedstawiona w laboratoryjnym układzie odniesienia (obserwator zewnętrzny)

wielkości stałe:

• szybkość zużycia paliwa:

− dmr =

ozn µ > 0

dt

• prędkość odrzutu spalanego paliwa – równa co do wartości prędkości, z jaką rakieta oddala się od odrzuconego paliwa

υ

= ( υ ( t) + dυ ) − υ ( t) wzgl

r

r

p

pęd całkowity układu

• w chwili t:

p( t) = m ( t) υ ( t) r

r

(1)

• w chwili t+ dt:

p( t + dt) = ( m ( t) + dm ) ( υ ( t) + dυ ) + dm υ ( t) r

r

r

r

p

p

podstawiamy:

υ t() = υ ( t) + dυ − υ

p

r

r

wzgl

dm = −

p

r

dm

(masa spalonego w czasie dt paliwa jest równa ubytkowi masy rakiety, z przeciwnym znakiem)

ostatecznie:

p( t + dt) = ( m ( t) + dm ) ( υ ( t) + dυ ) − dm ( υ ( t) + dυ − υ

)

r

r

r

r

r

r

r

wzgl

(2)

z zasady zachowania pędu:

p( t) = p( t + dt) porównujemy prawe strony równań (1) i (2):

m ( t) υ ( t) = ( m ( t) + dm ) ( υ ( t) + dυ ) − dm ( υ ( t) + dυ − υ

)

r

r

r

r

r

r

r

r

r

wzgl

po prawej stronie otrzymanego równania dokonujemy mnożenia wszystkich nawiasów i redukujemy wyrazy występujące w równaniu z przeciwnymi znakami (lub z tym samym znakiem, ale po przeciwnych stronach równania) m ( t) υ ( t)

r

r

=

= m t() υ ( t) + m ( t) dυ + dm υ ( t) + dm dυ − dm υ t() − dm dυ + dm υ

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

wzgl

otrzymujemy równanie:

m t

( ) dυ = − dm υ

r

r

r

wzgl / : dt

(3)

dυ

dm

r

r

m ( t)

= −

υ

r

wzgl

dt

dt

= ar( t) = µ

m t

( ) a t

( ) = µ υ

r

r

wzgl

= Fc = const

ostatecznie siła ciągu rakiety

= µ

F

υ

c

wzgl

obliczenie chwilowej prędkości rakiety

z (3):

m ( t) dυ = − dm υ

r

r

r

wzgl

podstawiamy:

m t

( ) = m 0 − µ t

r

r

(ubytek masy rakiety zależy liniowo od czasu) oraz:

dm t

( )

 d



dm

r

=

⋅ dt =

( m 0 − µt) ⋅ dt = − µ dt r

r





dt

 dt



równanie (3) przyjmuje postać:

( m

− µ

0 − µ t) dυ

= µυ

dt

r

r

wzgl

/ : ( m

)

r 0

t

µυwzgl

υ =

d

dt

r

m 0 − µ t

r

obustronnie całkujemy

µυwzgl

∫ dυr = ∫

m 0

µ

r

−

dt

t

1

υ t

( )

µυ

r

=

wzgl ∫

dt

m 0

µ

r

− t

całkowanie przeprowadzamy metodą przez podstawienie (procedura znalezienia nowej zmiennej całkowania z, używana w celu doprowadzenia całki do postaci prostszej, tzn. takiej, którą można obliczyć przy użyciu podstawowych wzorów na całkowanie):

m

−

=

→ −

=

→

= −

0

µ

1

t

z

µ dt dz

dt

dz

r

µ

podstawiamy nową zmienną całkowania

1

1

1

υ ( t) = µ υ

(−

dz) = − υ

dz = ...

∫

∫

r

wzgl

z

wzgl

µ

z

wykorzystujemy jeden z podstawowych wzorów na całkowanie: 1

dx

∫

= ln x + C

x

(ln – logarytm naturalny, tzn. logarytm o podstawie e) gdzie C jest tzw. stałą całkowania konieczną przy obliczaniu całki nieoznaczonej (tzn. nie posiadającej określonych granic całkowania); wartość stałej całkowania jest określona przez warunki brzegowe – informacje o wartości zmiennej całkowania w pewnej sytuacji

... = − υ

ln z + C = − υ

ln m

µ

υ

µ

0 −

t + C = −

ln( m 0 − t) + C

wzgl

wzgl

r

wzgl

r

> 0

otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne:

υ t

( ) = − υ

ln( m

µ

0 −

t) + C

r

wzgl

r

rozwiązanie szczegółowe otrzymujemy wyznaczając stałą całkowania C z warunku brzegowego:

t = 0

→ υ ( t)

r

= 0

(w momencie rozpoczęcia ruchu prędkość rakiety jest = 0) podstawiamy warunek brzegowy do rozwiązania ogólnego: 0 = − υ

ln( m

µ )

0

C = υ

ln m

wzgl

r 0 −

⋅ + C →

wzgl

r 0

podstawiamy otrzymaną stałą całkowania do rozwiązania ogólnego: υ ( t) = υ

−

ln( m

− µ t) + υ

ln m

r

wzgl

r 0

wzgl

r 0

ponieważ różnica logarytmów naturalnych jest logarytmem naturalnym ilorazu m

υ ( t

r

) = υ

0

ln

r

wzgl

m

0 − µ t

r

zależność prędkości rakiety od czasu przedstawia wykres:

υr

t

t 0

gdyby cała masa rakiety mogła zostać zużyta, rakieta po czasie mr 0

t =

0

µ

mogłaby osiągnąć nieskończoną prędkość