Wyboczenie prętów  wzór Eulera
a)
P P
w
x
x
w
P
w
l
M = P �� w
g
2
1 d w EI
Równanie osi ugiętej pręta
@� -� ; M =� ;
g
r� dx2 r�
2
M
d w
g
=� -� ;
dx2 EI
P
w,, +� w =� 0;
EI
Równowaga trwała Równowaga chwiejna Równowaga obojętna
P
2
=� k ;
EI
w"+�k2w =� 0;
w =� C sin kx+� Dcos kx;
Warunki brzegowe dla obu końców przegubowo podpartych
1) Dla x=0 w=0
2) Dla x=l w=0
 x=0, to D=0; w takim razie
w=Csinkx
x=l, to sinkl=0
kl=nĄ dla n=1,2& & ..
Przykład przekroju poprzecznego
pręta
P
��l =� np� ;
Imax
EI
P
2
l2 =� n2p� ;
Imin
EI
?
2
n2p� EI
P =� .
l2
2
p� EImin
Pkr =�
2
p� EI
l2
Pmin =� n =�1
l2
Sposoby podparcia pręta
2
lw  długość wyboczeniowa
p� EImin
Pkr =�
2
lw
Inna postać wzoru Eulera
wprowadzając oznaczenia:
Pkr lw
s�kr =� ; s =� ;
Smukłość pręta
A
Imin
A
2
p� E
s�kr =�
s2
s�kr Ł� s� ; s�kr Ł� RH
prop
E
s�kr =� s� ; sgr =� p� ;
prop
s�
prop
Wzór Eulera słuszny dla smukłości większych od sgr
s�kr
s�pl
s�prop Euler
s
sgr
Wzór empiryczny Tetmajera-Jasińskiego
s Ł� sgr
Dla
s� -�s�
pl prop
s�kr =� a -� bs; s�kr =� s� -� s
pl
sgr
Pojęcie siły dopuszczalnej ze względu na wyboczenie
Pkr
Pdop =�
nw
nw  współczynnik bezpieczeństwa ze względu na wyboczenie
1uwzględnia m.in. imperfekcje geometryczne, brak osiowości siły ściskającej
Zadanie 1 Pkr=?
20
Dane:
l=1.0m
E=200 GPa
nw=1,5
s� =� RH =� 200MPa
30
prop
s� =� Re =� 280MPa
pl
Oblicz wartość dopuszczalną siły P
1. Liczymy smukłość graniczną:
E 200000
sgr =� p� =� p� =� 99,3
s� 200
prop
lw
s =� ;
2. Liczymy smukłość pręta:
Imin
A
lw=l=1m=1000 mm  podparcie przegubowe
A=300 mm2
yc
20
Izc=20a303/36=15000 mm4
Iyc=30a203/48=5000 mm4
c
zc
30
Iyc=Imin
1000
s =� =� 424
5000
300
3. Porównujemy smukłość pręta do smukłości granicznej:
s >� sgr
W takim razie stosujemy wzór Eulera
2
p� EImin
Pkr =�
2
lw
2
p� 2��105 ��5��103
Pkr =� =� 9,86��103[N] =� 9,86kN
106
Pkr
Pdop =� =� 6,57kN
nw
Zadanie 2
Dla jakiej długości pręta z zadania poprzedniego wyboczenie zachodzi
powyżej granicy proporcjonalności?
Zadanie 3
Pdop
4a
3a
l
4a
3a
4a
6a
Wyznaczyć dopuszczalną wartość siły ściskającej P dla pręta o przekroju
pokazanym na rysunku.
Dane: a=5mm, l=1 m, E=70000MPa; Re=s�pl=180 MPa;
RH=s�prop=100 MPa; nw=2;