Kilka zadań przygotowawczych 1. Rzucamy nieskończenie wiele razy prawid lowa kostka. Niech X, Y , Z ozna-
,
,
czaja, odpowiednio, numery rzutów w których pojawi ly sie pierwsza dwójka, pierw-
,
,
sza trójka i pierwszy nieparzysty numer. Obliczyć E max{X, Y, Z} oraz E(Y |Z).
2. Ze wzgledu na z le warunki pogodowe, konkurs skoków narciarskich w Lilleham-
,
mer bedzie sk lada l sie tylko z jednej serii, do której zakwalifikowano 30 zawodników,
,
,
oddajacych kolejno po jednym skoku. Jeśli wynik danego zawodnika jest lepszy niż
,
poprzednie rezultaty, skoczek zostaje tymczasowym liderem konkursu. Zak ladamy, że wszyscy skoczkowie maja te same umiejetności oraz że uzyskanie tego samego
,
,
wyniku przez dwóch zawodników nie jest możliwe. Niech X oznacza liczbe liderów
,
w konkursie, a Y bedzie numerem zwycieskiego zawodnika. Obliczyć
,
,
EX, Var X
oraz E(X|Y ).
3. Po liczbach ca lkowitych porusza sie pionek, w chwili poczatkowej znajdujacy sie
,
,
,
,
w zerze. W n-tym ruchu (n = 1, 2, . . .) pionek skacze do jednej z sasiadujacych liczb
,
,
,
ca lkowitych z prawdopodobieństwami pn, qn, odpowiednio (zależacymi od numeru
,
ruchu). Udowodnić, że prawdopodobieństwo tego, że pojawi sie nieskończenie wiele
,
serii 2012 kolejnych ruchów w prawo, wynosi 0 lub 1.
4. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad jednostajny na trójkacie o wierzcho lkach
,
(1, 0), (0, 1) oraz (−1, 0). Dowieść, że zmienne X/(1 − Y ) oraz Y sa niezależne.
,
Obliczyć E(X|Y ) oraz E((2X − Y + 1)2|Y ).
5. Dany jest ciag (X
,
n)n≥1 niezale żnych zmiennych losowych, przy czym dla n ≥ 1
zmienna Xn ma rozk lad jednostajny na [0, n]. Czy ciag
,
X1 + X2 + . . . + Xn ,
n = 1, 2, . . . ,
n
jest zbieżny p.n.?
6∗. Dany jest ciag (X
,
n)n≥1 niezale żnych zmiennych losowych, przy czym dla n ≥ 1
zmienna Xn ma rozk lad Poissona z parametrem n. Dowieść, że ciag
,
X1 + X2 + . . . + Xn ,
n = 1, 2, . . . ,
n2
jest zbieżny p.n. i wyznaczyć granice.
,
7. Zmienne X1, X2, . . . sa niezależne, przy czym dla n ≥ 1 zmienna X
,
n ma
dwustronny rozk lad wyk ladniczy z parametrem λn > 0, tzn. z gestościa
,
,
1
gn(x) = λne−λn|x|.
2
Jaki warunek musi spe lniać ciag (λ
X
,
n)n≥1, by szereg P∞
n=1
n by l zbie żny p.n.?
8. Zmienna losowa (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozk lad normalny o średniej (0, 0).
Udowodnić, że zmienne X, Y sa niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy X2 i Y 2 sa
,
,
nieskorelowane.
9. Zmienne X1, X2, . . . sa niezależne, przy czym dla n ≥ 1 zmienna X
,
n ma
rozk lad Bernoulliego z parametrami n, 1/n.
a) Udowodnić, że lim supn→∞ Xn = ∞ p.n..
√
b) Dowieść, że ciag ( n X
,
n)n≥1 jest zbie żny w Lp dla dowolnego 1 ≤ p < ∞, ale nie jest zbieżny w L∞.
c) Czy rodzina {Xn}n≥1 jest jednakowo ca lkowalna?
10.
Zmienne losowe X, X1, X2, . . . przyjmuja wartości w przedziale [0, 1] i
,
spe lniaja warunek lim
=
,
n→∞ EX p
n
EXp dla dowolnego 1 ≤ p < ∞. Dowieść, że dla dowolnej funkcji ciag lej f : [0, 1] →
,
R zachodzi zbie żność limn→∞ Ef (Xn) = Ef (X).
11. Rozstrzygnać, czy istnieja ciagi (X
ace nastepujace warunki.
,
,
,
n)n≥1 spe lniaj ,
,
,
a) Zmienne X1, X2, . . . sa wspólnie ograniczone, (X
,
n)n≥1 zbiega w L1, ale nie
zbiega w L4.
b) (Xn)n≥1 zbiega w L2, ale rodzina {Xn}n≥1 nie jest jednostajnie ca lkowalna.
c) (Xn)n≥1 zbiega p.n., nie zbiega w L2, ale zbiega w L1.
d) Zmienne X1, X2, . . . sa niezależne, maja scentrowane rozk lady normalne, ciag
,
,
,
(Xn)n≥1 zbiega p.n. do 0, ale nie zbiega w L2.
12. W wyborach startuja politycy A i B, z których każdy ma poparcie co najmniej
,
30% spo leczeństwa. W dniu wyborów przeprowadzamy sondaż na grupie losowych g losujacych. Ile osób musi wziać udzia l w sondażu, tak by z prawdopodobieństwem
,
,
≥ 0, 95 móc przewidzieć wynik wyborów z dok ladnościa do 1% ?
,
Zachecam także do przerobienia zadań kartkówkowych znajdujacych sie na stronie.
,
,
,