CAA
KI KRZYWOLINIOWE
Całka krzywoliniowa pierwszego rodzaju (nieskierowana)
Rozważmy Å‚uk gÅ‚adki L ‚" R2 o równaniach parametrycznych:
x = x(t), y = y(t), t " Ä…, ²
Długość l tego łuku jest równa
²

l = [x (t)]2 + [y (t)]2dt
Ä…
A
ukowi L nie nadajemy żadnego kierunku - jest to łuk nieskierowany.
Przypuśćmy, że w każdym punkcie łuku L określona jest pewna funkcja
dwóch zmiennych f (x, y).
PrzedziaÅ‚ Ä…, ² dzielimy punktami t1, t2, ..., tn-1 na n podprzedziałów,
przy czym
Ä… = t0 < t1 < t2 < ... < tn-1 < tn = ²
Podziałowi temu odpowiada podział łuku L na n części punktami A1 ,
A2, ... , An-1, przy czym długości tych części są równe odpowiednio
tk

"lk = [x (t)]2 + [y (t)]2dt, k = 1, 2, ..., n
tk-1
W każdym podprzedziale tk-1, tk wybieramy nastÄ™pnie punkt Äk. Punk-
towi temu odpowiada na Å‚uku L punkt C(xk, yk).
Utwórzmy sumę
n

Sn = f (xk, yk)"lk
k=1
i rozważmy normalny ciÄ…g podziałów przedziaÅ‚u Ä…, ² .
Definicja 1 (całki krzywoliniowej nieskierowanej).
Jeżeli dla każdego normalnego ciÄ…gu podziałów przedziaÅ‚u Ä…, ² ciÄ…g
sum całkowych (Sn) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależ-
nej od wyboru punktów Äk, to tÄ™ granicÄ™ nazywamy caÅ‚kÄ… krzywoliniowÄ…
nieskierowanÄ… funkcji f (x, y) po Å‚uku L i oznaczamy symbolem

f (x, y)dl
L
W skrócie

n

de f
f (x, y)dl = lim f (xk, yk)"lk
´n0
k=1
L
gdzie ´n oznacza Å›rednicÄ™ podziaÅ‚u przedziaÅ‚u Ä…, ² na n części.
Analogicznie definiujemy całkę krzywoliniową nieskierowaną w prze-
strzeni R3.
Wniosek 1 (zastos. geometryczne całek krzywoliniowych nieskier.).
1. Długość |L| łuku gładkiego L dana jest wzorem

|L| = dl
L
2. Jeżeli f (x, y) jest funkcją ciągłą i f (x, y) > 0 na łuku L, to pole |S|
powierzchni walcowej równoległej do osi OZ i ograniczonej z góry
przez łuk L a z dołu przez płaszczyznę XOY wyraża się wzorem

|S| = f (x, y)dl
L
Twierdzenie 1 (o zamianie całki krzywol. nieskierowanej w R2).
Jeżeli funkcja f (x, y) jest ciągła na otwartym, zwykłym łuku gładkim
L ‚" R2 o przedstawieniu parametrycznym
x = x(t), y = y(t), t " Ä…, ²

to całka krzywoliniowa f (x, y)dl istnieje, przy czym
L
²

f (x, y)dl = f (x(t), y(t)) [x (t)]2 + [y (t)]2dt
Ä…
L
Wniosek 1. Jeżeli krzywa L jest określona równaniem y = g(x) dla
a x b, to zachodzi wzór
b

f (x, y)dl = f (x, g(x)) 1 + [g (x)]2dx
a
L
Twierdzenie 2 (o zamianie całki krzywol. nieskierowanej w R3).
Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest ciągła na otwartym, zwykłym łuku gładkim
L ‚" R3 o przedstawieniu parametrycznym
x = x(t), y = y(t), z = z(t) t " Ä…, ²

to całka krzywoliniowa f (x, y, z)dl istnieje, przy czym
L
²

f (x, y, z)dl = f (x(t), y(t), z(t)) [x (t)]2 + [y (t)]2 + [z (t)]2dt
Ä…
L
Całka krzywoliniowa drugiego rodzaju (skierowana)
Rozważmy otwarty łuk gładki na płaszczyz
nie R2 o równaniach para-
metrycznych:
x = x(t), y = y(t), t " Ä…, ²
Wartości ą parametru t odpowiada punkt A(x(ą), y(ą)) " R2, natomiast
wartoÅ›ci ² punkt B(x(²), y(²)) " R2.
A
ukowi temu można nadać kierunek, przyjmując A za początek łuku i
B za koniec, albo na odwrót.
Definicja 2.
Jeśli kierunek łuku jest zgodny z kierunkiem wzrostu parametru mówimy,
że przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek są zgodne.
W przeciwnym przypadku mówimy, że przedstawienie parametryczne
Å‚uku i nadany mu kierunek sÄ… niezgodne.
A
uk, któremu nadano kierunek nazywamy łukiem skierowanym.
Stosujemy oznaczenia

AB lub AB  łuk o początku A i końcu B

BA lub BA  łuk o początku B i końcu A

Piszemy, że AB= - BA, co oznacza, że łuki AB i BA różnią się tylko
kierunkiem.

Niech dany będzie otwarty łuk zwykły skierowany AB o przedstawieniu
parametrycznym
x = x(t), y = y(t), t " Ä…, ²
zgodnym z kierunkiem tego Å‚uku.
Ponadto niech dana będzie para uporządkowana [P(x, y), Q(x, y)] funkcji

P(x, y) i Q(x, y), określonych w każdym punkcie łuku AB.
W każdym punkcie (x, y) tego łuku jest zatem określony wektor R o
współrzędnych P(x, y) i Q(x, y), tj.

R = [P(x, y), Q(x, y)]
PrzedziaÅ‚ Ä…, ² dzielimy punktami t1, t2, ..., tn-1 na n podprzedziałów,
przy czym
Ä… = t0 < t1 < t2 < ... < tn-1 < tn = ²

Podziałowi temu odpowiada podział łuku AB na n części punktami A1,
A2, ... , An-1, przy czym punkt Ak(xk, yk) = Ak(x(tk), y(tk)), dla k =
1, 2, ..., n - 1.
W każdym podprzedziale tk-1, tk , k = 1, 2, ..., n, wybieramy punkt Äk.
Punktowi Äk " tk-1, tk odpowiada punkt Ck(¾k, ·k) = Ck(x(Äk), y(Äk)),

Ck "AB. Oznaczmy
"xk = xk - xk-1, "yk = yk - yk-1
i określmy wektory

"lk = ["xk, "yk], Rk = [P(¾k, ·k), Q(¾k, ·k)], k = 1, 2, ..., n
oraz utwórzmy sumę iloczynów skalarnych tych wektorów
n


Sn = Rk ć% "lk
k=1
tj.
n

Sn = [P(¾k, ·k)"xk + Q(¾k, ·k)"yk]
k=1
Rozważmy normalny ciÄ…g podziałów przedziaÅ‚u Ä…, ² .
Definicja 3 (całki krzywoliniowej skierowanej).
Jeżeli dla każdego normalnego ciÄ…gu podziałów przedziaÅ‚u Ä…, ² ciÄ…g
sum całkowych (Sn) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależ-
nej od wyboru punktów Äk, to tÄ™ granicÄ™ nazywamy caÅ‚kÄ… krzywoliniowÄ…

skierowaną (na płaszczyz
nie) pary funkcji [P(x, y), Q(x, y)] po Å‚uku AB
i oznaczamy symbolem

P(x, y)dx + Q(x, y)dy

AB
W skrócie

n

de f
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = lim [P(¾k, ·k)"xk + Q(¾k, ·k)"yk]
´n0
k=1

AB
gdzie ´n oznacza Å›rednicÄ™ podziaÅ‚u przedziaÅ‚u Ä…, ² na n części.
Twierdzenie 3 (o zamianie całki krzywolin. skierowanej w R2).
Jeżeli funkcje P(x, y) i Q(x, y) są ciągłe na otwartym zwykłym łuku

gładkim AB o przedstawieniu parametrycznym
x = x(t), y = y(t), t " Ä…, ²
zgodnym z kierunkiem tego łuku, to całka

P(x, y)dx + Q(x, y)dy

AB
istnieje, przy czym
²
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = [P(x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)]dt

Ä…
AB
Wniosek 2.
Całki krzywoliniowe skierowane różniące się tylko kierunkiem łuku, po
którym całkujemy, mają przeciwne wartości, tj.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = - P(x, y)dx + Q(x, y)dy

AB BA
Wniosek 3.
Jeżeli krzywa K jest sumą otwartych zwykłych łuków skierowanych, tj.
n

K = AkAk+1
k=1
to całkę krzywoliniową skierowaną pary funkcji P(x, y) i Q(x, y) po tej
krzywej określamy jako

n

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = P(x, y)dx + Q(x, y)dy
k=1

K
AkAk+1
Niech dany będzie otwarty łuk zwykły w przestrzeni R3 o równaniach
parametrycznych
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t " Ä…, ²
skierowany od punktu A(x(Ä…), y(Ä…), z(Ä…)) do punktu B(x(²), y(²), z(²)).
Rozważmy trójkę uporządkowaną [P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] funkcji
określonych na tym łuku.

CaÅ‚kÄ™ krzywoliniowÄ… skierowanÄ… trójki funkcji P, Q i R po Å‚uku AB‚" R3
określamy analogicznie jak na płaszczyz
nie i oznaczamy symbolem

P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

AB
Całkę tę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną w przestrzeni.
Twierdzenie 4 (o zamianie całki krzywolin. skierowanej w R3).
Jeżeli funkcje P(x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) są ciągłe na otwartym zwy-

kÅ‚ym Å‚uku gÅ‚adkim AB‚" R3 o przedstawieniu parametrycznym
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t " Ä…, ²
zgodnym z kierunkiem tego łuku, to całka

P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

AB
istnieje, przy czym

P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =

AB
²
= [P(x(t), y(t), z(t))x (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z (t)]dt
Ä…
Orientacja krzywej skierowanej zamkniętej względem jej wnętrza
Definicja 4.
Niech krzywa K będzie kawałkami gładką, skierowaną krzywą Jordana.
Niech P0 oznacza dowolny punkt wewnętrzny jednego z łuków krzywej

K. Rozważmy wektor S styczny do krzywej w punkcie P0, skierowany

zgodnie z kierunkiem tej krzywej oraz wektor normalny n powstały z
Ä„

obrotu wektora S w płaszczyz
nie OXY wokół punktu P0 o kąt .
2

Jeżeli wektor n jest skierowany do wnętrza D krzywej K, to mówimy, że
krzywa K jest skierowana dodatnio (zorientowana dodatnio) względem

swego wnętrza. Jeżeli natomiast wektor n jest skierowany na zewnątrz
obszaru D, to mówimy, że krzywa K jest skierowana ujemnie (zoriento-
wana ujemnie) względem swego wnętrza.
Twierdzenie 5 (Greena).
Å»
Jeżeli funkcje P(x, y) i Q(x, y) są klasy C1 w obszarze normalnym D
(względem osi OX i OY), przy czym brzeg K tego obszaru jest skierowany
dodatnio względem wnętrza, to


"Q "P
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = - dxdy
"x "y
K D
Podany wzór nazywamy wzorem Greena.
Uwaga 1.
Å»
Twierdzenie Greena jest również prawdziwe, gdy obszar D można po-
dzielić na skończoną liczbę obszarów normalnych (względem osi OX i
Å»
OY), nie mających wspólnych punktów wewnętrznych. Obszar D może
być przy tym wielospójny, przy czym K oznacza wówczas sumę krzywych
K1, ..., Kn stanowiÄ…cych brzeg tego obszaru i skierowanych dodatnio
względem D.
Twierdzenie 6 (o niezależności całki krzyw. od drogi całkowania).
Jeżeli funkcje P(x, y) i Q(x, y) są klasy C1 w obszarze jednospójnym D,
to spełniene równości
"Q "P
(1) =
"x "y
w każdym punkcie tego obszaru jest warunkiem koniecznym i wystar-
czającym na to, żeby całka

P(x, y)dx + Q(x, y)dy

AB

po otwartym, kawaÅ‚kami gÅ‚adkim Å‚uku zwykÅ‚ym AB‚" D nie zależaÅ‚a od
kształtu tego łuku, a tylko od punktów A i B.
Definicja 5.
Wyrażenie
(2) P(x, y)dx + Q(x, y)dy
jest różniczką zupełną pewnej funkcji F(x, y) w obszarze D, jeżeli w
każdym punkcie tego obszaru funkcja F(x, y) spełnia następujące wa-
runki:
"F "F
(3) = P(x, y) i = Q(x, y)
"x "y
Definicja 6.
Funkcję F(x, y) spełniającą warunki (3) w obszarze D nazywamy funkcją
pierwotną układu dwóch funkcji P(x, y) i Q(x, y) w tym obszarze. Wy-
znaczenie funkcji pierwotnej F(x, y) nazywamy całkowaniem różniczki
zupełnej.
Twierdzenie 7.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie (2) było
różniczką zupełną pewnej funkcji F(x, y) w obszarze D jest, aby w całym
obszarze D zachodziła równość (1).
Twierdzenie 8.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby całka krzywoliniowa

P(x, y)dx + Q(x, y)dy

AB

nie zależała od drogi całkowania K =AB jest, aby wyrażenie podcałkowe
było różniczką zupełną pewnej funkcji.
Twierdzenie 9.
Jeżeli wyrażenie P(x, y)dx + Q(x, y)dy, stojące pod znakiem całki krzy-
woliniowej jest różniczką zupełną pewnej funkcji F, to

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = F(B) - F(A)

AB
gdzie F(x, y) oznacza dowolną funkcję pierwotną układu funkcji P(x, y)
i Q(x, y).
Wniosek 2.
Jeżeli funkcje P(x, y) i Q(x, y) są klasy C1 i spełniają warunek (1) w
obszarze jednospójnym D, to

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
K
dla każdej, kawaÅ‚kami gÅ‚adkiej krzywej zamkniÄ™tej K ‚" D.
Wniosek 4 (zastosowania geometryczne).
Å»
Jeżeli K jest brzegiem obszaru normalnego D (względem OX i OY),
skierowanym względem niego dodatnio, to pole P tego obszaru wyraża
siÄ™ wzorem

1
|P| = xdy - ydx
2
K