CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Wahadło matematyczne jest to punkt materialny, np. w postaci kulki o masie m i bardzo małym promieniu, zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l, jak to przedstawia poniższy rysunek.

Kiedy ciało wytrącimy z równowagi, zaczyna się ono wahać w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy, można więc znaleźć okres tego ruchu.

Jeśli wahadło zostanie odchylone od pionu o niewielki kąt α, to na masę m działa siła przyciągania ziemskiego mg i naprężenie nici T. Siłę ciężkości można rozłożyć na składową radialną mgcosα i składową styczną mgsinα. Składowa radialna dostarcza niezbędnego przyspieszenia dośrodkowego do utrzymania ruchu po łuku okręgu. Składowa styczna jest siłą przywracającą równowagę układu i sprowadza masę m do położenia równowagi. Siła ta wynosi:

F = - mgsinα

Siła F nie jest proporcjonalna do przemieszczenia kątowego α, ale do sinα.

Dlatego ruch nie jest prostym ruchem harmonicznym. Jeżeli jednak kąt α jest bardzo mały to można przyjąć: sinα = α. Przemieszczenie wzdłuż łuku wynosi x = lα i dla małych kątów ruch jest w przybliżeniu prostoliniowy.

Można więc zapisać:

F = - mgα = - mg (x/l) = -(mg/l)x

Dla małych przemieszczeń siła F jest proporcjonalna do przemieszczenia ze znakiem przeciwnym, co jest właśnie wymaganym kryterium dla prostego ruchu harmonicznego. Stała (mg/l) określa stałą k w równaniu F = - kx.

Przy małej amplitudzie okres wahadła matematycznego wynosi:

T = 2π (m/k)^1/2

lub

T = 2π (l/g)^1/2

Jak widać okres nie zależy od masy wahadła, jak również od amplitudy. Postać tego wzoru zmienia się dla wahań o większej amplitudzie:

T = 2π (l/g)^1/2 [1+ (2/(2²)) sin² (α₀ /2) + (1/(2²)) ((3²)/(2²)) sin⁴ (α₀ /2)]

gdzie α₀ - maksymalne kątowe przemieszczenie.

Okres można wyliczyć z dowolną dokładnością urywając sumowanie nieskończonego szeregu na odpowiednim wyrazie. Np. dla kąta α₀ = 15⁰ okres rzeczywisty różni się od okresu otrzymanego z przybliżonego wzoru:

T = 2π (l/g)^1/2 o niecałe 0,5%.

Wahadło matematyczne jest wygodnym narzędziem do pomiaru przyspieszenia ziemskiego g.

STANOWISKO POMIAROWE

Stanowisko pomiarowe składa się z:

- wahadła matematycznego

- układu elektronicznego, który mierzy okres wahań

- przelicznika wyświetlającego wartość okresu

- kątomierza do odczytywania wartości amplitudy

PRZEBIEG POMIARÓW

1. Zmieniając długość wahadła w dostępnym zakresie co 10cm, pomierzyć

okres wahadła.

2. Przy minimalnej długości wahadła odchylić je o około 45⁰ i puścić. W

miarę zmniejszania się amplitudy, odczytywać co 5⁰ amplitudę i

odpowiadający jej okres.

---