I Pracownia Zakładu Fizyki PL

Nazwisko i imię		Maksym Piotr				Wydział Elektryczny Grupa E.D. 2.5
Data wyk. ćwiczenia	20.04.1998	Numer ćwiczenia	6.1	Temat ćwiczenia	Wyznaczanie elementów LC obwodu metodą rezonansu
Zaliczenie		Ocena		Data		Podpis

1. Zasada pomiaru

Najczęściej występującymi elementami w obwodach elektrycznych są: rezystancja R, pojemność C, indukcyjność L. Pojemność wzajemna dwóch przewodników jest wielkością fizyczną liczbowo równą wartości ładunku elektrycznego jaki należy przenieść z jednego przewodnika na drugi, aby napięcie między nimi zmieniło się o jednostkę: . W układzie SI jednostką pojemności jest farad, bardzo często jednak używa się wielkości dużo mniejszych takich jako pikofarad. Pojemność elektryczna układu przewodników (kondensatorów)zależy od ich rozmiarów, kształtu geometrycznego, wzajemnego położenia i własności elektrycznych środowiska. Najprostszym kondensatorem jest kondensator płaski, składający się z dwóch metalowych płyt oddzielonych warstwą izolatora (np.: powietrze).Pojemność takiego kondensatora jest związana z powierzchnia płyt S oraz odległością między nimi d: , gdzie E jest przenikalnością dielektryczną izolatora znajdującego się między płytami.

Indukcyjność L jest wielkością fizyczna charakteryzującą zdolność obwodu elektrycznego do wytwarzania siły elektromotorycznej samoindukcji. SEM samoindukcji E_S pojawia się zawsze ,gdy w obwodzie natężenie prądu ulega zmianie. Wartość E_S dana jest wzorem: . Indukcyjność L jest wielkością fizyczną liczbowo równą SEM samoindukcji powstającej w obwodzie elektrycznym pod wpływem jednostkowej szybkości zmian natężenia prądu w obwodzie. W układzie SI jednostką pojemności jest henr. Indukcyjność jest wielkością stałą danego obwodu, jej wartość jest związana z geometrycznymi rozmiarami obwodu oraz własnościami magnetycznymi środowiska. Indukcyjność, w przypadku obwodu zawierającego solenoid o liczbie zwojów N i długości l, dana jest wzorem:, gdzie m jest przenikalnością magnetyczną środowiska, a V - objętością solenoidu.

Na rysunku 1 przedstawiony jest obwód złożony z szeregowo połączonych elementów RLC i zasilany ze źródła prądu o zmieniającej się okresowo sile elektromotorycznej: E=E_osinwt, gdzie E_o jest maksymalną wartością siły elektromotorycznej, natomiast iloczyn w i t jest faza jej zmian. W obwodzie tym popłynie prąd zmienny, który spowoduje powstanie SEM samoindukcji E_S. Na oporniku wystąpią zmienne w czasie napięcia, o wartościach chwilowych: U_R(t) i U_C(t). wartość U_R(t) jest iloczynem natężenia prądu i(t) oraz rezystancji R, czyli U_R(t) = i(t) R, natomiast napięcie U_C(t) = 1/C q(t).

Zgodnie z II prawem Kirchhoffa, suma napięć występujących w obwodzie jest równa algebraicznej sumie sił elektromotorycznych: U_R(t) + U_C(t) = E + E_S albo inaczej . Rozwiązaniem powyższego równania jest wzór: . Maksymalna wartość natężenia prądu i_o oraz przesunięcia fazowego f natężenia prądu względem SEM E są wielkościami zależnymi od wartości elementów RLC. Po wykonaniu odpowiednich operacji matematycznych (metoda analityczna lub metoda wykresów wskazowych) wartość i_o wynosi: oraz przesunięcie fazowe f dane

jest wzorem:. W szeregowym obwodzie RLC zasilanym ze źródła prądu o sile elektromotorycznej E=E_osinwt , płynie prąd elektryczny o natężeniu:, gdzie Z jest modułem impedancji, zwanym oporem pozornym obwodu (zawadą) .

2. Schemat pomiarowy

Idealny obwód drgający (rys.2) zawierający tylko elementy L i C. Po naładowaniu kondensatora do napięcia U_O , w obwodzie popłynie okresowo zmienny prąd elektryczny o natężeniu:, gdzie i_o jest amplitudą natężenia prądu zależną od U_O w następujący sposób:. Wzór Thomsona określa nam wielkość w_o , czyli pulsację drgań swobodnych obwodu:. W rzeczywistych obwodach drgających rezystancja R nie jest równa zeru, toteż występują w nich straty energetyczne związane z wydzielaniem się ciepła i poprzez to zanikanie prądu elektrycznego. Aby temu zapobiec należy do obwodu włączyć zewnętrzne źródło energii elektrycznej o sile okresowo zmiennej . Wówczas chwilowa wartość natężenia prądu opisuje zależność , gdzie amplituda . Wynika z tego, że w danym obwodzie RLC amplituda natężenia prądu osiąga wartość maksymalną: tj. gdy pulsacja zewnętrzna SEM będzie równa wartości w_r : , gdzie w_r jest pulsacją rezonansową i można ją zapisać jako: . Rezonansem elektrycznym nazywamy zjawisko występowania maksymalnej amplitudy natężenia prądu w obwodzie RLC przy pulsacji siły elektromotorycznej równej pulsacji drgań własnych obwodu. Zjawisko rezonansu w obwodzie występuje jeśli: w = w_r. W przypadku rezonansu przesunięcie fazowe f między natężeniem prądu

a siła elektromotoryczną jest równe zeru.

Przebieg ćwiczenia

W celu przeprowadzenia ćwiczenia należy zestawić obwód składający się z cewki o indukcyjności L_X , który należy wyznaczyć, kondensatora wzorcowego o pojemności C_o i miliamperomierza. Źródłem zasilania jest generator drgań sinusoidalnych G o regulowanej częstotliwości n, schemat obwodu przedstawiony jest na rysunku 3. Po zamknięciu wyłącznika W wstępnie dobieramy wartość częstotliwości, przy której wskazania miliamperomierza są maksymalne.. Następnie przeprowadzamy pomiary natężenia prądu w obwodzie dla kilkunastu różnych wartości n, mniejszych i większych od częstotliwości rezonansowej n_r.

Przy wyznaczaniu pojemności C_X badanego kondensatora, należy go włączyć do obwodu w miejsce kondensatora wzorcowego, cewkę L_x zastąpić - wzorcową o indukcyjności L_o. Postępujemy analogicznie jak wyżej, wykonując kilkanaście pomiarów natężenia prądu, przy różnych wartościach n.

3. Wyniki pomiarów

W tabelach poniżej przedstawione zostały pomiary sporządzone dla cewki L₁ (dwa pomiary) oraz kondensatora C₁ (jeden pomiar). Częstotliwości rezonansowe odczytujemy z wykresów.

Nr pomiaru	1	2	3		4		5		6		7		8		9		10			11		12			13		14			15	16
n [Hz]	500	550	600		650		700		750		800		850		900		950			1000		1050			1100		1150			1200	1250
i [mA]	55	57,9	60		62		63,5		64,5		65		65,4		65,3		65			64,5		64			63,3		62,5			61,5	60,5
Nr pomiaru	17	18	19		20		21		22		23		24		25		26			27
n [Hz]	1300	1350	1400		1450		1500		1550		1600		1650		1700		1750			1800
i [mA]	59,5	58,5	57,4		56,4		55,3		54,2		53,2		52,1		51,1		50,1			49,1
Co [mF]	3,5
nr [Z]	850
L1 [H]	0,01H

Tab. 1

Nr pomiaru	1	2	3		4		5		6		7		8		9		10			11		12			13		14			15	16
n [Hz]	500	550	600		650		700		750		800		850		900		950			1000		1050			1100		1150			1200	1250
i [mA]	50,8	54,1	57		59,5		61,3		62,9		64		64,7		65,1		65,2			64,8		64,6			64,1		63,4			62,6	61,7
Nr pomiaru	17	18	19		20		21		22		23		24		25		26			27
n [Hz]	1300	1350	1400		1450		1500		1550		1600		1650		1700		1750			1800
i [mA]	60,7	59,7	58,6		57,6		56,4		55,3		54,3		53,2		52,2		51,1			50
Co [mF]	3,0
nr [Z]	950
L1 [H]	0,009H

Tab. 2

Nr pomiaru	1	2	3		4		5		6		7		8		9		10			11		12			13		14			15	16
n [Hz]	500	550	600		650		700		750		800		850		900		950			1000		1050			1100		1150			1200	1250
i [mA]	24,1	28,2	32,7		37,8		43,8		50,5		58		65,7		72,8		77,9			79,6		78,5			74,7		69,5			64	58,8
Nr pomiaru	17	18	19		20		21		22		23		24		25		26			27
n [Hz]	1300	1350	1400		1450		1500		1550		1600		1650		1700		1750			1800
i [mA]	54	49,8	46		42,8		40		37,4		35,2		33,3		31,5		29,9			28,5
Lo[H]	0,025
nr [Hz]	1000
C1 [mF]	1mF

Tab. 3

4. Obliczenia

Wartość indukcyjności cewki L₁ oraz pojemność kondensatora C₁ obliczamy korzystając z warunku rezonansu tj. oraz , gdzie n_rL oraz n_rC oznaczają częstotliwości rezonansowe obwodów.

Obliczmy teraz indukcyjność cewki :

(pomiar pierwszy)

(pomiar drugi)

Następnie obliczamy pojemność kondensatora:

Poniżej przedstawione zostały wykresy zależności prądu od częstotliwości

Wykres 1 (dla C_O=3,5 mF, n_rL=850Hz)

Wykres 2 (dla C_O=3 mF, n_rL=950Hz)

Wykres 3 (dla L_O=0,025 H, n_rL=1000Hz)

5. Dyskusja błędów

Maksymalny błąd względny pojemności i indukcyjności obliczamy metodą różniczkowania.

Nasze wielkości zależne są od częstotliwości oraz klasy dokładności wzorcowych elememtów L_O i C_O.

Poszczególne błędy popełnione w pomiarach bezpośrednich, mają wartość:

• błąd przy pomiarze częstotliwości

• błąd bezpośredni pomiaru indukcyjności na induktorze dekadowym

• błąd bezpośredni pomiaru pojemności na kondensatorze dekadowym

• Maksymalny dopuszczalny błąd względny dany jest wzorem:

• Względny błąd maksymalny możemy również przedstawić w postaci procentowej:

• Między względnym błędem popełnionym a maksymalnym zachodzi zależność :

• Niestety nie można obliczyć błędu popełnionego, gdyż nie znamy wartości tablicowej mierzonych wartości.

---