1. Definicja całki podwójnej jako granicy ciagu sum całkowych.

Niech funkcja z=f(x,y) będzie ograniczona na prostokącie R oraz niech P będzie podziałem tego prostokąta. Sumą całkową f(x,y) nazywamy liczbę
. Interpretacja graficzna: pojedynczy składnik sumy=objętości prostopadłościau, którego podstawą jest prostokąt R_ko wysokości f
. Cała suma jest przybliżeniem objętości bryły ograniczonej od dołu prostokątem R z od góry powierzchnią z=f(x,y)

2. Jaki obszar nazywamy normalnym wzgledem osi x (względem osi y)?

Obszar D określony nierównościami
nazywamy obszarem normalnym względem osi x.

Obszar
nazywamy obszarem normalnym względem osi y

3. Podaj twierdzenie o zamianie całki podwójnej po obszarze D normalnym wzgledem osi x na całke iterowana.

.Jeżeli:

to

Jeżeli

to

4. Objetosci jakiego typu brył mozemy obliczac przy pomocy całki podwójnej? Zrób rysunek i podaj wzór.

Pojedynczy składnik sumy = objętości prostopadłościanu którego podstawą jest prostokąt „R” a wysokość

.Cała suma jest przybliżeniem objętości bryły ograniczonej od dołu prostokątem „R” a od góry

powierzchni ą z = f (x, y ).Całkę podwójną funkcji f(x,y) po prostokącie „R” nazywamy liczbę:

5. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej. W szczególnosci zamiana na współrzedne biegunowe.

Jeżeli równania x=x(u,v), y=y(u,v) przyporządkowane każdemu punktowi (u,v) obszaru Δ jakiś punkt (x,y) obszaru D, w taki sposób że różnym punktom obszaru Δ odpowiadają różne punkty obszaru D i odwrotnie to mówimy że jest określone wzajemne jednoznaczne odwzorowanie obszaru Δ w obszar D. Dla przekształcenia określonego wzorami x=x(u,v), y=y(u,v) określamy wyznacznik
- jakobian przekształceń

Jeżeli przekształcenia x=x(u,v), y=y(u,v) określają odwzorowanie wzajemne jednoznaczne obszaru Δ w obszarze D oraz Jakobian jest różny od zera to :

6. Pole obszaru płaskiego we współrzednych kartezjańskich i biegunowych.

Po zmianie zmiennych na wsp. biegunowe

7. Pole płata powierzchni — rysunek i wzór.

8. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej. Jaka jest podstawowa interpretacja takiej całki?

Całkę krzywoliniową niekierowaną po funkcji f(x,y) po krzywej K nazywamy

Jeżeli krzywa K dana jest równaniami x=x(t), y=y(t),
(zakładające że x(t) i y(t) mają pochodne ciągłe to:

Jeżeli K jest określona równaniem y=y(x),
, to :

9. Zamiana całki krzywoliniowej nieskierowanej na całke znaczona (dwa przypadki, zaleznie od równania krzywej).

10. Definicja całki krzywoliniowej skierowanej na płaszczyznie.

Zakładamy że 1)dany jest łuk
skierowany zgodnie z parametryzacją x=x(t), y=y(t) ,

2) z każdym punkcie (x,y) łuku określone są funkcje P(x,y)Q(x,y) Przedziały
dzielimy na podprzedziały punktami t_i,i w każdym przedziale od

<t_i-1,t_i> wybieramy punkt τⁱ Tworzymy sumę iloczynów skalarnych tych wektorów

Jeżeli istnieje granica
iloczynów skalarnych tych wektorów to nazywamy tę całkę krzywoliniową skierowaną i

11. Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całke oznaczona dwa przypadki, zaleznie od równania krzywej).

Jeśli
jest jest łukiem przeciwnie skierowanym do łuku
, to

Analogicznie jeśli K: x(t), y=y(t), z=z(t),
jest skierowana zgodnie i w każdym punkcie (x,y,z) określone są funkcje P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) to można określić całkę skierowaną

Całkę interpretujemy jak pracę siły
po krzywej K.

12. Twierdzenie Greena.

Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) mają ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze D ograniczonym krzywą zamkniętą K, przy czym krzywa K jest tak skierowana że obszar powstaje po jej lewej stronie to:

13. Twierdzenie o niezaleznosci całki krzywoliniowej od drogi całkowania.

Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) mają ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze D to warunek:

jest konieczny i dostateczny to by całka
po dowolnej krzywej
nie zależała od kształtu krzywej lecz od jej punktu początkowego i końcowego

14. Co to znaczy, ze wyrazenie P(x, y)dx + Q(x, y)dy ma funkcje pierwotna? Jaki jest warunek konieczny i dostateczny istnienia tej funkcji?

Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) mają ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze jednostajnym D to warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia funkcji pierwotnej F(x,y) jest

Funkcję F(x,y) znajdziemy jako rozwiązanie układu

i

15. Niech F(x, y) bedzie funkcja pierwotna wyrażenia P(x, y)dx + Q(x, y)dy. Jak mozna obliczyc wtedy całke

jeżeli : z = F (x,y) jest funkcją dwu zmiennych to :

funkcję F(x,y) nazywamy funkcję pierwotną różniczki

16. Okreslenie równania rózniczkowego zwyczajnego. Rzad równania, rozwiazanie równania.

Równanie postaci F(
)=0 gdzie F jest funkcją (n+2) zmiennych nazywamy równaniem różniczkowym. Rozwiązaniem równania różniczkowego w przedziale (a,b) nazywamy każdą funkcję y=y(x), taką, że

17. Wyjasnij pojecia: całka ogólna, całka szczególna równania

rózniczkowego.

Rozwiązaniem równania różniczkowego nazywamy także całkę równania, gdyż znalezienie rozwiązania wymaga pewnej liczby całkowitej. Rozwiązanie równania rzędu n, w którym występuje n stałych dowolnych nazywamy rozwiązaniem ogólnym, natomiast jeżeli stałym nadamy konkretne wartości, to otrzymana funkcja
nazywamy całką szczególną równania.

18. Równanie o zmiennych rozdzielonych — postac, metoda rozwiazywania.

Równanie postaci y'=M(x)N(y) (lub

nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych, np. y'=xy

19. Równanie jednorodne—postac, metoda rozwiazywania.

podst.
czyli y=ux więc y'=u'x+u ; u'x+u = f(u)

20. Równanie liniowe pierwszego rzedu — postac, metody rozwiazywania.

y'+p(x)y=q(x). Jeżeli q(x)=0 to równanie nazywamy liniowym jednorodnym. Rozwiązywanie : I Rozwiązujemy odpowiednie równanie liniowe jednorodne y'+p(x)y=0. Otrzymujemy y=f(x,c) RORJ - rozw. Ogól. Rów. Jednorodnego. II . W RORJ przyjmujemy, że C=C(x), podstawiamy do równania początkowego y'+p(x)*y=q(x) i otrzymujemy zależność dotyczącą C(x) . Obliczamy C(x), a następnie podstawiamy do RORJ .Funkcje f(x,c(x)) jest RORNJ . Jest to metoda uzmienniania stałej.

21. Równanie Bernoullego — postac, metoda rozwiazywania.

Równ.postaci y'+p(x)y=q(x)y^S,gdzie S
R\{0,1} Rozwiązanie: I. rozwiązujemy odpowiednie równanie jed-

Dorodne y'+p(x)y=0. otrzymujemy y=f(x,c) RORJ-rozwiązanie ogólne równania jednorod. II. w RORJ przyjmujemy,że C=C(x), podstawiamy do równania początkowego

y'+p(x)y=g(x) i otrzymujemy zależność dotyczącą C(x) Obliczamy C(x) a następnie podstawiamy do RORJ.

Funkcje y=f(x,C(x)) jest RORNJ jest to metoda uzmieniania stałej

22. Równanie zupełne — postac, metoda rozwiazywania.

równ.postaci P (xy) dx+Q (xy) dy=0 nz.równ.zupełnym

gdy
.Jeżeli
to istnieje funkcja

pierwotna F(xy) a zatem równ.zupełne można zapisac w

postaci dF(xy)=0stąd F(xy)=C. Ta równośc okresla

funkcje „Y” która jest RORZ.

23. Równanie rzedu drugiego postaci F(x, y0, y00) = 0 metoda rozwiazywania.

POSTACI trzech szczególnych przypadkach można stos.

Podst.(obniżyć rząd równ.) np. F ( x,y,y)=0 podstaw.

Y= z (x) , y = z (x)

25. Równanie liniowe rzedu drugiego — jednorodne i niejednorodne.

. A(x)y +b(x)y + c(x)y = f (x).Jeżeli f(x) =0 to mamy

Równ.liniowe jednorodne.Własciwosci.Jezeli y jest Rozwiązaniem tego równania to c* y jest też

Rozwiązaniem.Jeżeli y ,y są rozwiązaniem to y + y Też są rozwiązaniem.Natomiast gdy f (x) = 0 równ.

Nazywamy niejednorodnym.

28. Równanie charakterystyczne równania liniowego rzedu drugiego o stałych współczynnikach. Jakie funkcje tworza układ fundamentalny tego równania, gdy: a) _ > 0; b) _ =0; c) _ < 0?

Równ.charakterystycznym równ. y''+ay'+by = 0 nazywamy równanie r² +ar-b=0.

1).jezeli Δ>0 to pierwiastkami są r₁ i r₂ . Funkcje y₁ = e^r1x , y₂ =e^r2x tworzą układ fundamentalny

2)jeżeli Δ=0 to jest 1 pierwiastek r₀. Funkcja y₁ = e ^r0x ,

Y₂ = xe ^r0x

3)jeżeli Δ<0 to są pierwiastk

Funkcje

29. Rozwiazywanie równania liniowego rzedu drugiego niejednorodnego metoda przewidywan.

Jeżeli mamy równanie o stałych współczynnikach y + ay +by=f(x) oraz funkcja F (x) jest jednej z nast.

Postaci; Wn(x)e , e ( Wn(x)cosmx +Wp(x)sinmn ) To można przewidzieć RSNRJ.Projekt zakłada ten

Sam typ funkcji z nieznanymi współczynnikami , Które trzeba obliczyć podstawiając projektowane Rozwiązanie do równania.

30. Rozwiazywanie równania liniowego rzedu drugiego niejednorodnego metoda uzmiennienia stałych.

a (x) y + b (x) y + c (x) = f (x).Jeżeli znane jest

RORJ: y = C y + C y to można znależćRORNJ

Uzmienniając stałe.Prowadzi to do układu równań

Wyznacznikiem jest:

Zatem

Po całkowaniu mamy C1 i C2 które podstawiamy do RORJ

32. Definicje funkcji sin z i cos z (wzory Eulera).

34. Definicja transformaty Laplace'a i operatora Laplace'a.

Jeżeli f(t) jest oryginałem to transformatą nazywamy funkcję zespolona F(s)=
, gdzie st
(1zesp). Przyporządkowanie funkcji f(t)
f(s) ze zbioru oryginałów do zbioru transformat nazywamy przekształceniem lub transformacja Laplace'a F(s)=
(f(t)).

35. Funkcja Heaviside'a, jej wykres i transformata.

11=
(funkcja Heavoside'a - skoku jednostronowego)

36. Własnosci przekształcenia Laplace'a.

1)liniowość
2)podobieństwo
gdzie
, 3) tłumienie
, 4)przesunięcie

37. Odwrotne przekształcenie Laplace'a.

Jeżeli znana jest transformata F(s) to oryginał obliczamy z wzoru f(t)=
ozn.
,

38. Omów zastosowanie przekształcenia Laplace'a do rozwiązywania równan rózniczkowych.

równanie różniczkowe zmiennej t)
(rown. Algebraiczne zmiennej s)
F(s)
(oryginał f(t).

39. Omówic nastepujace pojecia zwiazane z szeregiem P1n=1 an: wyraz ogólny, suma czesciowa, zbieznosc, suma szeregu.

Szeregiem liczbowym nazywamy

Liczby a₁,a₂… nazywamy wyrazami szeregu. Sumę postaci

Nazywamy en-tą sumą częściową tego szeregu. Jeśli ciąg (Sn) jest zbieżny to

szereg
nazywamy zbieżnym

Liczbę S nazywamy suma szeregu. Jeżeli
nie istnieje (lub
=±∞) to szereg nazywamy rozbieżnym.

40. Warunek konieczny zbieznosci szeregu. Podaj przykład szeregu rozbieznego dla którego ten warunek jest spełniony.

Jeżeli
jest zbieżny to granica

Jeżeli
nie istnieje albo istnieje i jest ≠0 to szereg
jest rozbieżny.

Np.
;
- rozbieżny

41. Kryterium ilorazowe i kryterium pierwiastkowe zbieżności szeregu.

Jeżeli istnieje
to:

szereg zbieżny;

przypadek wątpliwy;

szereg rozbieżny

Jeżeli istnieje
to:

szereg zbieżny;

przypadek wątpliwy;

szereg rozbieżny

42. Kryterium porównawcze zbieznosci szeregu.

Jeżeli

to 1)jeżeli ∑a_n jest rozbieżny to ∑b_n jest rozbieżny 2) jeżeli ∑b_n jest zbieżny to ∑a_n jest zbieżny

43. Kryterium Weierstrassa zbieznosci szeregu funkcyjnego.

Jeżeli istnieje taka liczba naturalna N, że
;

i
jest zbieżny, to szereg
jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w D. Szereg

nazywamy majorantą szeregu

44. Szereg potegowy — definicja, obszar zbieznosci, wzór na promien zbieznosci.

Szeregiem potęgowym nazywamy szereg postaci
,
. Jeżeli x0=0 to mamy szereg
.Obszarem zbieżności szeregu potęgowego
jest przedział postaci
, gdzie R jest pewną liczbą nazywaną promieniem zbieżności szeregu. Dla
i
szereg jest na pewno rozbieżny, natomiast końce przedziału
są punktami „wątpliwymi” (mogą należeć do rozbieżności lub nie).

45. Podaj rozwiniecia funkcji ex, sin x, cos x w szereg Maclaurina.

dla


dla

47. Co to jest szereg trygonometryczny? Jaka własnosc ma jego suma?

Szeregiem geometrycznym nazywamy :

Jeżeli szereg geometryczny jest zbieżny to jego suma jest funkcją okresową (okres
)

48. Podaj wzory Eulera-Fouriera.

49. Co nazywamy szeregiem Fouriera funkcji f(x)? Kiedy suma tego szeregu jest równa funkcji f(x)?

Jeżeli f(x) spełnia następujące warunki Divichleta : 1) f(x) jest przedziałami monotoniczna w
, 2) funkcja posiada co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości oraz
.. [f(x-) - granica lewostronna; f(x+) - granica prawostronna) 3)
to dla

50. Zbiór zdarzen elementarnych. Definicja prawdopodobienstwa.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych ozn.Ω. Każdy podzbiór tej przestrzeni czyli pewnien zbiór zdarzeń elementarnych będziemy nazywać zdarzeniami. A
. Rodzinę F podzbiorów Ω nazywamy ciałem zdarzeń, gdy 1)
, 2)jeżeli:1)
to
, 3)
. Prawdopodobieństwo (P(A)=
to iloraz liczby zel. Element. Sprzyjających zd. A do liczby wszystkich zd. el. Funkcję p:F
<0,1> naz. Prawdopodobieństwem jeżeli:
oraz
dla i
to P(
=
. 2)P(Ω)=1. Podstawą rachunku prawdopodobieństwa jest system (Ω,F,P) określający przestrzeń powobilistyczną.

51. Prawdopodobienstwo warunkowe. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite.

Prawdopodobieństwo warunkowe- praw zdazenia a skoro zaszlo zdazenie b symbolicznie (a\b) gdzie a i b są zdarzeniami z tej samej rodziny f zdarzeń oraz p(b)>0. P(a\b)=
Całkowite: P(a) = P (b
)*P(a\b
)+ P(b
)*P(a\b
)+…+ P (b_n)*P(a\b_n)

52. Wzór Bayesa.

Jeżeli
jest przestrzenią parabilityczną A,B,B₁,B₂…B_n są kurwa zdarzeniami z rodziny spędzającymi założenia B_j
B_k=
j
, k=1,2,3…N. B₁
P(B_j)>0 dla j=1,2,3…n. oraz P(A) > 0 ,

53. Zmienna losowa dyskretna. Rozkład zmiennej losowej dyskretnej (Bernoullego i Poissona).

Zm. Losową X nazw. Dyskretną gdy jej dystrybuantą jest funkcja przedziałami stałą i posiada co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości. Jeżeli X jest dysk. Zm. Los. Przyjmującą wartości
oraz P(x=x
)=P
, to funkcję przyporządkowującą nazywamy funkcją prawdopodobieństwa. Jeżeli ta funkcja jest opisana tabelą
to mówimy ze określony jest rozkład prawd zm. los.x .

54. Wartosc oczekiwana zmiennej losowej dyskretnej (przykłady: Bernoullego i Poissona).

Jeżeli zmienna losowa dysk. X ma rozkuł. (
i=1,2… oraz szereg
jest bezw. zbieżny to sumę tego szeregu nazywamy wartością oczekiwaną (przeciętną) zm. los. x i oznaczamy EX, E(x). Dla zmiennej los. o rozw. Bernoullego EX=np. Jeżeli X ma rozkład Poissona to : EX=A.

55. Rozkład zmiennej losowej ciagłej (przykłady — jednostajny, normalny).

Rozkładem jednostajnym na przedziale <a,b> nazywamy rozkład określony funkcja gęstości: f(x)=
, wart. oczekiwana EX=
.

Mówimy że zmienna losowa x ma rozkład normalny z parametrami m,δ , gdy funkcja gęstości wynosi

Piszemy: x~N(m,
) Jeżeli m=0 ,
to f(x)=
x~N(0,1). Jeżeli zmiennik x ma rozkład N (m,
)to zmiennik
ma rozkład N(0,1). Procedurę tę nazywamy starolasyzacją zmiennej losowej. Wykresem gęstości dla N (m,
) jest tzw. krzywa Gaussa.

56. Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej.

Wartością zmiennej losowej x nazywamy liczbę Var(x)=
. Ulany:
. Natomiast pierwiastkiem z wariacji zmiennej los.x nazywamy odchyleniem standardowym
.

---