Duration – określa jak zmieni się wartość obligacji gdy zmianie ulegnie YTM w okresie do wykupu.
Zmiana wartości obligacji (duration)
$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - D\frac{\left( 1 + \text{YTM}_{1} \right) - \left( 1 + \text{YTM}_{0} \right)}{1 + \text{YTM}_{0}}$$
$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}}\ lub\ P\ lub\ X\ czyli\ zmiana\ ceny$$
P0 – cena obligacji przed zmianą YTM
P1 – cena obligacji po zmianie YTM
YTM0 – YTM przed zmianą
YTM1 – YTM po zmianą
D – średni termin wykupu
Zmodyfikowany średni termin wykupu
$$MD = \frac{D}{(1 + \text{YTM}_{0})}$$
$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - MD(\text{YTM}_{1} - \text{YTM}_{0})$$
Duration to jedynie oszacowanie rzeczywistej zmiany wartości. Z niedomiarem szacuje wzrost wartości i z nadmiarem spadek wartości. Jest to wynikiem wypukłości obligacji.
Zadanie 9: Jak zmieni się cena obligacji w wartości nominalnej 5 000 zł i oprocentowaniu 8% jeśli wymagana stopa zwrotu (YTM) przez inwestorów zwiększy się z 10% do 12%.
Cena dla YTM = 10% wynosi 4 683,013
Średni termin wykupu wynosi 3,5617
$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - D\frac{\left( 1 + \text{YTM}_{1} \right) - \left( 1 + \text{YTM}_{0} \right)}{1 + \text{YTM}_{0}}$$
$$P = - 3,5617 \times \frac{\left( 1 + 0,12 \right) - (1 + 0,10)}{1 + 0,10} = - 3,5617 \times 0,018 = - 0,064758 = - 6,4758\%$$
Zadanie 10: Jak zmieni się cena obligacji w wartości nominalnej 5 000 zł i oprocentowaniu 8% jeśli wymagana stopa zwrotu (YTM) przez inwestorów zwiększy się z 10% do 12%. Ile wynosi rzeczywista zmiana.
Cena dla YTM = 10% wynosi 4 683,013
Cena dla YTM = 12% wynosi 4 393,53
$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = \frac{4\ 393,53 - 4\ 683,013}{4\ 683,013} = \frac{- 289,483}{4\ 683,013} = - 0,061816 = - 6,1816\%$$
Duration portfela obligacji.
Średni termin wykupu portfela obligacji to średnia ważona duration składających się na ten portfel. Gdzie wagami są udziały poszczególnych obligacji w portfelu.
Duration portfela
$$D_{p} = \sum_{t = 1}^{n}{w_{i}D_{i}}$$
Dp – średni termin wykupu portfela obligacji
wi – udział i-tej obligacji w portfelu
Di – średni temin wykupu i-tej obligacji
n – każda obligacja w portfelu
Wypukłość obligacji
Wzrost YTM o 1 punkt procentowy powoduje mniejszy spadek ceny obligacji niż wzrost w przypadku spadku YTM o 1 punkt procentowy.
10% → 4 683,01
12% → 4 392,52 -290,48
8% → sprzedaż → 5 000 +316,99
Efekt wypukłości
Obligacja o większej wypukłości jest lepsza dla inwestora (posiadacza) niż obligacja o mniejszej wypukłości.
Własności wypukłości obligacji:
Im wyższe oprocentowanie obligacji tym mniejsza wypukłość
Im dłuższy termin wykupu tym większa wypukłość
Im wyższa stopa dochodu (YTM) tym mniejsza wypukłość obligacji
Im dłuższy średni termin wykupu tym większa wypukłość
Wypukłość obligacji
$$C = 0,5\frac{\sum_{t = 1}^{n}\frac{t(t + 1)C_{t}}{(1 + YTM)^{t}}}{P(1 + YTM)^{2}}$$
Wypukłość obligacji (4 lata) – będzie podany na zaliczeniu
$$C = 0,5\left( \frac{\frac{1 \times 2 \times K}{{(1 + YTM)}^{1}} + \frac{2 \times 3 \times K}{{(1 + YTM)}^{2}} + \frac{3 \times 4 \times K}{{(1 + YTM)}^{3}} + \frac{4 \times 5 \times (K + Wn)}{{(1 + YTM)}^{4}}}{P\left( 1 + YTM \right)^{2}} \right)$$
Zadanie 11: Oblicz wypukłość obligacji o wartości nominalnej 5 000 i oprocentowaniu 8% jeśli wymagana stopa zwrotu (YTM) przez inwestorów wynosi 10%.
Cena dla YTM = 10% wynosi 4 683,013
K = 5 000 × 8%=400
$$C = 0,5\left( \frac{\frac{1 \times 2 \times 400}{{(1 + 0,1)}^{1}} + \frac{2 \times 3 \times 400}{{(1 + 0,1)}^{2}} + \frac{3 \times 4 \times 400}{{(1 + 0,1)}^{3}} + \frac{4 \times 5 \times (400 + 5\ 000)}{{(1 + 0,1)}^{4}}}{4\ 683,013\left( 1 + 0,1 \right)^{2}} \right) = 7,06638\%$$
Zmiana wartości obligacji (duration + wypukłość obligacji)
$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - MD\left( \text{YTM}_{1} - \text{YTM}_{0} \right) + C\left( \text{YTM}_{1} - \text{YTM}_{0} \right)^{2}$$
YTM0 – YTM przed zmianą
YTM1 – YTM po zmianie
Zadanie 12: (może być na zaliczeniu) Jak zmieni się wartość obligacji o wartości nominalnej 5 000 i oprocentowaniu 8% jeśli wymagana stopa zwrotu (YTM) przez inwestorów zwiększy się z 10% do 12%. Oblicz zmianę wartości obligacji.
MD = 3,2379 C = 7,06638
P = −3, 2379(0,12−0,10) + 7, 06638(0, 12 − 0, 10)2 = −0, 0648 + 0, 00283 = −0, 06197 = −6, 6197
Portfele obligacji
Z pośród portfeli cechujących się taką samą stopą dochodu do wykupu oraz taki sam średni termin wykupu najlepszym okazuje się portfel o największej wypukłości.
Własności stopy dochodu:
Jeśli rośnie stopa obligacji to spada stopa dochodu YTM (i odwrotnie) (YTM ↑ wartość obligacji ↓)
Jeśli YTM nie ulega zmianie, wysokość ewentualnej premii i dyskonta zmniejsza się wraz ze zbliżaniem się momentu wykupu
Tempo zmniejszania się premii lub dyskonta rośnie w miarę zbliżania się termin wykupu
Wzrost wartości obligacji wywołany spadkiem YTM o 1 punkt procentowy jest wyższy niż spadek wartości obligacji wywołany wzrostem YTM o 1 punkt procentowy (efekt wypukłości)
Procentowa zmiana wartości obligacji wywołana zmianą stopy dochodu jest tym mniejsza im wyższe jest oprocentowanie obligacji (ten sam termin wykupu)
Procentowa zmiana wartości obligacji wywołana zmianą YTM jest tym mniejsza im krótszy jest okres do terminu wykupu
AKCJE
Akcja jest papierem wartościowym który potwierdza udział akcjonariusza (jej posiadacza) w majątku spółki.
Wycena akcji
$$P = \sum_{t = 1}^{n}\frac{C_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}$$
P – cena akcji
Ct – dochód z tytułu posiadania akcji w okresie t
YTM – wymagana stopa zwrotu inwestora
Dlaczego akcja jest nieszacunkowa:
Trudno określić czas posiadania akcji
Brak informacji o cenie sprzedaży akcji
Dywidendy
Model zdyskontowanych dywidend
$$P = \sum_{t = 1}^{\infty}\frac{D_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}$$
$$P = \frac{D_{1} + P_{1}}{(1 + {\text{YTM})}^{1}}$$
D1 – dywidenda płacona po roku
P1 – cena akcji po roku (sprzedaż)
Okres 4 - letni
$$P = \frac{D_{1}}{({1 + \text{YTM})}^{1}} + \frac{D_{2}}{({1 + \text{YTM})}^{2}} + \frac{D_{3}}{({1 + \text{YTM})}^{3}} + \frac{D_{4} + P_{4}}{({1 + \text{YTM})}^{4}}$$