Badanie rezonansu napięć
AiR L1 Dominika Dąbek

1. Część teoretyczna.

Rezonans napięć występuje w układzie szeregowym RLC, dla pulsacji ω_r, dla której X_L=X_C, wtedy ω=$\frac{1}{\sqrt{\text{LC}}}$. W obwodzie tym, zasilanym ze źródła napięcia przemiennego, wyrażonego wzorem:

U=U₀sin(ωt),

gdzie :

ω=2πf,

U₀-amplituda napięcia,

f- częstotliwość zmian napięcia,

prąd również ma charakter sinusoidalny:

I=I₀sin(ωt-φ)

gdzie:

I₀ - amplituda natężenia prądu przemiennego

φ- różnica faz między napięciem a natężeniem prądu przemiennego

Do stanu rezonansu można doprowadzić układ zawierający cewkę i kondensator przez odpowiedni dobór ich reaktancji (przez zmianę indukcyjności lub pojemności) lub zmianę pulsacji napięcia zasilającego. Częstotliwość, przy której jest spełniony warunek rezonansu szeregowego, nazywamy częstotliwością rezonansową. Jest ona wyrażana wzorem:

f₀₌$\frac{1}{2\pi\sqrt{\text{LC}}}$

Dodawania napięć o stałej częstotliwości można wykonać na wykresach wektorowych. Każdy z występujących w równaniu spadków napięć traktujemy jak drgania harmoniczne, różniące się jedynie fazą początkową. Z modelu wektorowego otrzymujemy:

tgφ=$\frac{\omega L - \frac{1}{\text{ωC}}}{R}$

oraz

I₀=$\frac{U_{0}}{\sqrt{R^{2} + {(\omega L - \frac{1}{\text{ωC}})}^{2}}}$=$\frac{U_{0}}{Z}$

Gdzie:

Z - impedancja obwodu prądu przemiennego

$\left( \omega L - \frac{1}{\text{ωC}} \right)$ - opór bierny

R - opór czynny

Jeżeli $(\omega L = \frac{1}{\text{ωC}})$, to impedancja jest najmniejsza i równa oporowi omowemu. W przypadku tym natężenie prądu osiąga maksymalną wartość i jest w tej samej fazie co przyłożone napięcie, ponieważ tgφ=0. W rezonansie napięcia U_L i U_C mogą znacznie przekraczać napięcie zasilające U. Jest to tzw. przepięcie. Wartość tego przepięcia określona jest stosunkiem napięcia na cewce lub kondensatorze do napięcia zasilającego:

D = $\frac{U_{\text{\ c}}}{U}$ = $\frac{\text{U\ }_{L}}{U}$ = $\frac{1}{\text{ωCR}}$ = $\frac{\text{ωL}}{R}$

Wielkość D nazywana jest też dobrocią obwodu rezonansowego – jest tym większa, im mniejszy jest opór omowy R obwodu.

1. Opis ćwiczenia.

Celem naszego ćwiczenia było zmierzenie U_L, U_C i I w warunkach rezonansowych. Po połączeniu układu według schematu, musieliśmy ustawić indukcyjność L, napięcie na generatorze U_Gmax oraz zmieniając precyzyjnie częstotliwość f, doprowadzić do maksymalnych warunków rezonansowych i odczytać pomiary U_L, U_C i I. Po odczytaniu wartości należało wykonać te same czynności w funkcji częstotliwości f, zmieniając ją co 100Hz w przedziale 350-1450Hz, utrzymując stałą wartość U_G. Wszystkie pomiary zostały wykonane dla dwóch oporów: R=10Ω oraz R=100Ω.

Schemat układu pomiarowego:

L=70mH

C=379,5nF

U_G= 5,5V

f [Hz]	R=10Ω	R=100Ω
	UL[V]	UC[V]
350	2,6	5,5
450	4,3	6,8
550	5,0	7,3
650	4,1	8,0
750	6,5	10,7
850	13,2	16,8
Frez. 950	26,3	26,3
1050	21,3	17,7
1150	15,4	10,7
1250	12,1	7,1
1350	10,2	5,1
1450	9,0	3,9

1. Obliczenia.

1. Niepewności.

1. częstotliwości:

u(f)=1[Hz]

1. natężenia prądu i napięcia:

u(I)=0,04*I [µA]

u(U)=0,05*U [V]

R=10Ω
UL[V]
2,6
4,3
5,0
4,1
6,5
13,2
26,3
21,3
15,4
12,1
10,2
9,0

R=100Ω
UL[V]
1,4
2,5
3,2
3,8
5,7
8,9
12,2
12,6
11,3
10,0
9,0
8,2

1. Wyznaczenie współczynnika tłumienia oraz jego niepewności.

b=R2πf_rezC

b₁=10*2*3,14*950*379,5*10^-9≈0,023

b₂=100*2*3,14*950*379,5*10^-9≈0,23

u(b₁)=($\frac{db_{1}}{df_{\text{rez}}}$)*u(f)=R₁2πC*u(f)=10*2*3,14*379,5*1≈2,38*10^-5

u(b₂)=($\frac{db_{2}}{df_{\text{rez}}}$)*u(f)=R₂2πC*u(f)=100*2*3,14*379,5*1≈2,38*10^-4

[$\frac{\Omega}{Hz*H}$=$\frac{\Omega}{\Omega}$]

Współczynnik tłumienia jest liczbą niemianowaną.

1. Wnioski.

Wykres wyraźnie wskazuje, że dla częstotliwości mniejszych od rezonansowej, napięcie na kondensatorze jest większe od napięcia na cewce, a dla częstotliwości większej od rezonansowej jest odwrotnie. W punkcie rezonansu napięcia te są identyczne. Jeśli chodzi o wykres natężenia prądu to jest on bardziej stromy; prąd osiąga swoją wartość maksymalną w punkcie rezonansowym. Wyliczone niepewności pomiarowe zostały zaznaczone, za wyjątkiem niepewności częstotliwości, która to jest zbyt mała, by została umieszczona na wykresie.

Występujące w układach elektroenergetycznych nieprzewidziane zjawisko rezonansu napięć stanowi poważne niebezpieczeństwo przebicia izolacji układu ze względu na nagły wzrost prądu.