$$\text{Prostok}at:\ I_{x0} = \frac{ab^{3}}{12}\ (\frac{ab^{3}}{3});I_{y0} = \frac{a^{3}b}{12}(\frac{a^{3}b}{3});I_{\text{xy}} = \frac{a^{2}b^{2}}{4}$$
$$\text{Tr}o\text{jk}at:I_{x0} = \frac{ab^{3}}{36}\left( \frac{ab^{3}}{12} \right);I_{y0} = \frac{a^{3}b}{36}(\frac{a^{3}b}{12});I_{x0y0} = \mp \frac{a^{2}b^{2}}{72}$$
$$\text{Ko}lo:I_{x} = I_{y} = \frac{R^{4}\pi}{16};\ I_{\text{xy}} = \frac{R^{4}}{8};\ x_{0} = \frac{4R}{3\pi}$$
$$\text{Okr}ag: = I_{x} = I_{y} = \frac{R^{3}\pi}{4};\ I_{\text{xy}} = \frac{R^{3}}{2}{;x}_{0} = \frac{2R}{\pi}$$
$$\Pr et:I_{x0} = \frac{l^{3}}{12}(\frac{l^{3}}{3})$$
Il = Ixα + Iy−Ixysin2α
Moment bezwładności – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała
Wektor własny- tensora A nazywamy niezerowy wektor ω, który spełnia zależność: $A\overset{\overline{}}{\omega} = \lambda\overset{\overline{}}{\omega}$,
Tensor II rz.-odwzorowanie liniowe, które wektorowi przypisuje wektor T($\left( \alpha\overset{\overline{}}{u} + \beta\overset{\overline{}}{v} \right) = \alpha\left( \overset{\overline{}}{u} \right) + \beta(\overset{\overline{}}{v})$
Własności tensora bezwładności:
I Jeśli tensor II rzędu jest symetryczny (a bezwładności jest) to ma 3 wartości własne rzeczywiste
II Zawsze na kierunkach własnych tensora można zbudować nowy układ współrzędnych
a/ Jeśli I1 ≠ I2 ≠ I3 to istnieją dokładnie 3 główne osie bezwładności wzajemnie prostopadłe
b/ Jeśli I1 = I2 ≠ I3 to istnieje 1 główna oś bezwładności i cała płaszczyzna osi do niej prostopadłych
c/ I1 = I2 = I3 - główne osie bezwładności w środku masy są dowolne
III Tensor w układzie osi własnych przyjmuje postać diagonalną, a na przekątnej znajdują się wartości własne
IV Wartości własne są ekstremalnymi wartościami elementów na przekątnej głównej tensora spośród wszystkich możliwych układów współrzędnych
$\alpha_{\text{ij}} = \overset{\overline{}}{e_{i}'} \bullet \overset{\overline{}}{e_{j}}$,
Def. Lapunowa statecznego położenia równowagi
$$\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta_{1}\delta_{2} > 0\ \ \left| \overset{\overline{}}{q}\left( t_{0} \right) - {\overset{\overline{}}{q}}^{*} \right| < \delta_{1}\text{\ i}\left| \dot{q}\left( t_{0} \right) - \dot{{\overset{\overline{}}{q}}^{*}} \right| < \delta_{2}\ = > \left| \ \overset{\overline{}}{q}\left( t \right) - {\overset{\overline{}}{q}}^{*} \right| < \varepsilon\ i\ \left| \dot{q}\left( t \right) - \dot{{\overset{\overline{}}{q}}^{*}} \right| < \varepsilon$$
I, II, III…
Tw. MINDINGA-DIRICHLETA-w położeniu równowagi statecznej energia potencjalna układu materialnego osiąga swoje minimum $U(\overset{\overline{}}{q^{*})} = U^{\min}$
Główne osie bezwładności tensora-osie wyznaczone przez kierunki własne tensora bezwładności
Główne momenty bezwładności-momenty liczone względem głównych osi bezwładności (wart. Własne tensora bezwładności)
Centralny układ współrzędnych-układ współrzędnych zaczepiony w środku masy
Główne centralne osie i momenty bezwładności-główne osie i momenty wyznaczone w środku masy.
Własności macierzy przejścia:
-wiersze-wersory nowej bazy
-kolumny-wersory starej bazy
-macierz ortonormalna wzgl. Wierszy i kolumn αikαjk i αkiαkj = > δij
-prawo transformacji tij′ = αiktklαjl
Lss-liczba stopni swobody ukł. Materialnego równa jest liczbie niezależnych parametrów koniecznych do jednoznacznego określenia położenia ukł. materialnego w przestrzeni.
Twierdzenia dotyczące momentów statycznych:
1/ Syz = Mx0 Sxz = My0 Sxy = Mz0 - Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych możemy liczyć jako iloczyny całkowitej masy układu i odpowiedniej współrzędnej środka masy.
2/ Jeśli środek masy należy do płaszczyzny centralnej to moment statyczny jest równy zero.
Równania ruchu bryły sztywnej:
$M\ddot{{\overset{\overline{}}{r}}_{0} = \overset{\overline{}}{S}}$
${{(I}_{O^{*}}\overset{\overline{}}{\omega})}^{*} = {\overset{\overline{}}{M}}_{o^{*}} = I_{O^{*}}\overset{\overline{}}{\dot{\omega}} + \overset{\overline{}}{\omega}\text{\ x}\text{\ I}_{O^{*}}\overset{\overline{}}{\omega}$
$$1.\ {\overset{\overline{}}{r}}_{0^{*}}\left( t = 0 \right) = {\overset{\overline{}}{r}}_{0}$$
$$2.{\overset{\overline{}}{v}}_{0^{*}}\left( t = 0 \right) = {\overset{\overline{}}{v}}_{0}$$
$$3.\overset{\overline{}}{\omega}\left( t = 0 \right) = {\overset{\overline{}}{\omega}}_{0}$$
Ruch bryły sztywnej zależy od masy i przestrzennego rozkładu ciała sztywnego oraz od ukł. Sił zewnętrznych działających na to ciało.
Równania Eulera ruchu obrotowego bryły sztywnej (NA GCOB)
$$I_{\zeta}\dot{\dot{\omega_{\zeta}} + (I_{\vartheta} -}I_{\eta})\omega_{\vartheta}\omega_{\eta} = M_{O^{*}\zeta}$$
$$I_{\eta}\dot{\dot{\omega_{\eta}} + (I_{\zeta} -}I_{\eta})\omega_{\vartheta}\omega_{\zeta} = M_{O^{*}\eta}$$
$$I_{\vartheta}\dot{\dot{\omega_{\vartheta}} + (I_{\vartheta} -}I_{\zeta})\omega_{\zeta}\omega_{\eta} = M_{O^{*}\vartheta}$$
WKW RC Sztywnego:
Zerowanie się sumy i momentów od sił zewnętrznych oraz spoczynek ciała w momencie przyłożenia tych ukł. Sił. Ten spoczynek zagwarantowany jest przez zerowanie się Vo środka masy oraz początkowej prędkości kątowej.
Def RS-układ sił jest w równowadze, jeżeli nie zmienia stanu ruchu ciała do którego zostaje przyłożona (jeśli ciało było w spoczynku lub porusza się, to wciąż pozostaje w spoczynku lub się porusza – siły nie mają wpływu na ciało)
WIĘZY: holomoniczne/anholomoniczne, stacjonarne/niestacjonarne, dwustronne/jednostronne, gładkie /szorstkie
Tw. Koeniga:
$$E = \frac{1}{2}m{v^{2}}_{0^{*}} + \frac{1}{2}{\overset{\overline{}}{\omega}}_{0}I_{O^{*}}\overset{\overline{}}{\omega}$$
Zasada Hamiltona-podstawowa zasada wariacyjna w mechanice głosząca, że spośród wielu możliwych ruchów ukł. Mechanicznego fizycznie realizowany jest ten w którym działanie S przyjmuje najmniejszą wartość.
Rezonans mechaniczny-zjawisko polegające na przepływie energi pomiędzy kilkoma ukł drgającymi, WK: -jednakowa lub zbliżona częstotliwość drgań własnych ukł, istnienie mechanicznego połączenia między układami.
Częstotliwość siły wymuszającej zbliża się do częstości drgań własnych gdy siła wymuszająca drgania działa na drgające ciało z odpowiednią częstotliwością to amplituda drgań może osiągnąć bardzo dużą wartość nawet przy niewielkiej sile wymuszającej.
$$\dot{\overset{\overline{}}{r}} = \dot{\rho_{w}} + \omega x\rho + {\dot{r}}_{\Omega}$$
$$\ddot{r} = \ddot{\rho_{w} + 2\omega x\dot{\rho_{w} + \omega x\rho + \omega x\left( \text{ωxρ} \right) + \ddot{r_{\Omega}}}}$$
$$\overset{\overline{}}{v} = \dot{s}\overset{\overline{}}{\tau} = \omega r\overset{\overline{}}{\tau}$$
$\overset{\overline{}}{a} = \ddot{s}\overset{\overline{}}{\tau} + \frac{{\dot{s}}^{2}}{\rho}\overset{\overline{}}{\nu} = \varepsilon r\overset{\overline{}}{\tau} + \omega^{2}r\overset{\overline{}}{\nu}\ $ $\varphi = \frac{s}{r}$
Graniczne położenie ciągu płaszczyzn stycznych do krzywej w punkcie danym i równoległych do stycznej w punkcie pośrednim nazywamy płaszczyzną ściśle styczną równoległych do niej.