Cel

üwiczenia

Celem üwiczenia jest poznanie ruchu drgającego wahadła fizycznego, ruchu obrotowego bryły

sztywnej, zasad dynamiki dla takiego ruchu oraz doĞwiadczalne sprawdzenie twierdzenia Steinera poprzez
okreĞlenie zaleĪnoĞü małych drgaĔ fizycznego wahadła grawitacyjnego od momentu bezwładnoĞci badanych ciał
wzglĊdem osi Ğrodkowej.

Układ i metody pomiarowe

Moment bezwładnoĞci bryły wzglĊdem wybranej osi moĪna wyznaczyü zawieszając ją tak, aby

stanowiła ona wahadło fizyczne. Naszymi badanymi bryłami bĊdą: metalowa tarcza kołowa z symetrycznie
wyciĊtymi otworami, pierĞcieĔ oraz jednorodny metalowy prĊt. W celu zrobienia z nich wahadła fizycznego:

•

w przypadku tarczy i pierĞcienia posłuĪymy siĊ odpowiednią podstawą z poziomą
pryzmatyczną belką, która bĊdzie stanowiła oĞ wahadła

•

dla jednorodnego prĊta skorzystamy ze statywu z łoĪyskiem

Schematy badanych ciał prezentują Rysunki 1-3:

Rysunek 1. Schemat tarczy kołowej
z zaznaczonymi otworami dla
których zostały wykonane pomiary.

Rysunek 2. Schemat pierĞcienia

oraz jego tablicowy moment

bezwładnoĞci.

Rysunek 3. Schemat jednorodnego

prĊta oraz jego tablicowy moment

bezwładnoĞci.

Schematy układów pomiarowych znajdują siĊ na Rysunkach 4-6:

Rysunek 4. Schemat układu

pomiarowego tarczy z

zaznaczonymi osiami

Rysunek 5. Schemat układu

pomiarowego pierĞcienia z

zaznaczonymi osiami

Rysunek 6. Schemat układu

pomiarowego prĊta

Pomiary bĊdą wyglądały nastĊpująco: waĪymy badany przedmiot oraz mierzymy 6-krotnie suwmiarką

zaznaczone na rysunkach odpowiednie dla kaĪdej bryły parametry. NastĊpnie wychylając badany przedmiot nie
wiĊcej niĪ o kąt ij = 9˚, mierzymy (równieĪ 6-krotnie) czas, w jakim bryła wykona 20 wahniĊü. Na podstawie tak
uzyskanych danych, obliczymy Ğredni okres drgaĔ, a nastĊpnie róĪnymi metodami moment bezwładnoĞci bryły
wzglĊdem osi obrotu według wzorów odpowiednich dla kaĪdej z badanych brył.

Dla jednorodnego prĊta pomiary zostały wykonane dla 2 róĪnych odległoĞci osi obrotu prĊta od osi

Ğ

rodkowej w w/w celu.

Pomiary i obliczenia

CZ.I Tarcza kołowa z otworami

Moment bezwładnoĞci tarczy wyliczymy na dwa sposoby. BezpoĞrednio z twierdzenia Steinera, które

mówi, Īe moment bezwładnoĞci wzglĊdem dowolnej osi O równoległej do osi S przechodzącej przez Ğrodek
masy jest równy sumie momentu bezwładnoĞci wzglĊdem osi O i iloczynu całej masy bryły i kwadratu
odległoĞci miĊdzy osiami (d), czyli:

I

S

= I

O

- m d2

Jednym z wniosków wynikających z twierdzenia Steinera jest fakt, Īe wyraĪenie:

const

d

gd

T

=

−

2

2

2

4π

WyraĪenie to w dalszej czĊĞci bĊdziemy oznaczaü jako C. Pomiary dla tarczy wykonamy dla 3 róĪnych

otworów w celu sprawdzenia czy twierdzenie Steinera jest zachowane tzn. czy wyliczona na podstawie
pomiarów wielkoĞü C jest stała. Wybrane przez nas otwory zostały zaznaczone na Rysunku 1.

Przy pomocy C moĪemy wyznaczyü moment bezwładnoĞci ciała wzglĊdem osi S ze wzoru:

C

m

S

I

2

4

π

=

BĊdzie to drugi sposób wyliczenia momentu bezwładnoĞci dla tej bryły, który zaprezentujemy w

sprawozdaniu. Istnieje równieĪ trzecia metoda i jest nią policzenie całki:



nie jest to jednak proste zadanie ze wzglĊdu na nieregularny kształt tarczy.

Do obliczeĔ wykorzystane zostały nastĊpujące parametry i wartoĞci stałe:

Tabela 1. WartoĞci i stałe wykorzystane w obliczeniach

m

¨

m

[g]

[g]

n

¨

n

g

ʌ

966,3

± 0,1

20

± 1

9,8

3,14

Natomiast uporządkowane pomiary prezentuje Tabela 2:

Tabela 2. Pomiary i przygotowanie danych do obliczenia momentu bezwładnoĞci

L.p.

d

¨

d

d

Ğ

r

¨

d

Ğ

r

t

i

t

Ğ

r

¨

t

Ğ

r

T

¨

T

[mm]

[mm]

[mm]

[mm]

[s]

[s]

[s]

[s]

[s]

1.

62,80

12,90

2.

62,75

12,92

3.

62,80

12,95

4.

62,75

12,82

5.

62,70

13,02

o

tw

ó

r

1

6.

62,80

62,77

12,76

12,90

0,07

0,64

0,04

1.

54,80

12,60

2.

54,80

12,77

3.

54,80

12,67

4.

54,78

12,60

5.

54,73

12,72

o

tw

ó

r

2

6.

54,75

54,78

12,60

12,70

0,06

0,63

0,03

1.

34,80

12,79

2.

34,80

12,62

3.

34,80

12,76

4.

34,80

12,69

5.

34,75

12,77

o

tw

ó

r

3

6.

34,75

0,10

34,78

0,06

12,71

12,70

0,06

0,64

0,03

Wykorzystując powyĪsze dane liczymy moment bezwładnoĞci ciała wzglĊdem osi wahadła O oraz

wzglĊdem osi Ğrodka masy S:

Tabela 3. Moment bezwładnoĞci tarczy liczony z twierdzenia Steinera

I

o

¨

I

o

¨

I

o

/I

o

I

S

¨

I

S

¨

I

S

/ I

S

[kgm

2

]

[kgm

2

]

%

[kgm

2

]

[kgm

2

]

%

o

tw

ó

r

1

0,006265 0,000700

11,18% 0,002458 0,000693

28,17%

o

tw

ó

r

2

0,005270 0,000587

11,15% 0,002371 0,000581

24,50%

o

tw

ó

r

3

0,003380 0,000378

11,18% 0,002211 0,000374

16,90%

Wyliczamy równieĪ stałe C dla kaĪdego z otworów oraz moment bezwładnoĞci metodą, która je

angaĪuje:

Tabela 4. Moment bezwładnoĞci tarczy liczony z wykorzystaniem stałej C

C

¨

C

C

Ğ

r

¨

C

Ğ

r

I

Sc

¨

I

Sc

¨

I

Sc

/I

Sc

[m

2

]

[m

2

]

[m

2

]

[m

2

]

[kgm

2

]

[kgm

2

]

[%]

o

tw

ó

r

1

0,10

0,03

o

tw

ó

r

2

0,10

0,02

o

tw

ó

r

3

0,09

0,02

0,0958

0,0030

0,002347

0,000073

3,09%

Wzory i przykładowe obliczenia

Przeanalizujmy teraz wzory wykorzystane podczas uzupełniania tabel. BĊdziemy omawiaü tylko te

wzory, które zostały wykorzystane pierwszy raz. JeĞli dana metoda lub wzór zostanie wykorzystany ponownie
bĊdzie on pominiĊty.

Dokładną analizĊ obliczeĔ przeprowadzimy dla otworu nr 1:

Pierwszym godnym uwago wzorem jest wzór na niepewnoĞü Ğredniej liczony wg wzoru:

\

0,06

0,0033

0,0003

2

)

.

.

(

3

1

2

)

(

)

(

=

+

=

∆

+

=

e

d

x

s

c

x

s

NiepewnoĞü Ğredniego czasu jest równieĪ niepewnoĞcią złoĪona, liczymy ja z wykorzystaniem w/w

wzoru.

Okres to czas niezbĊdny do wykonania jednego wahniĊcia.

s

n

t

T

Ğ

r

64

,

0

20

12,9

=

=

=

WartoĞü ǻT wyznaczymy metodą róĪniczki zupełnej:

s

n

n

t

t

n

n

n

T

t

t

T

T

04

,

0

2

20

1

*

90

,

12

20

07

,

0

2

1

=

+

=

∆

⋅

+

∆

⋅

=

∆

⋅

∂

∂

+

∆

⋅

∂

∂

=

∆

Moment bezwładnoĞci wokół osi wahadła liczymy ze wzoru:

2

006265

,

0

2

14

,

3

*

4

06277

,

0

*

8

,

9

*

9663

,

0

*

2

64

,

0

2

4

2

0

kgm

d

g

m

T

I

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

π

Licząc niepewnoĞü I

o

ponownie skorzystamy z metody róĪniczki zupełnej. Wyprowadzony wzór

wygląda nastĊpująco:

)

2

2

2

(

2

4

0

0

d

m

T

m

d

T

T

d

m

T

g

d

d

I

m

m

I

T

T

O

I

O

I

∆

⋅

⋅

+

∆

⋅

⋅

+

∆

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

∆

⋅

∂

∂

+

∆

⋅

∂

∂

+

∆

⋅

∂

∂

=

∆

π

A po podstawieniu danych otrzymujemy ǻI

0

=0,0007 kgm

2

UwzglĊdniając odległoĞü miĊdzy osią wahadła a osią Ğrodka masy moĪemy obliczyü moment

bezwładnoĞci wzglĊdem osi S:

2

2

2

2

2

2

002458

,

0

6277

,

0

*

9663

,

0

006265

,

0

4

kgm

d

m

d

g

m

T

d

m

I

I

o

S

=

−

=

⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

−

=

π

NiepewnoĞü I

S

policzymy ponownie z róĪniczki zupełnej:

2

2

2

0

0

0

0

2

2

2

2

2

4

4

4

I

I

I

Tmgd

T gd

T mg

I

T

m

d

T

d

m

md

d

T

m

d

π

π

π

§

·

§

·

∂

∂

∂

∆

=

⋅ ∆ +

⋅ ∆ +

⋅ ∆ =

⋅ ∆ +

−

⋅ ∆ +

−

⋅ ∆

¨

¸

¨

¸

∂

∂

∂

©

¹

©

¹

=0,000693kgm

2

W celu sprawdzenia twierdzenia Steinera wyliczymy stałe C dla kaĪdego otworu ze wzoru:

d

d

g

T

C

⋅

−

⋅

⋅

=

2

2

4π

A nastĊpnie je uĞrednimy. NiepewnoĞü złoĪoną Ğredniej liczymy tak jak w przypadku czasu.

NiepewnoĞü tak wyliczonej stałej liczymy metodą róĪniczki zupełnej:

2

2

2

2

0,003m

*

)

8

(

*

*

2

=

∆

−

+

∆

+

∆

=

∆

d

d

g

T

T

gd

T

d

Tgd

C

π

Moment bezwładnoĞci I

Sc

z wykorzystaniem stałej C wygląda nastĊpująco:

0

2

4

m C

I

π

⋅

=

⋅

=

2

2

m

0,002347kg

14

,

3

*

4

0958

,

0

*

9663

,

0

=

Natomiast jego niepewnoĞü:

0

0

0

2

2

4

4

I

I

m C

m

C

I

m

C

m

C

π

π

∂

∂

∆ ⋅

⋅ ∆

∆

=

∆ +

∆ =

+

∂

∂

⋅

⋅

=0,000073 kgm

2

CZ.II Pier

ĞcieĔ

Moment bezwładnoĞci pierĞcienia policzymy dwoma metodami, pierwsza metoda bĊdzie analogiczna

jak dla tarczy, wykorzystamy twierdzenie Steinera. Drugą metodą bĊdzie obliczenie momentu bezwładnoĞci z
całki po masie wczeĞniej zaprezentowanej. Jest to moĪliwe ze wzglĊdu na regularny kształt przedmiotu. Wzór
ten bĊdziemy w dalszej czĊĞci nazywaü wzorem tablicowym i bĊdzie on wyglądał nastĊpująco:

(

)

2

2

2

1

r

R

m

I

Stab

+

=

Do obliczeĔ wykorzystane zostały nastĊpujące parametry i wartoĞci stałe:

Tabela 5. WartoĞci i stałe wykorzystane w obliczeniach

m

¨

m

[kg]

[kg]

n

¨

n

g

ʌ

0,0774

0,0001

20

± 1

9,8

3,14

Natomiast uporządkowane pomiary Ğrednic pierĞcienia oraz wyliczony okres prezentuje Tabela 6:

Tabela 6. Pomiary i przygotowanie danych do obliczenia momentu bezwładnoĞci

R

i

¨

R

R

Ğ

r

¨

R

Ğ

r

r

i

¨

r

r

Ğ

r

¨

r

Ğ

r

t

i

t

Ğ

r

¨

t

Ğ

r

T

¨

T

[mm]

[mm]

[mm]

[mm]

[mm]

[mm]

[mm]

[mm]

[s]

[s]

[s]

[s]

[s]

69,35

59,7

14,72

69,40

59,7

14,72

69,40

59,7

14,77

69,35

59,6

14,68

69,30

59,7

14,73

69,30

0,10

69,35

0,18

59,6

0,1

59,67

0,18

14,65

14,71

0,06

0,74

0,04

Wykorzystując powyĪsze dane liczymy moment bezwładnoĞci ciała wzglĊdem osi wahadła O oraz

wzglĊdem osi Ğrodka masy S z twierdzenia Steinera oraz z wzoru tablicowego:

Tabela 7. Moment bezwładnoĞci pierĞcienia liczony z twierdzenia Steinera

I

o

¨

I

o

¨

I

o

/I

o

I

S

¨

I

S

¨

I

S

/ I

S

[kgm

2

]

[kgm

2

]

%

[kgm

2

]

[kgm

2

]

%

0,000621

0,000070

11,26% 0,000345

0,000068

19,64%

Tabela 8. Moment bezwładnoĞci pierĞcienia liczony ze wzoru tablicowego

I

Stab

¨

I

Stab

¨

I

Stab

/I

Stab

[kgm

2

]

[kgm

2

]

%

0,0003239

0,000002

0,70%

Wzory i przykładowe obliczenia

Jedynym nowo wykorzystanym wzorem jest wzór tablicowy na moment bezwładnoĞci ciała:

(

)

2

2

5

2

2

gm

0,0003239k

)

05967

,

0

0693

,

0

(

*

0774

,

0

2

1

2

1

=

+

=

+

=

r

R

m

I

Stab

Jego niepewnoĞü:

(

)

2

2

2

m

0,000002kg

2

=

∆

+

∆

+

+

∆

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∆

r

mr

R

mR

r

R

m

r

I

R

I

m

I

I

Stab

Stab

Stab

Stab

CZ.III Pr

Ċt

Moment bezwładnoĞci metalowego prĊta policzymy trzema metodami, pierwsza dwie metody bĊdą

analogiczne jak dla tarczy, wykorzystamy te same wzory. Trzecią metodą bĊdzie, jak w przypadku pierĞcienia,
obliczenie momentu bezwładnoĞci z całki po masie. Wzór tablicowy dla prĊta bĊdzie wyglądał nastĊpująco:

12

2

ml

I

Stab

=

Do obliczeĔ wykorzystane zostały nastĊpujące parametry i wartoĞci stałe:

Tabela 9. WartoĞci i stałe wykorzystane w obliczeniach

m

¨

m

a

1

a

2

[kg]

[kg]

n

¨

n

[mm]

[mm]

g

ʌ

0,9241

0,0001

20

1

98

38

9,8

3,14

Natomiast uporządkowane pomiary Ğrednic pierĞcienia oraz wyliczony okres prezentuje Tabela 10:

Tabela 10. Pomiary i przygotowanie danych do obliczenia momentu bezwładnoĞci

l

i

l

Ğ

r

¨

l

Ğ

r

a

i

¨

a

i

t

i

t

Ğ

r

¨

t

Ğ

r

T

¨

T

[mm]

[mm]

[mm]

[mm]

[mm]

[s]

[s]

[s]

[s]

[s]

15,7

249,60

15,66
15,56

249,60

15,63
15,71

249,60

98,0

15,62

15,65

0,06

0,78

0,04

17,06

249,50

16,98
17,01

249,60

17,01
16,94

249,60

249,58

0,06

38,0

0,5

17,04

17,01

0,06

0,85

0,05

Wykorzystując powyĪsze dane liczymy moment bezwładnoĞci w/w trzema metodami:

Tabela 11. Moment bezwładnoĞci prĊta liczony z twierdzenia Steinera

I

o

¨

I

o

¨

I

o

/I

o

I

S

¨

I

S

¨

I

S

/ I

S

[kgm

2

]

[kgm

2

]

%

[kgm

2

]

[kgm

2

]

%

0,013773 0,001558

11,31%

0,004898

0,001467

29,95%

0,006309 0,000676

10,72%

0,004975

0,000676

13,59%

Tabela 12. Moment bezwładnoĞci prĊta liczony z wykorzystaniem stałej C

C

¨

C

C

Ğ

r

¨

C

Ğ

r

I

Sc

¨

I

Sc

¨

I

Sc

/I

Sc

[m

2

]

[m

2

]

[m

2

]

[m

2

]

[kgm

2

]

[kgm

2

]

[%]

0,209042 0,062578

0,212321 0,030881

0,210682 0,001639

0,004937

0,000039

0,79%

Tabela 13. Moment bezwładnoĞci prĊta liczony ze wzoru tablicowego

I

Stab

¨

I

Stab

¨

I

Stab

/I

Stab

[kgm

2

]

[kgm

2

]

%

0,004797 0,000003

0,06%

Wzory i przykładowe obliczenia

Wykorzystane do obliczeĔ wzory były prezentowane wczeĞniej. Jedyną „nowoĞcią” jest tablicowy wzór

na moment bezwładnoĞci prĊta:

2

2

2

004797

,

0

12

58

,

249

,

0

*

9241

,

0

12

kgm

ml

I

Stab

=

=

=

Oraz jego niepewnoĞü liczona metodą róĪniczki zupełnej:

2

2

m

0,000039kg

12

2

12

=

∆

+

∆

=

∆

∂

∂

+

∆

∂

∂

=

l

ml

ml

l

l

I

m

m

I

I

Stab

Stab

Stab

Wnioski ko

Ĕcowe

Naszym zadaniem było doĞwiadczalne sprawdzenie twierdzenia Steinera. Po przeprowadzonych

pomiarach i wykonanych obliczeniach otrzymaliĞmy nastĊpujące wartoĞci momentów bezwładnoĞci badanych
brył:

™dla metalowej tarczy:

ƒ obliczony z tw. Steinera dla otworu nr 1

0,0025 ± 0,0007 kgm

2

ƒ obliczony z tw. Steinera dla otworu nr 2

0,0024 ± 0,0006 kgm

2

ƒ obliczony z tw. Steinera dla otworu nr 3

0,0022 ± 0,0006 kgm

2

ƒ Ğredni z tw. Steinera dla wszystkich otworów

0,0024 ± 0,0006 kgm

2

ƒ obliczony z wykorzystaniem stałej C

0,0023 ± 0,0001 kgm

2

™dla pierĞcienia:

ƒ obliczony z tw. Steinera

0,000345 ± 0,000068 kgm

2

ƒ obliczony ze wzoru tablicowego

0,0003239 ± 0,000002 kgm

2

™dla jednorodnego prĊta:

ƒ obliczony z tw. Steinera dla odległoĞci a

1

0,004898 ± 0,001467 kgm

2

ƒ obliczony z tw. Steinera dla odległoĞci a

2

0,004975 ± 0,000676 kgm

2

ƒ Ğredni dla obu odległoĞci obliczony z tw. Steinera

0,004937 ± 0,001072 kgm

2

ƒ obliczony z wykorzystaniem stałej C

0,004937 ± 0,000039 kgm

2

ƒ obliczony ze wzoru tablicowego

0,004797 ± 0,000003 kgm

2

Analizując wyĪej zaprezentowane wyniki widzimy, Īe dla tarczy otrzymane momenty bezwładnoĞci są

bardzo do siebie zbliĪone. KaĪdy z otrzymanych wyników mieĞci siĊ w przedziałach niepewnoĞci innych
otrzymanych wartoĞci. Dodatkowo dla kaĪdego z otworów wartoĞü wyraĪenia, które oznaczyliĞmy jako C jest
sobie równa, a wiĊc stała. Wniosek z powyĪszych obserwacji: bez wzglĊdu na odległoĞü jaka dzieli oĞ obrotu od
osi Ğrodka masy otrzymaliĞmy taki sam moment bezwładnoĞci bryły czyli twierdzenie Steinera jest dla tej bryły
spełnione. Trzeba tutaj jednak zaznaczyü, Īe im odległoĞü miĊdzy osiami jest wiĊksza tym błąd wzglĊdny jest
wiĊkszy. W naszym przypadku dla najdalej połoĪonego otworu wyniósł ok. 30%.

Dla pierĞcienia zaleĪnoĞü którą prezentuje twierdzenie Steinera jest równieĪ zachowana. Moment

bezwładnoĞci obliczony ze wzoru tablicowego mieĞci siĊ w przedziałach niepewnoĞci wyniku obliczonego z
twierdzenia Steinera. Jest to lepszy dowód na prawdziwoĞü tw. Steinera, poniewaĪ mamy tu niezaleĪny wzór i
moĪe on byü pewniejszym punktem odniesienia przy porównywaniu wyników. Metoda obliczania momentu
bezwładnoĞci wykorzystująca stałą C jest innym zapisem tw. Steinera, wiĊc siłą rzeczy wyniki nią otrzymane
bĊdą bardzo zbliĪone do wyników otrzymanych bezpoĞrednio ze wzoru w/w twierdzenia.

Dla jednorodnego prĊta moment bezwładnoĞci nie jest zachowany. Wynika to z tego, Īe nasz prĊt na

jednym z koĔców miał 11 naciĊü, które miały ułatwiü mocowanie go w łoĪysku statywu, a jedynie
spowodowały przesuniĊcie Ğrodka masy w stronĊ nieponacinanej koĔcówki. Jako, Īe nie byliĞmy w stanie
okreĞliü przybliĪonego punktu Ğrodka masy, mimo prób ustawienia prĊta w równowadze na pryzmatycznej belce
z wczeĞniej wykorzystywanych układów pomiarowych, przyjĊliĞmy Ğrodek masy jako Ğrodek prĊta, co
bezpoĞrednio „popsuło” otrzymane wyniki. Prawdopodobnie gdybyĞmy byli w stanie okreĞliü Ğrodek masy prĊta
i wykorzystali ta wartoĞü w obliczeniach okazałoby siĊ, Īe twierdzenie Steinera dla prĊta jest równieĪ spełnione.