Wyznaczanie stałej Halla.

Analiza wyników pomiarów U_H = f (I)

Badamy zmianę wartości napięcia Halla w funkcji natężenia przy stałej wartości indukcji pola magnetycznego równej -150 mT oraz -250 mT:

B (mT)	-150 mT
I (mA)	0
UH (mV)	0

B (mT)	-250 mT
I (mA)	0
UH (mV)	0

Na podstawie wyżej zapisanych wartości sporządzamy wykresy zależności napięcia Halla (podanego w miliwoltach) od natężenia (jednostka – miliampery) w programie Logger Pro, odpowiednio dla:

• wartości -150 mT:

• wartości -250 mT:

Zgodnie z przewidywaniami możemy zauważyć, że w obu przypadkach mamy do czynienia z zależnością liniową.

Na wykresie za pomocą funkcji programu Logger Pro - Linear Fit, wykreślamy – metodą najmniejszych kwadratów – linię trendu, będącą podstawą do wyliczenia stałej Halla w dalszej części tego sprawozdania.

Dla odpowiednich wartości indukcji pola magnetycznego,z tabel pomocniczych na wykresach możemy odczytać następujące współczynniki kierunkowe m (wraz z błędami ich wyznaczania)

B₁ = -150 mT: m₁ = 1,527 ± 0,015

B₂ =-250 mT: m₂ = 2,374 ± 0,028

Mając dane materiału przewodzącego w postaci równoległościennej płytki:

oporność próbki R₀ =60 Ω;

powierzchnia ścianek prostopadłych do kierunku przepływającego prądu S = (1,0 ± 0,1) × 10^-5 m²;

szerokość próbki d = (1,0 ± 0,1) × 10^-3 m;

długość próbki l = 0,020 ± 0,001 m;

możemy obliczyć wartości stałej Halla R_H korzystając ze wzoru:

$$R_{H} = \frac{\text{mS}}{\text{Bd}}$$

stąd, dla wartości strumienia indukcji pola równej 150 mT wynosić będzie:

$$R_{H} = \frac{m_{1}S}{B_{1}d} = \frac{1,527\frac{V}{A} \times (1,0\ \times 10^{- 5})\ m^{2}}{\left( - 1,5 \times 10^{- 1}\text{\ T} \right) \times (1,0 \times 10^{- 3}\ m)} = - 10,18\ \times 10^{- 2}\ \frac{\Omega m}{T}$$

dla wartości 250 mT więc:

$$R_{H} = \frac{m_{2}S}{B_{2}d} = \frac{2,374\frac{V}{A} \times (1,0\ \times 10^{- 5})\ m^{2}}{\left( - 2,5 \times 10^{- 1}\text{\ T} \right) \times (1,0 \times 10^{- 3}\ m)} = - 9,496 \times 10^{- 2}\frac{\Omega m}{T}$$

Biorąc pod uwagę powyższe wyniki szacujemy wartość stałej Halla na $\mathbf{- 10}\frac{\mathbf{\Omega}\mathbf{m}}{\mathbf{T}}$

Na podstawie wielkości i znaku stałej Halla RH wyciągamy wniosek, że nośnikami ładunków w danej próbce są elektrony. Patrząc na powyższe wyniki możemy wysnuć wniosek kolejny – wartość indukcji pola magnetycznego nie ma żadnego wpływu na wielkość wyliczonej stałej.

Korzystając z metody różniczki zupełnej szacujemy bezwzględny błąd pomiaru ΔR_H:

Analiza wyników pomiarów U_H = f (B)

Kolejnym krokiem w opracowaniu wyników pomiaru będzie badanie wartości napięcia Halla w funkcji indukcji pola magnetycznego B przy stałym natężeniu prądu I.

Uzyskane podczas doświadczenia dane umieszczamy w poniższych tabelach, odpowiednio dla wartości natężenia prądu równego 20 mA:

I (mA)	20 mA
B (mT)	0
UH (mV)	1,9

oraz 40 mA:

I (mA)	40 mA
B (mT)	0
UH (mV)	4,2

Analogicznie jak w poprzednim przypadku, i tutaj sporządzamy wykresy zależności w programie Logger Pro:

• dla wartości 20 mA:

oraz dla wartości 40 mA:

Otrzymane wykresy zależności U_H = f (B) zgodnie z przewidywaniami, prezentują nam liniową zmianę napięcia względem wartości indukcji pola magnetycznego.

Odczytujemy wartość współczynników a (linia trendu została wykreślona w oparciu o metodę najmniejszych kwadratów) z tabeli pomocniczej programu Logger Pro dla odpowiednich stałych wartości natężenia prądu wraz z wartością niepewności pomiarowej:

I₁ = 20 mA: a₁ = -0,193 ± 0,003

I₂= 40 mA: a₂ = -0,370 ± 0,004

Korzystając z podanego w instrukcji wzoru, obliczamy wielkość oraz znak współczynnika Halla:

$$R_{H} = \frac{\text{aS}}{\text{Id}}$$

Wstawiając wartości liczbowe, przytoczone już w sprawozdaniu, otrzymujemy – dla wartości 20 mA (I₁):

$$R_{H} = \frac{a_{1}S}{I_{1}d} = \frac{- 0,193\frac{V}{T} \times (1,0\ \times 10^{- 5})\ m^{2}}{(2 \times 10^{- 2}\ A) \times (1,0 \times 10^{- 3}\ m)} = \ 9,65 \times 10^{- 2}\ \frac{\Omega m}{T}$$

Analogicznie, dla wartości 40 mA (I₂):

$$R_{H} = \frac{a_{1}S}{I_{1}d} = \frac{- 0,370\frac{V}{T} \times (1,0\ \times 10^{- 5})\ m^{2}}{(4 \times 10^{- 2}\ A) \times (1,0 \times 10^{- 3}\ m)} = \ 9,25 \times 10^{- 2}\ \frac{\Omega m}{T}$$

Łatwo wywnioskować zatem, że szacowana wartość stałej Halla, będzie równa $\mathbf{-}\mathbf{1 \times}\mathbf{10}^{\mathbf{- 1}}\frac{\mathbf{\Omega}\mathbf{m}}{\mathbf{T}}$, co potwierdza obliczenia dla zależności U_H = f(I). Potwierdzamy w ten sposób również obecność elektronów jako nośników ładunku w danym półprzewodniku.

Analogicznie jak w poprzedniej części sprawozdania, korzystając z metody różniczki zupełnej szacujemy bezwzględny błąd pomiaru ΔR_H:

Obliczanie koncentracji i ruchliwości nośników prądu.

Z wyznaczonej w poprzedniej części sprawozdania stałej Halla, opierając się na fakcie, że nośnikami prądu są elektrony oraz korzystając z odpowiadającej im zależności obliczamy koncentrację ładunku n:

$$\mathbf{R}_{\mathbf{H}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{- 1}}{\mathbf{\text{ne}}}$$

Wstawiając wartości do wzoru oraz dokonując odpowiednich przekształceń oraz przyjmując, że e = 1, 61×10⁻¹⁹C,otrzymujemy:

$$\mathbf{n = -}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{R}_{\mathbf{H}}\mathbf{e}}\mathbf{= -}\frac{\mathbf{1}}{\left( \mathbf{- 1 \times}\mathbf{10}^{\mathbf{- 1}}\frac{\mathbf{\text{Ωm}}}{\mathbf{T}} \right)\mathbf{\times (}\mathbf{1,61 \times}\mathbf{10}^{\mathbf{- 19}}\mathbf{C}\mathbf{)}}\mathbf{=}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{21}\mathbf{\times}\mathbf{10}^{\mathbf{19}}\frac{\mathbf{T}}{\mathbf{\Omega}\mathbf{C}\mathbf{m}}$$

Kolejnym zadaniem jest wyznaczenie ruchliwości nośników prądu µ:

$$\mathbf{u =}\frac{\mathbf{\sigma}}{\mathbf{\text{n\ e}}}\mathbf{= -}\mathbf{\sigma}\mathbf{R}_{\mathbf{H}}$$

gdzie σ – przewodnictwo próbki równe jest :

$$\mathbf{\sigma}\mathbf{=}\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{R}_{\mathbf{0}}\mathbf{S}}$$

Podstawiając wartości liczbowe, otrzymujemy:

$$\mathbf{u = -}\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{R}_{\mathbf{0}}\mathbf{S}}\mathbf{R}_{\mathbf{H}}\mathbf{= -}\frac{\mathbf{2 \times}\mathbf{10}^{\mathbf{- 2}}\mathbf{m \times ( - 1) \times}\mathbf{10}^{\mathbf{- 1}}\frac{\mathbf{\text{Ωm}}}{\mathbf{T}}}{\mathbf{6 \times}\mathbf{10}^{\mathbf{1}}\mathbf{\Omega \times}\mathbf{(1,0\ \times}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\mathbf{)\ }\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 3,}\left( \mathbf{3} \right)\mathbf{\ }\mathbf{T}^{\mathbf{- 1}}$$

Korzystając ze znanej nam już metody różniczki zupełnej obliczamy błąd wyznaczania koncentracji n oraz ruchliwości nośników µ

Wnioski:

• Zależność pomiędzy napięciem Halla, a natężeniem prądu, przy stałej wartości indukcji magnetycznej w danym układzie badawczym przebiega liniowo.

• Podobna sytuacja ma miejsce przy zależności pomiędzy napięciem Halla, a wartością indukcji magnetycznej – tym razem przy stałej wartości natężenia prądu

• Łatwo zauważyć, że im większa wartość bezwzględna indukcji magnetycznej B w funkcji U_H=f(I), kąt nachylenia wykresu do osi OX zwiększa się, a co za tym idzie – zwiększa się wartość modułu współczynnika kierunkowego.

• Analogiczna sytuacja ma miejsce w przypadku funkcji U_H=f(B) dla wzrastającej wartości modułu natężenia prądu I.

• Zmieniające się wielkości natężenia prądu I oraz indukcji magnetycznej B nie mają żadnego wpływu na wielkość stałej Halla.

• Wyliczona przez nas stała Halla (R_H) ma ujemny znak – możemy więc przypuszczać, że nośnikami prądu w danym materiale przewodzącym (germanie) są elektrony.

• Na podstawie danych zebranych podczas doświadczenia, możemy wywnioskować, że badany materiał jest półprzewodnikiem. Świadczy o tym brak gwałtownego wzrostu oporu dla wzrastającej wartości temperatury w materiale przewodzącym – a co za tym idzie – nie zakłóca on liniowej zależności zarejestrowanej podczas ćwiczenia.

• Otrzymana jednostka ruchliwości nośników jest odwrotnością Tesli $(\frac{1}{T})$. Możemy spróbować scharakteryzować tą jednostkę, porównując ją do zależności między okresem, a częstotliwością.