WPROWADZENIE DO SYSTEMÓW TELEKOMUNIKACYJNYCH
SEMINARIUM
Piotr Zaniewski
Prowadzący :
Dr inż. W. Krzysztofik
Zadanie Z1/16
Korzystając z twierdzenia o splocie w dziedzinie częstotliwości wyprowadzić wzór na transformatę Fouriera iloczynu dowolnej funkcji f(t) i funkcji okresowej g(t). Opierając się na wyprowadzonej zależności udowodnić, że
Rozwiązanie :
Splot w dziedzinie częstotliwości określony jest wzorem :
Dokonuję zamiany zmiennych w całce wewnętrznej podstawiając ω-k = u
Szukam G(ω)
Ponieważ g(t) jest okresową funkcją czasu , stąd
gdzie (*)
czyli otrzymuję :
Na podstawie własności :
Wyznaczam Gn na podstawie wzoru (*) .
Zgodnie z wykresem funkcji g(t) mam, że :
T = 2τ0 i ponieważ Tω0 = 2π
otrzymuję zależność :
ω0 τ0 = π
Obliczam wartość Gn dla n = 0
Obliczam wartość Gn dla n = 0
Dla n = ... ,-5 ,-1 ,3 ,7 ,11 ,... sin(nπ/2) = -1
n = ... ,-3 ,1 ,5 ,9 , ... sin(nπ/2) = 1
dlatego
czyli ostatecznie otrzymuję :
co było do udowodnienia .