Zagadnienia teoretyczne
Jak wiadomo, umieszczenie na drodze fali œwietlnej przeszkody lub ekranu z otworami powoduje powstanie za tymi przeszkodami strefy cienia. Obszar ten można łatwo wyznaczyć geometrycznie, przyjmując że œwiatło rozchodzi się liniowo. Niestety tak nie jest. Dokładniejsze obserwacje wskazują na to, iż fala œwietlna przenika w obszar cienia geometrycznego. Takie przenikanie, połączone z powstaniem interferencyjnego rozkładu w różnych kierunkach nazywamy dyfrakcją.
Już w 1803 r. Thomas Young zademonstrował swoje słynne doœwiadczenie z dwiema szczelinami, pokazując, że wiązki œwiatła z pojedynczego Ÿródła interferują ze sobą, tworząc na ekranie maksima i minima, tak zwane prążki interferencyjne. W przypadku dwu szczelin, istnieje taki punkt na ekranie, do którego drogi wiązek wychodzących z obu szczelin są takie same. (Po przejœciu przez szczeliny œwiatło ulega dyfrakcji, i stąd jest możliwa ta sytuacja, gdzie np. dwie równoległe wiązki po przejœciu przez szczeliny ulegają odchyleniu i zbiegają się w jednym punkcie na ekreanie). Ponieważ wiązka œwiatła jest falą œwietlną, w tym przypadku zachodzi wzmocnienie interferencyjne (nałożenie się dwu szczytów fal) i powstaje centralny, jasny prążek. Do podobnego wzmocnienia dochodzi, gdy różnica dróg obu wiązek jest całkowitą wielokrotnoœcią długoœci fali; jeżeli jest nieparzystą wielokrotnoœcią połowy długoœci fali, mamy na ekranie ciemny prążek (wygaszanie interferencyjne).
Rozpatrzmy obraz dyfrakcyjny dawany przez jedną szczelinę. Niech na szczelinę pada fala płaska; rozpatrzmy przypadek fali biegnących z dwu przeciwległych krawędzi szczeliny pod kątem :
fala płaska b
b sin
Róznica dróg przebywanych przez obie wiązki wynosi bsin. Jeżeli podzielimy szczelinę na pół i weŸmiemy pod uwagę także œwiatło wychodzące ze œrodka szczeliny, jego droga będzie różniła się od pozostałych o (b/2)sin . Jeżeli (b/2)sin=/2, gdzie jest długoœcią fali, œwiatło ze œrodka szczeliny wygasza się ze œwiatłem z obu krawędzi - otrzymujemy minimum (interferencyjne wygaszanie œwiatła) dla sin=/b. Jednoczeœnie w dalszym ciągu otrzymujemy centralne maksimum, gdyż drogi wiązek biegnących z przeciwległych krańców szczeliny są nadal takie same.
Gdybyœmy zamiast dzieląc szczelinę na połówki, podzielili ją na ćwiartki otrzymalibyœmy kąt następnego minimum: sin=2/b. Ogólnie, minima występują dla sin=n/b.
Rozłożenie œwiatła po dyfrakcji jest nierównomierne. Œrodkowe maksimum jest najsilniejsze i najszersze, otoczone przez kolejne minima i słabnące maksima. Gdy wiązki zbiegające się w punkcie są w przybliżeniu rówoległe, co osiąga się poprzez odsunięcie ekranu daleko od szczeliny lub przez skorzystanie z soczewki skupiającej, taki rozkład dyfrakcji nazywa się rozkładem Fraunhofera. Gdy ekran ustawiony jest względnie blisko szczeliny i nie korzysta się z soczewki skupiającej, powstaje nieco bardziej skomplikowany rozkład, zwany rozkładem Fresnela. Rozkład ten jest raczej złożony, i z tego powodu badając dyfrakcję œwiatła ogólnie stara się osiągnąć rozkład Fraunhofera, co znacznie upraszcza pomiary.
Dla dwu szczelin o szerokoœci b i odległoœci d od siebie, problem jest prawie identyczny. W tym przypadku badamy interferencję fal pochodzących nie z sąsiednich obszarów szczeliny, ale z dwu częœci czoła fali odległych od siebie o d. Gdy dsin=n/2, będziemy mieli wygaszanie interferencyjne; przy dsin=n zachodzi wzmocnienie interferencyjne.
Podobnie się ma sprawa z trzema i więcej szczelinami ułożonymi równolegle, w stałej odległoœci od siebie. Zwiększenie liczby szczelin nie zmienia położenia głównych maksimów. Ponieważ jednak w tym przypadku wygaszanie będzie zachodzić pod wieloma kątami, maksima te będą bardzo ostre.
Układ bardzo wielu szczelin nazywamy siatką dyfrakcyjną. W tym przypadku oczywiœcie w dalszym ciągu zachodzi zależnoœć dsin=n; symbol d, oznaczający odległoœć pomiędzy kolejnymi szczelinami nazywa się stałą siatki:
P
d
Należy zwrócić uwagę na fakt, że obecnoœć soczewki skupiającej nie wywołuje dodatkowej różnicy dróg optycznych promieni. Siatkę otrzymuje się poprzez precyzyjne grawerowanie wielu równoległych linii na płytce szklanej. Miejsca pomiędzy liniami przepuszczają œwiatło i pełnią rolę szczelin. Typowa siatka dyfrakcyjna zawiera kilka tysięcy linii na centymetr. Stąd na przykład stała siatki dla typowej siatki o 5000 liniach na centymetr wynosi 1/5000 cm, czyli 2 mikrony. Siatka dyfrakcyjna jest użyteczna do mierzenia długoœci fali œwiatła. Ponieważ kąty, pod jakimi powstają maksima zależą od długoœci fali œwiatła, siatka dyfrakcyjna w naturalny sposób rozkłada œwiatło na jego widmo. Dzięki tej zdolnoœci znajduje szerokie zastosowanie w spektroskopii.
II. Opis doœwiadczenia
Celem doœwiadczenia było obliczenie stałej siatki dyfrakcyjnej korzystając z pomierzonych wartoœci kątowych odpowiadających położeniu par prążków (wzmocnień interferencyjnych). Posłużono się w tym celu standartowym zestawem spektrometrycznym i doœwiadczalnie uzyskano dziesięć par pomiarów kątów odpowiadających poszczególnym prążkom, a następnie przystąpiono do obliczania stałej siatki korzystając ze wzoru dsin=n, wiedząc że długoœć fali œwiatła lampy sodowej wynosi 589 nm.
Opracowanie wyników pomiarów
W poniższej tabeli przeliczono wartoœci kątowe ze stopni na radiany, a następnie dla każdego pomiaru obliczono stałą siatki wg. przekształconego wzoru:
d= n/sin, gdzie w naszym przypadku wynosi 589, a n i są odpowiednio numerem kolejnego prążka i pomiarem odpowiadającego mu kąta.
Lewa strona |
|
|
|
Prążek |
Stopni odchylenia |
Radianów |
Stała siatki (nm) |
1 |
2.50 |
0.0436 |
13503 |
2 |
5.15 |
0.0899 |
13123 |
3 |
7.50 |
0.1309 |
13538 |
4 |
10.10 |
0.1763 |
13435 |
5 |
12.80 |
0.2234 |
13293 |
6 |
15.30 |
0.2670 |
13393 |
7 |
18.05 |
0.3150 |
13307 |
8 |
20.65 |
0.3604 |
13361 |
9 |
23.40 |
0.4084 |
13348 |
10 |
26.00 |
0.4538 |
13436 |
|
|
|
|
Prawa strona |
|
|
|
Prążek |
Stopni odchylenia |
Radianów |
Stała siatki |
1 |
2.50 |
0.0436 |
13503 |
2 |
5.05 |
0.0881 |
13383 |
3 |
7.55 |
0.1318 |
13448 |
4 |
10.20 |
0.1780 |
13304 |
5 |
12.80 |
0.2234 |
13293 |
6 |
15.25 |
0.2662 |
13436 |
7 |
18.00 |
0.3142 |
13342 |
8 |
20.60 |
0.3595 |
13392 |
9 |
23.00 |
0.4014 |
13567 |
10 |
26.50 |
0.4625 |
13200 |
Z powyższej tabeli można łatwo obliczyć œrednią wartoœć stałej siatki, która wynosi 13380 nm, czyli 13.38 m.
IV. Rachunek błędu
Ponieważ licząc stałą siatki korzystano z równania d= n/sin, gdzie jedyną zmienną uzyskiwaną doœwiadczalnie, a zatem wprowadzającą czynnik błędu, był pomiar kąta, licząc różniczkę zupełną można było policzyć tylko jedną pochodną:
Następnie podstawiono n i dla każdej pary pomiarów i pomnożono przez błąd skali spektrometru (0,05°) by otrzymać błąd dla poszczególnych pomiarów:
Lewa strona |
|
|
|
Prążek |
Stała siatki (nm) |
Błąd (nm) |
Błąd względny [%] |
1 |
13503 |
269.89 |
2.00 |
2 |
13123 |
127.07 |
0.97 |
3 |
13538 |
89.73 |
0.66 |
4 |
13435 |
65.82 |
0.49 |
5 |
13293 |
51.06 |
0.38 |
6 |
13393 |
42.72 |
0.32 |
7 |
13307 |
35.63 |
0.27 |
8 |
13361 |
30.94 |
0.23 |
9 |
13348 |
26.92 |
0.20 |
10 |
13436 |
24.04 |
0.18 |
|
|
|
|
Prawa strona |
|
|
|
Prążek |
Stała siatki |
Błąd |
Błąd względny |
1 |
13503 |
269.89 |
2.00 |
2 |
13383 |
132.16 |
0.99 |
3 |
13448 |
88.55 |
0.66 |
4 |
13304 |
64.53 |
0.49 |
5 |
13293 |
51.06 |
0.38 |
6 |
13436 |
43.01 |
0.32 |
7 |
13342 |
35.83 |
0.27 |
8 |
13392 |
31.09 |
0.23 |
9 |
13567 |
27.89 |
0.21 |
10 |
13200 |
23.10 |
0.18 |
|
|
|
|
Œrednia wartoœć: |
13380 |
76.55 |
0.57 |
V. Wnioski
Biorąc pod uwagę bardzo mały błąd wyliczony metodą różniczki zupełnej (œrednio ok. 0.6%) jak i małą œrednią różnicę pomiarów prawych i lewych prążków, można stwierdzić że otrzymana wartoœć stałej siatki (13.38 m) jest doœć wiarygodna. Dużą rolę odgrywała tutaj precyzyjna skala spektrometru. Patrząc jeszcze raz na wyliczone wartoœci stałej siatki dla poszczególnych poziomów wzmacniania interferencyjnego, można zauważyć pewne odchylenia od œredniej dla szczególnie małych, jak i sczególnie dużych numerów prążków. Przypadek pierwszy mieœci się w zakresie błędu i wynika ze względnie mniejszej dokładnoœci pomiarów dla małych wartoœci tychże pomiarów; drugi przypadek wynika prawdopodobnie z utrudnionego precyzyjnego nacelowywania miernika na szczególnie ciemne prążki. Zostało to spowodowane tak czynnikami zewnętrznymi (niedoskonale ciemne pomieszczenie, chwilowe włączanie jasnej lampy dla odczytu pomiarów) jak i różnymi wadami samego spektrometru, np. nieprecyzyjnoœcią ustawienia siatki dyfrakcyjnej względem strumienia œwiatła, czy też może zabrudzeniem / nieostroœcią okularu.