Rozdział 4

INTERPOLACJA

4.1. Pojęcia podstawowe

W ograniczonym przedziale
rozpatrzmy ciąg punktów:

(4.1)

które nazywamy węzłami interpolacji oraz ciąg liczb rzeczywistych:

(4.2)

które interpretujemy jako dane wartości pewnej funkcji Funkcja
jest zatem wyznaczana w sposób dyskretny za pomocą jej wartości na zbiorze (4.1)

(4.3)

Zadanie interpolacji polega na znalezieniu takiej funkcji
, zwanej funkcją interpolującą, przybliżającej stablicowaną funkcję która w węzłach interpolacji (4.1) przybiera takie same wartości (4.2), co funkcja W zadaniu interpolacji na podstawie tablicy wartości funkcji (4.3) określamy jej postać analityczną, przy wykorzystaniu której można obliczyć wartości funkcji
w dowolnym punkcie
nie pokrywającym się z węzłami interpolacji.

Interpolacja funkcji często występuje w praktyce, gdyż funkcje określone na dyskretnym zbiorze argumentów są np. wynikami pomiarów lub wynikami obliczeń numerycznych. Ponadto prawie wszystkie klasyczne wzory różniczkowania i całkowania numerycznego oraz przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych otrzymuje się wprost ze wzorów interpolacyjnych.

Zależnie od postaci funkcji interpolującej sformułowane zadanie interpolacji może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, może nie mieć rozwiązań albo mieć ich nieskończenie wiele.

W przypadku wielomianu

(4.4)

z warunków interpolacji (4.3) otrzymujemy następujący układ równań liniowych:

(4.5)

w którym niewiadomymi są współczynniki Wyznacznik podstawowy tego układu równań jest wyznacznikiem Vandermonda

tak więc układ równań (4.5) ma dokładnie jedno rozwiązanie, które przyjmujemy jako współczynniki szukanego wielomianu interpolacyjnego (4.4).

Wyznaczanie w opisany sposób wielomianów interpolacyjnych nie jest jednak zadaniem łatwym ze względu na złe uwarunkowanie zadania, wynikające z nie-korzystnej akumulacji błędów oraz duży koszt obliczeń spowodowany koniecznością rozwiązywania układu równań liniowych.

Przed przedstawieniem w następnych rozdziałach innych postaci wielomianów
i funkcji interpolujących podamy ogólniejsze sformułowanie zadania interpolacji, opierające się na przyjęciu liniowo-niezależnego układu funkcji

(4.6)

określonych na ograniczonym lub nieograniczonym przedziale
. Należy zna-leźć takie współczynniki

(4.7)

których kombinacja liniowa z funkcjami (4.6) spełnia warunki interpolacji (4.3)

(4.8)

160 4. Interpolacja

4.1. Pojęcia podstawowe 163

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

---