Rys. 5.44

Przy wykorzystaniu programu 5.5 aproksymowano funkcje (4.148) ÷ (4.151) określone na dyskretnym zbiorze argumentów, rozmieszczonych na płaszczyźnie
w węzłach prostokątnej siatki o rozmiarach
Jako węzły aproksymującej funkcji sklejanej (5.110) przyjęto węzły równomiernej prostokątnej siatki
dla
Po wyznaczeniu współczynników funkcji (5.100) obliczano jej wartości na liniach wyjściowej kraty
Otrzymane wyniki są wykorzystywane w modułach Ustawienia i Rysunek do generowania widoków powierzchni w rzucie ukośnym, zgodnie z algorytmem zamieszczonym w podręczniku [15]. Uzyskano w ten sposób obrazy aproksymowanych funkcji, pokazane na rysunkach 5.34 ÷ 5.37. Oprócz tego aproksymowano dyskretne zbiory wartości funkcji (4.148) ÷ (4.151) zaburzone funkcjami losowymi (rys. 5.44) dla amplitudy am = 0.05 o postaciach uwidocznionych w tabulogramie programu na stronie 327:

a) funkcja losowa pierwszej postaci - rys. 5.38 ÷ 5.41,

b) funkcja losowa drugiej postaci - rys. 5.42 - 5.43.

ĆWICZENIA

5.1. Wyprowadzić aproksymacje pierwszej pochodnej (5.4) ÷ (5.6) oraz (5.8) ÷ (5.12), wyrażone poprzez wartości funkcji w węzłach przy wykorzystaniu zróżniczkowanego wzoru interpolacyjnego Lagrange'a (4.18) - (4.19)

5.2. Wyprowadzić wzory Newtona-Cotesa dla
, otrzymane przez całkowanie wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a (4.18) - (4.19). Współczynniki kwadratury (5.33) są w tym przypadku określone wzorami następującymi

5.3. Wyznaczyć węzły i współczynniki kwadratury Gaussa z czterema węzłami.

5.4. Przy wykorzystaniu programu 5.1 obliczyć wartości następujących całek:

przyjmując różne granice całkowania i różne liczby podprzedziałów.

5.5. Wyznaczyć węzły i wagi kubatury Gaussa (5.58), przeznaczonej do obliczania całki funkcji dwóch zmiennych w dowolnym trójkącie dla aproksymacji kwadratowej funkcji podcałkowej.

5.6. Znaleźć najlepszą aproksymację średniokwadratową funkcji

w przedziale
wielomianem stopnia pierwszego

5.7. Znaleźć aproksymację średniokwadratową funkcji w przedziale
wielomianem stopnia drugiego

5.8. Za pomocą programu 5.2 wyznaczyć wielomiany aproksymujące funkcje:

określone
dyskretnymi punktami.

5.9. Napisać program przeznaczony do wygładzania danych eksperymentalnych za pomocą wielomianowej funkcji sklejanej trzeciego stopnia. Zadanie sprowadza się do rozwiązania układu równań (5.109) z pięciodiagonalną macierzą współczyn-ników. Działanie programu przetestować na przykładzie wykorzystanym przy testowaniu programu 5.4.

5.10. Przy wykorzystaniu programu 5.4 wyznaczyć przybliżenie średniokwadratowe obu funkcji rozważanych w przykładzie 5.8 funkcjami sklejanymi trzeciego stopnia.

5.11. Za pomocą programu 5.5 aproksymować funkcje interpolowane w przykładzie 4.9.

5.12. Napisać nowe wersje programów 5.2 i 5.5, przeznaczone do aproksymacji liniowymi funkcjami sklejanymi funkcji jednej i dwóch zmiennych niezależnych, określonych na dyskretnych zbiorach argumentów.

334 5. Różniczkowanie, całkowanie i aproksymacja

Ćwiczenia 335

---