Stabilność jest cechą układu, polegającą na powracaniu do stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia, które wytrąciło układ z tego stanu.. Zamknięty układ liniowy będziemy więc uważać za stabilny, jeżeli przy każdej skończonej wartości zakłócenia z(t) i wartości zadanej w(t) oraz dla dowolnych warunków początkowych sygnał wyjściowy y(t) dążyć będzie do skończonej wartości ustalonej dla czasu t dążącego do nieskończoności. Niekiedy precyzuje się dodatkowo, że gdy po zniknięciu zakłócenia układ powraca do tego samego stanu równowagi co poprzednio, wówczas jest stabilny asymptotycznie.

Jeżeli układ zamknięty opisany jest za pomocą liniowego równania różniczkowego

lub odpowiadającej mu transmitancji operatorowej

To czasowy przebieg sygnału wyjściowego y(t) po dowolnym zakłóceniu o wartości skończonej opisany jest wzorem o następującej postaci ogólnej

Gdzie s_k są pierwiastkami równania charakterystycznego układu zamkniętego ( mianownika transmitancji operatorowej równego zeru)

N(s) = 0

A z_st jest wartością zakłócenia. Zakłócenie z(t) może być wprowadzone w dowolnym miejscu układu, w szczególności zakłóceniem może być też zmiana wartości zadanej w(t).

Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności asymptotycznej układu jest, pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego miały ujemne części rzeczywiste

Re(s_k) < 0

Wówczas

Gdzie A₀ jest współczynnikiem o wartości skończonej i układ jest stabilny w podanym uprzednio sensie. Składowe przejściowe wielkości wyjściowej zanikają wówczas do zera przy
, a pozostaje jedynie składowa ustalona, określona statycznymi własnościami układu.

W przypadku pierwiastków zespolonych

Odpowiednie wyrazy sumy mają postać:

Wyrazy te dążą do zera przy czasie
, jeżeli Re(s_k) < 0

Jeżeli chociaż jeden z pierwiastków równania ma część rzeczywistą dodatnią Re(s_k) < 0

To

I układ jest niestabilny.

Jeżeli równania ma pierwiastki wielokrotne, to w sumie pojawiają się wyrazu typu

W tym przypadku warunek stabilności pozostaje również ważny, gdyż funkcja
rośnie wolniej niż funkcja wykładnicza, zatem dla Re(s_k) < 0 mamy

Jeżeli równanie ma pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie oraz jednokrotne na osi liczb urojonych (np. jeden pierwiastek zerowy lub parę pierwiastków urojonych sprzężonych), to w układzie będą występować drgania o stałej amplitudzie, określonej warunkami początkowymi. Układ jest wówczas na granicy stabilności, a ściśle mówiąc, nie jest stabilny asymptotycznie. Jeżeli pierwiastki zerowe są wielokrotne, to przebieg y(t) oddala się od początkowego stanu równowagi, układ jest niestabilny.

Warunek Re(s_k) < 0 można więc uważać za ogólny warunek stabilności liniowych układów automatyki.

---