Kryterium Nyquista-ma duże znaczenie praktyczne ponieważ pozwala badać stabilnośc uk zamkniętego na podstawei przebiegu charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego którą można wyznaczyć zarówno analitycznie jak i doświadczalnie.

Transmitancja układu otwartego wynosi

Przedstawiając tę transmitancję w postaci ilorazu wielomianów zmiennej s otrzymamy :

przyczym N₀(s)=0

Jest równaniem charakterystycznym uk otwartego zakładamy że stopień tego równania równa się n

Transmitancja układu zamkniętego wynosi

Równanie charakterystyczne uk zamkniętego

N_z(8)=M₀(s)+N₀(8)=0

Jest również stopnia n ponieważ stopień M₀(s) nie jest nigdy większy od stopnia N₀(s)

Przypadek 1.Układ jest stabilny.Równanie charakterystyczne układu otwartego ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s.Zgodnei z kryterium Michałowa

Układ zamknięty będzie stabilny jeżeli

Warunek stabilności układu zamkniętego można więc zapisać

Oznacza to że wykres krzywej [1+G₀(jω)] nie może obejmować początku układu współrzędnych.Ten sam warunek odniesiony do charakterystyki częstotliwościowej (amplitudowo-fazowej) układu otwartego G₀(jω) będzie sformułowany :

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest stabilny i jego charakterystyka amplitudowo-fazowa G₀(jω) dla pulsacji ω od 0 do + nieskończoności nie obejmuje punktu (-1,j0) to wtedy i tylko wtedy po zamknieciu będzie on również stabilny.W przypadku złożonego kształtu krzywych G₀(jω) wygodnie jest posługiwać się wynikającą bezpośrednio z podanego kryterium tzw regułą lewej strony która mówi że układ zamknięty jest stabilny wtedy kiedy pkt (-1,j0) znajduje się w obszarze leżącym po lewej stronie charakterystyki G₀(jω) idąc w stronę rosnącyh ω.

Przypadek uk astatycznych których charakterystyki są powyżej wymaga bliższego wyjaśnienia.Jeżeli układ otwarty zawiera np. jeden element całkujący to charakterystyka G₀(jω) dla ω=0 zaczyna się w pkt o współrzędnej urojonej -j nieskon i mogą powstać wątpliwości czy charakterystyka ta obejmuje pkt (-1,j0) czy nie.Transmitancja operatorowa układu otwartego ma wówczas postać G₀=M(s)/8N₁(s).Transmitancja widmowa G₀(jω) ma dla pulsacji ω punkt nieciągłości ;amplituda przyjmuje wartośc nieskończeni wielką a faza zmienia się skokowo o 180.Jeżeli zaliczymy biegun zerowy transmitancji G(s) do lewej półpłaszczyzny to możemy obejść go półokgregiem o nieskończenie małym promieniu r.Dla wart bliskich zera mamy wtedy s=re^jφ

Przy czym π/2<φ<π/2 a transmitancja G₀(s) przyjmuje postać

Ponieważ iloraz wielomianów M(s)/N₁(s) dla IsI—0 ma stałą wartośc k zatem

Przy czym R>> nieskończoności.Jeżeli teraz wektor s=re^jφ zmiania swój argument od 0 do π/2 to G₀(s) zmiania argument od 0 do -π/2 po okręgu R.Uzupełnienei charakterystyki G₀(jω) ćwierćokręgiem o nieskończenie wielkim promieniu pozwala właściwie sprowadzić przypadek uk astatycznego pierwszego rzędu do uk statycznego którego charakterystyka zaczyna się na dodatnim odcinku osi P(ω).W analogiczny sposób można wykazać że w przypadku uk statycznego którego charakterystykę G₀(jω) zaczynajaca się w pkt o współrzędnej rzeczywistej -nieskoń. Należy uzupełnić półokregirmm o promieniu R=nieskonczonaosc zmieniającym argument od 0 przez -π/2 do -π

Przypadek nr 2 Uk otwarty jest niestabilny.Równanie charakterystyczne układu otwartego ma (n-m) pierwiatkow w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s oraz m pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie zgodnei ze wzorem

Lub ponieważ N₀(jω) jest krzywą symetryczną względem osi liczb rzeczywistych

Układ zamkniety będzie stabilny jeżeli

Warunek stabilności układu zamkniętego można wiec zapisac

Warunek ten odniesiony do charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego G₀(jω),będzie sformułowany jak następuje:

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest niestabilny i ma m pierwiatkow swego równania charakterystycznego w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s to po zamknięciu będzie on stabilny wtedy i tylko wtedy gdy charakterystykaamplitudowo-fazowa układu otwartego dla pulsacji ω od 0do +nieskończoność okrąża m/2 razy punkt (-1,j0) w kierunku dodatnim.

Zastosowanie kryterium Nyquista w podanym sformułowaniu wymaga więc znajomości liczby pierwiuastkow równania charakterystycznego układu otwartego z dodatnią czescia liczby pierwiastkow rownaia charakterystycznego układu otwartego z dodatnia częścią rzeczywista co barzo ogranicza jego znaczenie.

---