Kolokwium semestralne ze statystyki
2 II 2006 |
|
Imię i nazwisko: …………………………...……… |
|
|
Numer albumu: ………………………………..…….. |
|
|
Nazwisko prowadzącego: …………………….………… |
Uwaga! Wszystkie odpowiedzi należy uzasadnić. Rozwiązania bez uzasadnienia nie będą punktowane! |
||
Zadanie 1
W styczniu 2005 zbadano staż pracy wśród pracowników pewnego urzędu. Otrzymano następujące parametry stażu pracy wyrażonego w latach:
minimum |
średnia |
mediana |
wariancja |
odchylenie przeciętne od mediany |
entropia |
|
|
0 |
4 |
<4,5; 5> |
12 |
2,5 |
4,1 |
|
6 |
Rok później okazało się, że w badanym urzędzie zatrudnieni są dokładnie ci sami pracownicy i żaden z nich nie był zwalniany w ciągu ostatniego roku. Dane o stażu uaktualniono, postanowiono jednak, że wygodniej jest wyrażać go w miesiącach (aby uniknąć wartości niecałkowitych zmiennej). Proszę podać w/w parametry dla stażu pracy wyrażonego w miesiącach w styczniu 2006 (czyli rok później).
Zadanie 2
W zbiorowości studentów I-go roku IS określone zostały trzy zmienne:
X - tryb studiów (1-dzienny; 2-wieczorowy); Y - płeć (0-mężczyzna; 1-kobieta); Z - zadowolenie ze studiów (0-niezadowolony; 1-średnio zadowolony; 2-zadowolony). Wiadomo, że:
N(X=1) = 2N(X=2) =100
P(Y=1 | X=1) = P(Y=1 | X=2) = 0,5
w zbiorowości studentów dziennych zmienne Z i Y są niezależne stochastycznie, a zmienna Z ma rozkład symetryczny
Mo(Z | X=1) = 1, a b(Z | X=1) = 0,6
W zbiorowości studentów wieczorowych zmienna Z również ma rozkład symetryczny
Me (Z | X=2) € <0; 2>
w zbiorowości wszystkich studentów P( Z=0 ∧ Y=0) = 0,2
Wyznacz łączne rozkłady liczebności zmiennych Z i Y:
a) w podzbiorowości studentów dziennych; |
3 |
b) w zbiorowości wszystkich studentów I-go roku IS |
3 |
Zadanie 3
Mamy rozkład łączny dwóch zmiennych X i W:
X\W |
1 |
2 |
3 |
a)Wyznacz regresję median X względem W |
2 |
1 |
0,1 |
0 |
0,3 |
b) Oblicz wartość odpowiedniego dla tej regresji miernika siły zależności |
2 |
2 |
0,2 |
0,05 |
0,15 |
c)Wyznacz rozkład skumulowany zmiennej X w podzbiorowości W ≤ 2 |
2 |
3 |
0 |
0,15 |
0,05 |
d)Wyznacz rozkład zmiennej W w podzbiorowości X > 1 |
2 |
Zadanie 4
Opisujemy zbiorowość 7 osób za pomocą dwóch zmiennych Z i Y. Współczynnik korelacji liniowej zmiennej Y względem zmiennej Z wynosi 1. Ponadto, wiadomo, że średnia zmiennej Z nie zmienia się
po standaryzacji. W tabeli poniżej podane zostały częściowe informacje o wartości zmiennej przewidywanej ŶZ, i zmiennej Z dla poszczególnych osób.
Numer osoby |
Z |
ŶZ |
Y |
|
a)Wyznacz wzór regresji liniowej zmiennej Y względem zmiennej Z |
3 |
1 |
-1 |
|
|
|
b)Uzupełnij w macierzy danych informacje o zmiennych Z, ŶZ, Y |
2 |
2 |
0 |
2,5 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
4 |
1 |
4 |
|
|
|
|
5 |
0 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
7 |
2 |
|
|
|
|
|
Zadanie 5
Hordy wiedźm posługują się do określania pozycji w grupie długością miotły zestandaryzowaną według średniej i odchylenia standardowego w danej hordzie. Dwie równoliczne hordy postanowiły się połączyć. Wiedźma z jednej z nich z miotłą o długości 160 cm miała wartość zestandaryzowaną 1, a w hordzie połączonej równą 0. Inna wiedźma z miotłą 170 cm z drugiej hordy miała najpierw wartość zestandaryzowaną 0, a po połączeniu równą 0,5. Jakie były średnie i wariancje długości mioteł w obu hordach przed połączeniem w jedną? |
5 |
|
|
Zadanie 6
Aby dotrzeć do celu, samolot musi przelecieć nad dwoma obiektami X i Y. Zauważono, że obrona przeciwlotnicza obiektu X zestrzeliwuje 50% nieprzyjacielskich samolotów, a obiektu Y - 80%.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu samolotów dokładnie dwa dolecą do celu? |
2 |
Zadanie 7 (*)
Dwie osoby (A i B) skazane na śmierć zostały zmuszone do rzucania symetryczną kostką zgodnie z postawionym warunkiem, że ten kto uzyska mniejsza liczbę oczek, zostanie zgładzony, a ten kto będzie miał większą liczbę oczek, zostanie uwolniony od kary, gdy zaś obaj skazańcy uzyskają takie same liczby, obaj zostaną uwolnieni. Każdy z nich rzuca kostka jeden raz.
a) Jakie szanse na przeżycie ma każdy ze skazańców? |
1 |
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że przeżyją obaj? |
1 |
c) Skazaniec A wyrzucił nieparzystą liczbę oczek. Jakie szanse na przeżycie ma w tej sytuacji skazaniec B? |
2 |
|
|
(*) Zadanie zaczerpnięte z Ars Conjectandi J.Bernoulliego (Bazylea, 1713 rok)
Kolokwium semestralne ze statystyki
2 II 2006 |
|
Imię i nazwisko: …………………………...……… |
|
|
Numer albumu: ………………………………..…….. |
|
|
Nazwisko prowadzącego: …………………….………… |
Uwaga! Wszystkie odpowiedzi należy uzasadnić. Rozwiązania bez uzasadnienia nie będą punktowane! |
||
Zadanie 1
W styczniu 2005 zbadano staż pracy wśród pracowników pewnego urzędu. Otrzymano następujące parametry stażu pracy wyrażonego w latach:
minimum |
średnia |
mediana |
wariancja |
odchylenie przeciętne od mediany |
entropia |
|
|
0,25 |
4,5 |
<5; 5,5> |
10 |
3 |
4 |
|
6 |
Rok później okazało się, że w badanym urzędzie zatrudnieni są dokładnie ci sami pracownicy i żaden z nich nie był zwalniany w ciągu ostatniego roku. Dane o stażu uaktualniono, postanowiono jednak, że wygodniej jest wyrażać go w miesiącach (aby uniknąć wartości niecałkowitych zmiennej). Proszę podać w/w parametry dla stażu pracy wyrażonego w miesiącach w styczniu 2006 (czyli rok później).
Zadanie 2
W zbiorowości studentów I-go roku IS określone zostały trzy zmienne:
X - tryb studiów (1-dzienny; 2-wieczorowy); Y - płeć (0-mężczyzna; 1-kobieta); Z - zadowolenie ze studiów (0-niezadowolony; 1-średnio zadowolony; 2-zadowolony). Wiadomo, że:
N(X=1) = 2N(X=2) =100
P(Y=1 | X=1) = P(Y=1 | X=2) = 0,5
W zbiorowości studentów dziennych zmienne Z i Y są niezależne stochastycznie, a zmienna Z ma rozkład symetryczny
Q2.10(Z | X=1) € <0; 1>
W zbiorowości studentów wieczorowych zmienna Z również ma rozkład symetryczny
Mo (Z | X=2) € {0; 2}, a b(Z | X=2) = 0,5
w zbiorowości wszystkich studentów P( Z=0 ∧ Y=0) = 0,1
Wyznacz łączne rozkłady liczebności zmiennych Z i Y:
a) w podzbiorowości studentów dziennych; |
3 |
b) w zbiorowości wszystkich studentów I-go roku IS |
3 |
Zadanie 3
Mamy rozkład łączny dwóch zmiennych X i W:
X\W |
1 |
2 |
3 |
a)Wyznacz regresję median X względem W |
2 |
0 |
0,3 |
0,05 |
0,25 |
b) Oblicz wartość odpowiedniego dla tej regresji miernika siły zależności |
2 |
1 |
0,1 |
0,1 |
0 |
c)Wyznacz rozkład zmiennej W w podzbiorowości X ≥1 |
2 |
2 |
0 |
0,05 |
0,15 |
d)Wyznacz rozkład skumulowany zmiennej X w podzbiorowości W ≥ 2 |
2 |
Zadanie 4
Opisujemy zbiorowość 7 osób za pomocą dwóch zmiennych W i Y. Współczynnik korelacji liniowej zmiennej Y względem zmiennej W wynosi 1. Ponadto, wiadomo, że średnia zmiennej W nie zmienia się
po standaryzacji. W tabeli poniżej podane zostały częściowe informacje o wartości zmiennej przewidywanej ŶW, i zmiennej W dla poszczególnych osób.
Numer osoby |
W |
ŶW |
Y |
|
a)Wyznacz wzór regresji liniowej zmiennej Y względem zmiennej W |
3 |
1 |
-3 |
|
|
|
b)Uzupełnij w macierzy danych informacje o zmiennych W, ŶW, Y |
2 |
2 |
0 |
1,5 |
|
|
|
|
3 |
1 |
3,5 |
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
5 |
|
3,5 |
|
|
|
|
6 |
-1 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
Zadanie 5
Hordy wiedźm posługują się do określania pozycji w grupie długością miotły zestandaryzowaną według średniej i odchylenia standardowego w danej hordzie. Dwie równoliczne hordy postanowiły się połączyć. Wiedźma z jednej z nich z miotłą o długości 160 cm miała wartość zestandaryzowaną 0, a w hordzie połączonej równą -2/3. Inna wiedźma z miotłą 180 cm z drugiej hordy miała najpierw wartość zestandaryzowaną -2, a po połączeniu równą 0. Jakie były średnie i wariancje długości mioteł w obu hordach przed połączeniem w jedną? |
5 |
|
|
Zadanie 6
Aby dotrzeć do celu, samolot musi przelecieć nad dwoma obiektami X i Y. Zauważono, że obrona przeciwlotnicza obiektu X zestrzeliwuje 60% nieprzyjacielskich samolotów, a obiektu Y - 50%.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu samolotów dokładnie trzy dolecą do celu? |
2 |
Zadanie 7 (*)
Dwie osoby (A i B) skazane na śmierć zostały zmuszone do rzucania symetryczną kostką zgodnie z postawionym warunkiem, że ten kto uzyska mniejsza liczbę oczek, zostanie zgładzony, a ten kto będzie miał większą liczbę oczek, zostanie uwolniony od kary, gdy zaś obaj skazańcy uzyskają takie same liczby, obaj zostaną zgładzeni. Każdy z nich rzuca kostka jeden raz.
a) Jakie szanse na przeżycie ma każdy ze skazańców? |
1 |
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że zginą obaj? |
1 |
c) Skazaniec A wyrzucił czwórkę. Jakie szanse na przeżycie ma w tej sytuacji skazaniec B? |
2 |
|
|
(*) Zadanie zaczerpnięte z Ars Conjectandi J.Bernoulliego (Bazylea, 1713 rok)