Politechnika Wrocławska - Instytut Fizyki

Wydział: EKA

Sprawozdanie z ćwiczenia nr 8

TEMAT: Wyznaczanie momentu bezwładności i sprawdzenie

twierdzenia Steinera.

1. CEL ĆWICZENIA

1. Stwierdzenie zależności okresu drgań wahadła od momentu bezwładności,

2. Doświadczalne potwierdzenie twierdzenia Steinera,

3. Wyznaczenie momentu bezwładności ciał względem osi przechodzącej przez środek masy (tzw. osi środkowej)

2. CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Ruchem drgającym nazywamy każdy ruch lub zmianę stanu, które charakteryzuje powtarzalność w czasie wartości wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan. Jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające się podczas drgań powtarzają się w równych odstępach czasu to ruch taki nazywamy ruchem okresowym.

Najprostszy rodzaj drgań okresowych są drgania harmoniczne. Okresem drgań harmonicznych nazywamy najmniejszy odstęp czasu, po upływie którego powtarzają się wartości wszystkich wielkości fizycznych charakteryzujących drganie. Jako przykład drgań harmonicznych można podać niewielkie wahania wahadła fizycznego.

Wahadło fizyczne jest to ciało doskonale sztywne, które pod wpływem własnego ciężaru waha się dookoła osi nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała.

Okres drgań harmonicznych [T] wahadła fizycznego można wyznaczyć korzystając ze związku:

i stąd:

.

Okres drgań harmonicznych nie zależy od kąta wychylenia z położenia równowagi (izochronizm wahań).

Twierdzenie Steinera

Po przekształceniu wzoru na okres drgań (w/w) otrzymujemy następujące wyrażenie na moment bezwładności:

.

Moment ten jest mierzony względem osi obrotu wahadła.

W praktyce często przydatna jest znajomość momentów bezwładności mierzonych względem osi przechodzącej przez środki ciężkości tych ciał.

Do wyznaczenia momentu bezwładności ciała I₀ względem osi przechodzącej przez środek masy ciała korzysta się z twierdzenia Steinera, które brzmi następująco: różnica momentów bezwładności ciała względem dwu równoległych osi, z których jedna przechodzi przez środek masy, równa jest iloczynowi masy ciała m i kwadratu odległości d między osiami:

.

Dla dwu różnych odległości
i
od osi przechodzącej przez środek masy ciała mamy:

.

Po podstawieniu poprzedniego wzoru otrzymujemy:

.

Otrzymana doświadczalnie stała wartość powyższych wyrażeń może służyć jako potwierdzenie twierdzenia Steinera.

Stała C pozwala obliczyć moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy:

.

3. WYZNACZENIE MOMENTU BEZWłADNOŚCI TARCZY METALOWEJ

Częścią zasadniczą jest tarcza metalowa z symetrycznie naciętymi otworami. Umieszczenie podpory w postaci metalowej pryzmy w różnych otworach pozwala zmieniać odległości osi obrotu od środka masy tarczy. W drugiej części ćwiczenia rolę wahadła spełnia pierścień metalowy, dla którego daje się zrealizować tylko jedno położenie osi obrotu względem środka masy.

Lp	Mt	ΔMt	a	Δa	d	Δd	100T	Δ100T	C	ΔC	δC
-	[g]	[g]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[s]	[s]	[m^2]	[m^2]	[%]
	Wyniki i pomiary dla a1
1	1061.0	-0.1	14.00	-0.02			69.51	0.42
2	1060.8	0.1	14.00	-0.02			69.57	0.36
3	1060.9	0.0	13.95	0.03			70.69	-0.77
śr	1060.9	0.1	13.98	0.03	6.99	0.015	69.92	0.52	0.1422	0.0050	3.5
	Wyniki i pomiary dla a2
1	1061.0	-0.1	8.98	0.00			68.17	0.03
2	1060.8	0.1	8.99	-0.01			68.22	-0.02
3	1060.9	0.0	8.98	0.00			68.18	0.02
śr	1060.9	0.1	8.98	0.01	4.99	0.010	68.20	0.03	0.1258	0.0002	0.2
	Wyniki i pomiary dla a3
1	1061.0	-0.1	4.00	-0.02			78.72	-0.42
2	1060.8	0.1	4.00	-0.02			78.09	0.21
3	1060.9	0.0	3.95	0.03			78.10	0.20
śr	1060.9	0.1	3.98	0.03	1.99	0.015	78.30	0.28	0.1045	0.0020	1.6
									0.1242	0.0024	2.0

Moment bezwładności
względem środka masy krążka obliczono ze wzoru:

[kgm²]

Błąd bezwzględny obliczono ze wzoru:

[kgm²]

δI₀ = 2.1 [%]

I₀ = (0.003341 ± 0.000070) [kgm²]

4. WYZNACZENIE MOMENTU BEZWłADNOŚCI PIERŚCIENIA METALOWEGO

Lp	Mp	ΔMp	R	ΔR	r	Δr	d	Δd	100T	Δ100T	I	ΔI	δI
-	[g]	[g]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[s]	[s]	[kgm^2]	[kgm^2]	[%]
1	221.2	0.1	11.97	0.00	9.80	-0.20			67.17	-0.29
2	221.5	-0.2	11.96	0.01	9.50	0.10			66.90	-0.08
3	221.3	0.0	11.99	-0.02	9.50	0.10			66.50	0.34
śr	221.3	0.1	11.97	0.01	9.60	0.14	4.80	0.07	66.84	0.24	0.001170	0.000009	0.8

Moment bezwładności pierścienia:

[kgm²]

Błąd bezwzględny - policzony z różniczki zupełnej:

I = 8.979*10^-6 = 0.00000898 ≈ 0.000009[kgm²]

I = (0.001170 0.000009) [kgm²]

Moment bezwładności względem środka masy

(z twierdzenia Steinera):

Obliczenie momentu bezwładności pierścienia względem środka masy ze wzoru tablicowego:

,

gdzie:

r - promień wewnętrzny : 0,04800 [m],

R - promień zewnętrzny : 0,05985 [m],

m - masa pierścienia : 0.2213 [kg].

I₀ = 0.000017 [kgm²] - błąd bezwzględny policzony z różniczki zupełnej

δI₀ = (ΔI₀/I₀)*100) = (0.000017/0.000644)*100 = 2.6 [%]

I₀ = (0.000644 0.000017) [kgm²]

5.ZESTAWIENIE WYNIKÓW

1.	Pomiar momenu bezwładności tarczy metalowej	(0.003341 0.000070) [kgm^2]
2.	Pomiar momentu bezwładności pierścienia	(0.000660 0.000025) [kgm^2]
3.	Pomiar momentu bezwładności pierścienia (metoda tablicowa)	(0.000644 0.000017) [kgm^2]

6.WNIOSKI

Pomiar momentu bezwładności tarczy metalowej obarczony jest największym błędem (0.003341 0.000070) [kgm²], który spowodowany był dużą ilością obliczeń pośrednich.

W przypadku dwóch pomiarów pomiaru momentu bezwładności pierścienia metalowego dokładniejszy wynik uzyskałem ze wzoru tablicowego (0.000644 0.000017) [kgm²]. Wynik otrzymany z z twierdzenia Steinera zawiera się w przedziale określonym przez błąd graniczny metodą tablicową (0.000660 0.000025) [kgm²].

5

---