Wyznaczanie momentu bezwładności i sprawdzenie twierdzenia Steinera.

1. Cel ćwiczenia:

- określenie zależności okresu drgań wahadła od momentu bezwładności;

- doświadczalne potwierdzenie twierdzenia Steinera;

- wyznaczanie momentu bezwładności ciał względem osi przechodzącej przez środek masy;

2. Podstawowe wzory i twierdzenia:

Fizyczny sens momentu bezwładnosci można wyprowadzić z analizy drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego w odniesieniu do zasad dynamiki Newtona. Równanie

określa moment siły jako iloczyn momentu bezwładności i przyspieszenia kątowego. Wprowadzenie pojęcia momentu bezwładności jest uzasadnione ze względu na różne prędkości liniowe ( przy stałej prędkości kątowej ) elementów masy oddalonych o r od punktu obrotu danego ciała

I =
dm

W ruchu harmonicznym rozwiązaniem równania całkowego:
= -
;

m - masa ciała;

g - przyspieszenie ziemskie;

d - odległość punktu obrotu ciała od środka ciężkości;

α - kąt określający odchylenie od osi pionowej;

I - moment bezwładności;

jest funkcja: α = α ₀ sin (ωt + ϕ ₀ ) ; ω =
.

Ruch ten charakteryzuje się powtarzalnością określonych wartości fizycznych opisujących ten ruch lub stan, a najkrótszy czas po którym powtarzają się wszystkie wartości charakteryzujące drganie nazywamy okresem:

T =

= 2π *
; - z czego wynika proporcjonalna zależność okresu drgań od momentu bezwładności.

Ze wzoru tego można wyliczyć także moment bezwładności ciała względem osi obrotu:

I =
, jednak w praktyce często przydatna jest znajomość momentu bezwładności względem osi przechodącej przez środek ciężkości ciała. W takim przypadku można posłużyć się prawem Steinera:

I - I₀ = md² ; I - moment bezwładności wzg. osi obrotu;

I₀ - moment bezwładności wzg. osi środkowej;

Rozwinięta postać prawa Steinera pozwala wyliczyć różnicę momentów wzg. osi oddalonych o d₁ i d₂ od środka ciężkości ciała:

I₂ - I₁ = m(d₂² - d₁²) co po podstawieniu daje:

T₂² g d₂ - 4π² d₂² = T₁² g d₁ - 4π² d₁² = const = C.

Stała C daje możliwość wyliczenia ( na podstawie doświadczalnego wyznaczenia różnicy I₂ - I₁ ) momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości:

I ₀ =
C.

3. Pomiary i przebieg ćwiczenia:

3.1. W pierwszym etapie zajmujemy się badaniem zależności okresu drgań wahadła fizycznego od momentu bezwładności. W tym celu wyznaczamy okres wahania ( na podstawie 100 drgań ) metalowej tarczy zmieniając odległość od osi obrotu do środka ciężkości metalowej tarczy o masie:

M_T = 1064.42 g

WYNIKI:

Tabelka pomiarów:

i := 1..3;

di [ cm ]	t1 [s]	t2 [s]	t3 [s]	tśr [s]	Ti [s]
7.475	70	69	69.2	69.4	0.694
5.005	69	68.2	69.2	68.8	0.688
2.525	77.8	78	77.6	77.8	0.778

Objaśnienia do tabelki:

- d - odległość osi obrotu od środka ciężkości tarczy;

- t - czas wykonania 100 drgań;

- T - okres drgań tarczy T = t/100;

Obliczenia przykładowe:

C = T² g d - 4π² d²

C₁ = (0.694)² * 9.8066 * 0.07475 - 4 * (3.141592654)² * (0.07475)² = 0.1325

C = [ s² * m/s² * m - m² ] = [ m² ]

δC = 2 d * [ T g δT + 4π² δd ]

δC₁ = 2 * 0.07475 * [ 0.694 * 9.8066 * 0.1*10 ^-2 + 4 * (3.141592654)² * 0.00001) = 0.001

δT = 0.1 * 10 ^-2 s

δd = 0.01 mm

I =
;

I₁ = [(0.694)² * 1.06442 * 9,8066 * 0.07475] / [ 4 * (3.131592654)² = 9.5192 * 10^-3

Tabelka wyników:

i	Ti [s]	di [ m ]	Ii [kg m^2]	Ci [m^2]	δCi [m^2]
1	0.694	0.07475	9.5192*10^-3	0.1325	0.001
2	0.688	0.05005	6.2640*10^-3	0.1334	7.149*10^-4
3	0.778	0.02525	4.0410*10^-3	0.1247	4.052*10^-4

Objaśnienia do tabelki:

T - okres drgań dla danej odległości d;

d - odległość osi obrotu od środka ciężkości;

I - moment bezwładności względem osi obrotu w odległości d od środka ciężkości

C - stała dla danego T ,d;

- wyznaczanie stałej C i błędu względnego:

C =
= 0.1302 m²;

δC =
= 2.1382 * 10 ^-3

- wyznaczanie momentu bezwładności i jego błędu względem osi środkowej :

I₀ =
=
= 3.510585 * 10^-3 kg m²

δM = 0.1 * 10^-3

δ I₀ = 1/(4π²) * ( M_T * δC + C * δM) = 5.798 * 10 ^-5

3.2. Doświadczalne sprawdzenie prawa Steinera.

Wyznaczamy moment bezwładności dla pierścienia:

M_p = 222 g = 0.222 kg

δM = 0.1 * 10^-3 kg

R = 5.975 cm = 0.05975 m

r = 5.225 cm = 0.05225 m

wzgędem osi obrotu oddalonej o d = 0.05225 m od środka ciężkości pierścienia:

Tabelka pomiarów:

i	ti [s]	tśr [s]	T [s]
1	67.6
2	67.3	67.3	0.673
3	67

Wyniki:

- liczenie momentu bezwładności wzgędem osi O:

I =
=
= 1.305 * 10^-3 kg m²

δ I = T*
( 2M₀ * d * δT + t * d * δM₀ + T * M₀ * δd ) = 4.716 * 10^-6 kg m²

- mając obliczony moment bezwładności wzg. osi O możemy korzystając z prawa Steinera obliczyć moment bezwładności względem osi środkowej:

I₀ = I - md² = 1.305 * 10^-3 - (0.222 * 2.7300 * 10^-3 ) = 6.9894 * 10^-4 kg m²

- ze wzoru tablicowego I₀₁ =
M₀ * [ r² + R² ] = 6.9931 * 10^-4 kg m²

- z błędem δ I₀₁ = (1/2) * δM₀ ( r² + R² ) + M₀ ( r*δd + R*δd ) = 5.636 * 10^-7

- z czego obliczymy określamy dokładność pomiarów: ((I₀₁ - I₀ )/ I₀₁ )* 100% = 0.053 %

Wnioski:

Charakterystyka momentu bezwładności przeprowadzona w ćwiczeniu nr 8 ( część pierwsza ) wskazuje na zależność między badanym momentem, a okresem drgań metalowej tarczy, którego wartość wiąże się z odległością osi obrotu badanego ciała od środka ciężkości. Poszczególne wartości momentu maleją wraz ze wzrostem okresu T i zmniejszeniem odległości osi obrotu od osi środkowej.

Uzasadnienie zmian wartości momentu bezwładności leży w definicji określającej I jako całkę kwadratu odległości r po masie m. Zależność momentu i odległości jest więc wprost proporcjonalna, co dokładnie określa wzór przedstawiony we wstępie teoretycznym. Ścisłe zależności między okresem T, a odległością d i momentem bezwaładności I dały w efekcie możliwość wyprowadzenia pewnej wielkości C = const (dla każdego d i odpowiadającego mu T) która pozwala wyliczyc moment bezwładności wzg. osi środkowej. W naszych pomiarach teoria ta potwierdziła sie ( z niewielkiemi odsępstwami zniwelowanymi rachunkiem błędów ), co umożliwiło otrzymanie bardzo dokładnej wartości momentu bezwładności tarczy metalowej, względem osi przechodzącej przez środek ciężkości.

W drugiej części ćwiczenia zajeliśmy się sprawdzaniem prawa Steinera. Wyznaczenie momentu bezwładności pierścienia wzg osi oddalonej o odległość d od środka ciężkości dało ( zgodnie ze sprawdzanym prawem ) możliwość wyznaczenia I₀ ( wzg. osi środkowej ). Nasze empiryczne wyniki po porównaniu z wynikiem ustalonym na podstawie wzoru tablicowego okazały się poprawne, czym udowodniliśmy słuszność prawa Steinera.

---