3.8. TWIERDZENIE THEVENINA I TWIERDZENIE NORTONA DLA OBWODÓW PRĄDU STAŁEGO

Twierdzenie Thevenina

(o zastępczym źródle/generatorze napięciowym)

Dowolny aktywny dwójnik rezystancyjny klasy SLS można zastąpić równoważnym rzeczywistym źródłem napięciowym (rys.3.25.) o napięciu źródłowym U₀ i rezystancji wewnętrznej R_W, przy czym:

- napięcie źródłowe U₀ jest równe napięciu na rozwartych zaciskach dwójnika (napięciu stanu jałowego U_SJ)

- rezystancja wewnętrzna R_W, jest równa rezystancji zastępczej (rezystancji wejściowej R_AB) dwójnika pasywnego (bezźródłowego), otrzymanego po wyzerowaniu w wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich autonomicznych źródeł energii (zastąpieniu idealnych źródeł napięcia zwarciami, a idealnych źródeł prądowych rozwarciami).

Rys.3.25

Twierdzenie Nortona

(o zastępczym źródle/generatorze prądowym)

Dowolny aktywny dwójnik rezystancyjny klasy SLS można zastąpić równoważnym rzeczywistym źródłem prądowym (rys.3.26.) o prądzie źródłowym I_Z i konduktancji wewnętrznej G_W, przy czym:

- prąd źródłowy I_Z jest równy prądowi płynącemu przez zwarte zaciski dwójnika (prądowi stanu zwarcia I_SZ)

- konduktancja wewnętrzna G_W, jest równa konduktancji zastępczej (konduktancji wejściowej G_AB) dwójnika pasywnego (bezźródłowego), otrzymanego po wyzerowaniu w wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich autonomicznych źródeł energii (zastąpieniu idealnych źródeł napięcia zwarciami, a idealnych źródeł prądowych rozwarciami).

Rys.3.26

3.9. DOPASOWANIE OBCIĄŻENIA DO ŹRÓDŁA

MOCE W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO

Zgodnie z definicją ogólną (1.4), wszystkie moce w obwodach prądu stałego są stałymi funkcjami czasu.

W odniesieniu do obwodu rezystancyjnego prądu stałego zasada Tellegena (3.3) przyjmuje postać:

(3.27)

gdzie
jest mocą pobieraną przez k-ty element obwodu

Pamiętając, że niektóre elementy obwodu faktycznie pobierają moc (P_k > 0), a inne ją faktycznie oddają (P_k < 0), z powyższej zależności wynika, że:

suma mocy pobieranych przez elementy obwodu jest równa sumie mocy oddawanych przez pozostałe elementy obwodu

Mówimy, że w obwodzie spełniony jest bilans mocy.

SPRAWNOŚĆ ŹRÓDEŁ

• SPRAWNOŚĆ RZECZYWISTEGO ŹRÓDŁA NAPIĘCIA

Rozpatrzmy rzeczywiste źródło napięcia o napięciu źródłowym U₀ i rezystancji wewnętrznej R_W obciążone dwójnikiem o rezystancji R_obc (rys. 3.27.)

Rys. 3.27.

Z obwodem tym związane są następujące moce: PCU - moc całkowita (moc oddawana przez idealne źródło napięcia do obwodu); PstrU - moc tracona (moc pobierana przez rezystancję wewnętrzną źródła); Puż - moc użyteczna (moc pobierana przez obciążenie, inaczej moc oddawana przez RŹN do Obc.)

Sprawność rzeczywistego źródła napięcia definiuje się jako:

(3.28)

Ponieważ zgodnie z zasadą Tellegena:
(3.29)

(3.30)

Rys. 3.28.

• SPRAWNOŚĆ RZECZYWISTEGO ŹRÓDŁA PRĄDU

Rozpatrzmy teraz rzeczywiste źródło prądu o prądzie źródłowym I_Z i konduktancji wewnętrznej G_W obciążone dwójnikiem o konduktancji G_obc (rys. 3.29.)

Rys. 3.29.

Z obwodem tym związane są następujące moce: PCI - moc całkowita (moc oddawana przez idealne źródło prądu do obwodu); PstrI - moc tracona (moc pobierana przez konduktancję wewnętrzną źródła); Puż - moc użyteczna (moc pobierana przez obciążenie, inaczej moc oddawana przez RŹP do Obc.)

Sprawność rzeczywistego źródła prądu definiuje się jako:

(3.31)

Ponieważ zgodnie z zasadą Tellegena:
(3.32)

(3.33)

Rys. 3.30.

WARUNEK DOPASOWANIA

Problem uzyskania wysokiej sprawności przekazywania energii nie zawsze jest problemem najbardziej istotnym.

W układach elektrycznych pierwszoplanowym jest problem uzyskania maksymalnej mocy pobieranej przez odbiornik. Uzyskanie tego efektu nazywamy DOPASOWANIEM.

• WARUNEK DOPASOWANIA DO ŹRÓDŁA NAPIĘCIA

Rozpatrujemy ponownie rzeczywiste źródło napięcia współpracujące z obciążeniem. Zakładamy, że parametry źródła U₀ > 0 i R_W > 0 są znane.

Pytanie: Jaka powinna być wartość rezystancji obciążenia R_obc > 0 aby w obciążeniu wydzieliła się maksymalna moc P_uż = P_użMAX  ?

W tym celu uzależniamy moc P_uż wydzieloną w obciążeniu od rezystancji R_obc:

(3.34)

Obliczając pochodną tej funkcji względem R_obc i przyrównując ją do zera otrzymujemy równanie:

(3.35)

którego jedynym rozwiązaniem spełniającym przyjęte założenie jest: (3.36) Równość tę nazywamy warunkiem dopasowania

Rys. 3.31.

• WARUNEK DOPASOWANIA DO ŹRÓDŁA PRĄDU

Rozpatrujemy ponownie rzeczywiste źródło prądu współpracujące z obciążeniem. Zakładamy, że parametry źródła I_Z > 0 i G_W > 0 są znane.

Pytanie: Jaka powinna być wartość konduktancji obciążenia G_obc > 0 aby w obciążeniu wydzieliła się maksymalna moc P_uż = P_użMAX  ?

W tym celu uzależniamy moc P_uż wydzieloną w obciążeniu od konduktancji G_obc. Ponieważ napięcie na obciążeniu

(3.37)

stąd moc wydzielona w obciążeniu

(3.38)

Obliczając pochodną tej funkcji względem G_obc i przyrównując ją do zera otrzymujemy równanie:

(3.39)

którego jedynym rozwiązaniem spełniającym przyjęte założenie jest: (3.40) Równość tę nazywamy warunkiem dopasowania

Rys. 3.32.

PODSUMOWANIE

Obwód, w którym dwójnik aktywny (DA) jest połączony z dwójnikiem pasywnym (DP) - można zastąpić obwodem równoważnym (rys.3.33).

Rys. 3.33.

UWAGI:

• Przy tej samej mocy użytecznej, moce wytwarzane przez źródła w zależności od przyjętego schematu zastępczego są różne, a zatem i ich sprawności są różne i zachodzi między nimi związek (wynikający z równań 3.30 i 3.33):

(3.41)

• Równoważność schematu napięciowego i prądowego danego DA dotyczy wyłącznie napięcia U i prądu I, a zatem mocy użytecznej. Schematy te nie są równoważne w sensie energetycznym.

METODA GRAFICZNA WYZNACZANIA ROZPŁYWU PRĄDÓW W GAŁĘZIACH LUB NAPIĘĆ NA ELEMENTACH

• 
  Metoda charakterystyki łącznej

• 
  
  Metoda przecięcia charakterystyk tzw. "lustrzanego odbicia"

4. ELEMENTY I UKŁADY NIELINIOWE

4.1. KLASYFIKACJA ELEMENTÓW NIELINIOWYCH

Definicja 1.

Obwodem elektrycznym nieliniowym nazywamy taki obwód, w którym występuje co najmniej jeden element nieliniowy, bądź więcej elementów nieliniowych wzajemnie się nierównoważących.

Definicja 2.

Element obwodu elektrycznego nazywamy nieliniowym, jeśli jego charakterystyka y=f(x) lub x=(y) jest nieliniowa, tzn. nie można jej opisać analitycznie przy pomocy równania prostej (y=ax+b).

Element nieliniowy, niezależnie od tego czy jest to element pasywny czy też aktywny, opisujemy przez podanie zbioru ciągłego (wykres) lub dyskretnego (tabela) zmiennych niezależnych i wartości funkcji.

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego jak na rys.4.1.

Rys.4.1. Symbole graficzne elementów nieliniowych.

Klasyfikację elementów nieliniowych można przeprowadzić w oparciu o różne kryteria. W zależności od przebiegu charakterystyki y=f(x), rozróżniamy elementy nieliniowe:

a) symetryczne f(x)=-f(-x), rys.4.2a),

b) niesymetryczne f(x)-f(-x), rys.4.2b),

c) jednoznaczne - każdej wartości xX odpowiada jedna i tylko jedna wartość y, rys.4.2c),

d) wieloznaczne - istnieją takie przedziały zmiennej niezależnej
x(x₁,x₂), że wewnątrz tych przedziałów y=f(x) może przyjmować więcej niż jedną wartość, rys.4.2d) i e).

Rys.4.2.Przykładowe przebiegi charakterystyk elementu nieliniowego.

4.2. PARAMETRY STATYCZNE I DYNAMICZNE

Ograniczymy nasze rozważania do nieliniowych rezystancji. Jeśli rezystor liniowy określony jest jednoznacznie przez podanie jego rezystancji R bądź konduktancji G, to element nieliniowy określa jego charakterystyka prądowo-napięciowa (i=(u)).

Jeśli do zacisków rezystora nieliniowego przyłożymy określone napięcie u_P, to posługując się jego charakterystyką wyznaczymy wartość prądu w nim płynącego i_P. Punkt na charakterystyce wyznaczony wartością u_P nazywamy wówczas punktem pracy rezystora (P).

Rozpatrzmy rezystor nieliniowy dany jego charakterystyką prądowo-napięciową, jak na rys.4.3.

Rys.4.3.

Definicja Rezystancja statyczna Rst rezystora nieliniowego, w danym punkcie pracy P, określona jest stosunkiem napięcia na zaciskach tego elementu (uP) do prądu w tym elemencie (iP) (4.1) możemy także zapisać (4.2)

Rezystancja statyczna Rst posiada prostą interpretację geometryczną - jest proporcjonalna do tangensa kąta zawartego pomiędzy prostą łączącą początek układu współrzędnych z danym punktem pracy rezystora nieliniowego, a osią prądu. W ogólnym przypadku kąt może przyjmować wartości z przedziału [0,90]. Zatem tak zdefiniowana rezystancja statyczna może przyjmować wartości nieujemne

(4.3)

Rys.4.4.

Definicja Rezystancja dynamiczna Rd rezystora nieliniowego określona jest granicą stosunku przyrostu napięcia (u) do odpowiadającego mu przyrostu prądu (i), gdy przyrost prądu dąży nieograniczenie do zera (4.3) a dla danego punktu pracy P (4.4) co można także zapisać (4.5)

Wyrażenie (4.5) ma prostą interpretację geometryczną, rys.4.4. Rezystancja dynamiczna w danym punkcie pracy P jest proporcjonalna do współczynnika kierunkowego stycznej do charakterystyki w tym punkcie.

W ogólnym przypadku kąt może zmieniać się w granicach od 0 do 180 zatem Rd może przyjmować wartości zarówno dodatnie jak i ujemne:

(4.6)

4.3. PODSTAWOWE PRAWA W OBWODACH NIELINIOWYCH

OBOWIĄZUJE:		NIE OBOWIĄZUJE:
PPK NPK Zasada kompensacji Twierdzenie Thevenina Twierdzenie Nortona		Prawo Ohma Zasada superpozycji

4.4. METODY ANALIZY OBWODÓW NIELINIOWYCH

Dysponując charakterystykami elementów nieliniowych występujących w obwodzie, można dokonać analizy tego obwodu na drodze transfiguracji i ewentualnie retransfiguracji wykreślnej (graficznej). Metody graficzne transfiguracji obwodu nieliniowego przeprowadza się w oparciu o prawa Kirchhoffa.

METODA CHARAKTERYSTYKI ŁĄCZNEJ

• Dla elementów połączonych szeregowo

Rozważmy połączenie szeregowe n rezystorów o charakterystykach określonych równaniami :

(4.7)

W wyniku połączenia szeregowego otrzymujemy:

(4.8)

Równanie to określa charakterystykę nowego elementu

(4.9)

• 
  Dla elementów połączonych równolegle

Rozważamy połączenie równoległe n rezystorów o charakterystykach określonych równaniami :

(4.10)

W wyniku połączenia szeregowego otrzymujemy:

(4.11)

Równanie to określa charakterystykę nowego elementu

(4.12)

UWAGI DO METODY CHARAKTERYSTYKI ŁĄCZNEJ:

• Jeśli napięcie w elemencie zastępczym obwodu szeregowego wynosi U_X, to po uzyskaniu charakterystyki łącznej R_NŁ można znaleźć na niej punkt pracy P, a następnie prąd w obwodzie I_X oraz napięcia na elementach obwodu.

• Jeśli prąd w elemencie zastępczym obwodu równoległego wynosi I_X, to po uzyskaniu charakterystyki łącznej R_NŁ to wyznacza się na niej punkt pracy P, a następnie napięcie zasilające U_X oraz prądy w gałęziach obwodu.

METODA PRZECIĘCIA CHARAKTERYSTYK

• Dla elementów połączonych szeregowo

Jeśli napięcie zasilające jest stałe i jego ustalona wartość nie ulega zmianie, to w celu określenia prądu I_X (punktu pracy na charakterystyce łącznej) nie trzeba wyznaczać charakterystyki łącznej. Stosować można wówczas metodę przecięcia charakterystyk tzw. "lustrzanego odbicia".

Tok postępowania: wykreślamy charakterystykę elementu, np. RN1, na osi U odmierzamy daną wartość Ux napięcia na zaciskach układu, dla elementu RN2 przyjmujemy układ współrzędnych o początku w punkcie 0' (odległym od punktu 0 o Ux) i osi U mającej zwrot przeciwny niż dla elementu RN1, w nowym układzie współrzędnych wykreślamy charakterystykę RN2, punkt pracy obwodu P jest punktem przecięcia charakterystyk a jego odcięta dzieli Ux na UN1 i UN2.

Rys.4.5.

• Dla elementów połączonych równolegle

Jeśli znany jest prąd zasilający obwód I_X i wiadomym jest, że nie ulegnie on zmianie lub inaczej: tylko dla tej wartości prądu chcemy określić napięcia i prądy w gałęziach, to nie musimy poszukiwać charakterystyki łącznej. Celem wyznaczenia punktu pracy możemy posłużyć się metodą "lustrzanego odbicia" rys.4.6.

Tok postępowania: wykreślamy charakterystykę elementu, np. RN1, na osi I odmierzamy daną wartość IX , dla elementu RN2 przyjmujemy układ współrzędnych o początku w punkcie 0' (odległym od punktu 0 o IX) i osi prądu I mającej zwrot przeciwny niż dla elementu RN1, w nowym układzie współrzędnych wykreślamy charakterystykę RN2, punkt pracy obwodu P jest punktem przecięcia charakterystyk a jego rzędna dzieli IX na IN1 i IN2.

Rys.4.6.

METODA GRAFICZNA WYZNACZANIA
NAPIĘĆ NA ELEMENTACH

• 
  Metoda charakterystyki łącznej

• Metoda przecięcia charakterystyk tzw. "lustrzanego odbicia"

METODA LINEARYZACJI CHARAKTERYSTYK

Przykładowe charakterystyki diod germanowej 1N277 i krzemowej 1N4148.

W zakresie napięć U_D > 0.5V charakterystyka diody 1N277 ma małą nieliniowość i w tym zakresie napięć można ją aproksymować linią prostą.

PRZYKŁAD: Diodę 1N277 włączono w układzie jak na rysunku. Wyznaczyć punkt pracy diody.

Diodę zastępujemy szeregowym połączeniem rezystancji R_D i źródła E_D  takim, że

Wtedy otrzymamy układ

Parametry prostej aproksymującej wybrany odcinek charakterystyki diody określają wartość rezystancji R_D = 1.7 Ω i źródła E_D = 0.45 V.

Przy linearyzacji w wąskim zakresie (do celów analizy małosygnałowej) jako rezystancję R_D przyjmuje się rezystancję dynamiczną R_d dla danego punktu pracy
i źródło napięciowe (lub prądowe) o odpowiednim zwrocie.

Przy linearyzacji w wąskim zakresie (do celów analizy małosygnałowej) jako rezystancję R_D przyjmuje się rezystancję dynamiczną R_d dla danego punktu pracy
i źródło napięciowe (lub prądowe) o odpowiednim zwrocie.

Przyjmijmy, że napięcie na elemencie nieliniowym o wartości UP

może zmieniać się o ±Δu, tzn.

Punkt pracy na charakterystyce rezystora nieliniowego może przesuwać się od punktu P1 do punktu P2. Na krańcach tego przedziału odległość charakterystyki elementu od stycznej prowadzonej w punkcie P wynosi odpowiednio η i ξ.

Charakterystykę nieliniową rozpatrywanego elementu możemy aproksymować w otoczeniu punktu P charakterystyką prostoliniową (styczną w punkcie P) wtedy, gdy

gdzie ε przyjęty przez nas (narzucony wymaganiami technicznymi) uchyb prądu w elemencie nieliniowym, np.: ε/IP = 0,01 lub inaczej (ε/IP)×100=1% .

- 36 -

- 37 -

U_D

1N4148 (Si)

1N277 (Ge)

U₂

U₁

2

2

E =1.5 V

R₁ =10 Ω

I_D

E =1.5 V

R₁ =10 Ω

I_D

U_D

R_D

E_D

E = 1.5 V

R₁ =10 Ω

E_D = 0.45 V

R_D = 1.7 Ω

---